Si l’on supposait enfin

p’ = sin . sin a , q' = sin <p.cos a,

on trouverait, par une analyse semblable à la précédente,

an .cos ç

, . nn.cn*® f/R ,

dq = — — ■■ . ~.— .dt.

' V i— e* dP

Ces formules sont rigoureuses, tandis que les precedentes ne ‘sont qu’approchées; elles se confondent avec elles quand on suppose $ une très petite quantité.

En général , on peut oEserver que la disposition des formules précédentes dépend uniquement des arbitraires que l’on a choisies, et peut varier par conséquent d’une infinité de manières. Si l’on prenait pour constantes arbitraires les cinq quantités a, €, &>, p, q, et le demi-paramètre À* au lieu de l’excentricité e, on trouverait pour déterminer la différentielle de k

dk=~.dt+~.dt.

ai a a

Cette formule nous sera utile dans la suite.

On aurait des formules plus simples encore que celles que nous avons développées dans le n* 4 1 , et qui auraient l’avantage de ne contenir qu’une seule différence partielle delà fonction R, en prenant pour constantes arbitraires les cinq quantités a , k, l, a, <p, du n° 40, et la quantité <a du n° 42. On trouverait sans difficulté, pour déterminer les variations de cesconstantes, les équations suivantes :

da = aa* . ^ . dt , dl= — 2a*. ~ .dt ,

dtt— r— — dç= — . rit .

i.sinf dtp ’ ~ t.smp da.

Ou aurait encore ,n° 18, des formules dont chacune ne contiendrait qu’une seule différentielle partielle de R, en prenant, pour constantes arbitraires , les valeurs des trois coordonnées x,

y, z, et des trois- vitesses, ^ de la

planète, relatives à une époque déterminée, par exemple, a l’instant d’où l’on compte le temps t.

4 G. Considérons maintenant, d’une manière générale, les diverses formules que nous venons d’obtenir. La fonction R, dont les différences partielles entrent dans ces formules, est une fonction donnée des coordonnées x,y, z de la planète troublée, et des coordonnées x',y, z etc., des planètes perturbatrices. Cette fonction est du premier ordre, par rapport aux masses de ces planètes; de sorte que si, dans une première approximation, on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première , il suffira de substituer dans R, à la place des coordonnées x,y , z, x, •/, z', etc., leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. R devient alors fonction du temps t et des élémensa, e, e, a, p, q, a', t, e', a', p' , q', etc., des orbites des planètes ni, ni, etc., et l’on peut toujours supposer cette fonction développée en série ordonnée par rapport à t. Nous donnerons dans le chapitre suivant le moyeu d’effectuer ce développement; il suffit ici seulement d’en concevoir la possibilité. 11 suit de là que si l’on désigne par F le premier terme de cette série, c’est-à-dire le terme indépendant de t, F étant une fonction connue des élémens de la planète troublée et des planètes

' ' 1 perturbatrices, il en résultera dans les variations des

élémens a, e, e, etc., des termes proportionnels à l’élément du temps, lesquels produiront, par l’intégration dans les variations finies de ces élémcns , des termes croissant comme le temps , et qui seront inde'pendans de la position des planètes m, m’, ni", etc., dans leurs orbites. Si l’on substitue donc F à la place de R dans les formules (i), (2), (3), (4), (9), (10), et qu’on observ e que la différentielle de F par rapport à ni est nécessairement nulle, on aura, pour déterminer ces termes, les formules suivantes :

da =

dez=z-

an. t/ 1 — e% dF

e dm *

di —

dit)—

an. t/ 1 — e1 dF

• * • Clt y

e de

an dF

V t-fdq 'dt>

dq—

ÿT=7‘dp

Les variations déterminées par ces équations ont été nommées inégalités séculaires , parce quelles croissent avec une extrême lenteur. Quant à l’autre partie de la variation des élémens elliptiques de m , on les déterminera au moyen des formules de l’article 42, en ne conservant dans, le développement de R que les termes que nous y avons négligés.