CHAPITRE Y II

Développement des formules qui déterminent les variations des élémens des orbites planétaires , et relations qui existent entre les inégalités séculaires de ces élémens.

47. Nous venons de voir qu’en vertu de l’action réciproque des corps du système solaire, les élémens des orbites des planètes étaient soumis à deux espèces de variations distinctes. Les unes, indépendantes de la configuration de ces diffère ns corps et de leurs positions respectives , qui reviennent les mêmes après de courts intervalles, peuvent croître indéfiniment avec le temps , ou être assujetties à des périodes qui leur sont propres, mais dont la durée est toujours extrêmement longue. Les autres, au contraire, dépendent uniquement de la position des planètes, soit entre elles, soit à l’égard de leurs nœuds et de leurs aphélies, et reprennent les mêmes valeurs toutes les fois que la disposition générale du système redevient la même.

Ces dernières ont été nommées variations périodiques. Les élémens de l’orbite , en vertu de ces inégalités , 11e font qu’osciller entre des limites qu’elles 11e sauraient dépasser; leur effet est de changer à chaque instant la position qu’aurait la planète dans son orbite supposée invariable, mais la stabilité du système du monde n’en peut être altérée.

Les premières, qui sont en même temps les plus importantes et les plus difficiles à déterminer, ont été appelées variations séculaires , parce que leurs accroissemens étant extrêmement lents, ce n’est qu’après un grand nombre d’années que leur efl'et peut se manifester. Elles font varier de siècle en siècle , et par degrés insensibles, la figure des orbites et leur position dans l’espace , de sorte que , comme leur action est permanente, et continue, il est impossible de décider à priori si la forme générale du système planétaire n’eu sera pas à la longue entièrement bouleversée.

Il faut, pour résoudre cette importante question, examiner avec soin les valeurs finies de ces variations, valeurs qu’on obtiendra, comme nous l’avons dit, en intégrant les formules du n° 46- Cette intégration , il est vrai, est impossible en général dans l’état actuel de l’analyse, et il est, par conséquent, impossible aussi d’avoir rigoureusement les valeurs finies des variations des élémens elliptiques; mais le peu d’excentricité des orbites des planètes, et la petitesse de leurs inclinaisons mutuelles, permettent de déterminer par des approximations successives leurs valeurs approchées, aussi exactement qu’on le peut désirer.

48.JPour le faire voir, et pour calculer généralement toutes les inégalités que l’action mutuelle des planètes peut produire dans leurs mouvemens , il est nécessaire de réduire en série la fonction que nous avons désignée par R. Occupons-nous donc d’abord de ce développement. En ne considérant que l’action

342 XnÉORIE ANALYTIQUE

d’une seule planète perturbatrice m! sur tu , on a

Il = /»'.

*x'+jy+ zt!

L V (* — *)*+ {ÿ—jY + (s'—*)’ y*+2'*)*

zz ~]

L’action des autres corps m", m"', etc., introduit dans cette fonction des ternies semblables.

Désignons par r/ le rayon vecteur de m projeté sur le plan des xy , et par v, l’angle que fait ce rayon avec l’axe des x; désignons de même par r\ le rayon vecteur de m' projeté sur le même plan , et par v' , l’angle que forme cette projection avec l’axe des x , nous aurons

x — r( . cos vt , y ~ rt . sin , x' = r' . cos v/f / = rl' sin v/.

Si l’on substitue ces valeurs dans la fonction R, elle devient

m'.f 1 rz/.cos^Z-t/y+a^- l

L V r/'-ar// . cos(v' -rJ-J-rZ-Kz'-:)* (r/’-f.s'*)ï J'

Les excentricités et les inclinaisons mutuelles des orbites planétaires étant de très petites quantités, puisque ces orbites s’éloignent peu de la forme circulaire, et que leur plus grande inclinaison à l’écliptique ne surpasse pas 7% si l’on développe la fonction précédente en série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de ces deux élémens, cette série sera nécessairement très convergente. Cela posé, choisissons le plan fixe des x, y, qu’on est libre de prendre à volonté, de manière que les inclinaisons des or-

bites sur ce plan , soient peu considérables ; les valeurs des ordonnées s et z' seront très petites, et en développant dans cette hypothèse la fonction R, on aura