r/"-ar//.cos(K/- vj+r
Supposons, pour un moment, les orbites circulaires, et couchées toutes sur le plan des xj, en désignant par a et a’ les distances moyennes des planètes m et m au Soleil, et par et n't-\-î' leurs moyens
mouvemens autour de cet astre , nous aurons
v,=nt+t, z— o, r'—a', vj=zrit+i', z'=.o;
et si l’on nomme R, ce que devient, dans ce cas , la valeur de R, on a
R^m'. |[n'*-2aa'.cos.(n'/-nï-f-i'-i)+a‘] cos (n t -nf-f-i'-j) j.
Nous démontrerons tout à l’heure que toute fonction de la forme («'* — iaa! . cos <p + a‘)~ ï peut toujours se développer en une série procédant suivant les cosinus de l’angle y et de ses multiples : soit donc
[a'i-aao'.cos(/i'(-ni+*,-0+u“] a— ^ A(0O-f-A<M.cos(n'*-/ii+«’-0 4- A (*>.cos2 -t) -f- etc.,
on aura
[a''-^aa ,cos.(n *— cos(rt'f— 1)=— A(W
-f ^A/0- cos(n't-nf -f- •'-») -f- A,W . cos 2(n'/-;ii + «'-«) + ctc.
Si l’on observe que les arcs négatifs ont mêmes cosinus que les arcs positifs correspondans, on pourra repre'senter , pour abréger , par
^ . 2 . A w. cos i ( ni — ni + g' — g)
la somme de tous les termes de cette série. Le nombre i devant prendre toutes les valeurs entières positives
ou négatives comprises depuis t=o jusqua i — L^,
en ayant soin de faire At-'5 = ACi) ; et le coefficient Aw étant donné par l’équation Aw = A/0 toutes les fois que i est un nombre quelconque différent de
l’unité, et par l'équation AW=A,W — quand i= i .
Cette manière très simple de représenter une série procédant suivant les mulliples du cosinus d’un arc donné et composée d’un nombre indéfini de termes, est fort usitée dans toutes les branches de l’analyse, et elle est d’un usage très commode dans la théorie du système du monde, où l’on a souvent de pareilles suites à considérer.
La valeur précédente de R, deviendra ainsi R,= — . 2 . Aw . cos i (ni — ni -f- g' — g ).
Revenons maintenant aux orbites supposées peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres. On aura dans ce cas , d’après les valeurs du rayon vecteur et de la longitude vraie dans l’orbite elliptique, développées n° 25,
e(= nt — j— £ -j- v , v j =ri t-\- -\-v‘ ,
en représentant par u, u', v, v' de très petites quantités dépendantes des excentricités et des inclinaisons. Si l’on substitue ces valeurs dans la fonction R, et qu’on la développe par rapport aux puissances et aux produits de u, v, v', z et z', il suffira de remplacer ensuite ces quantités par leurs valeurs pour avoir une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, comme nous nous le sommes proposé. Mais la substitution que nous venons d’indiquer revient évidemment à donner aux quantités a, ci, nt-\-e, n't + ê', qui entrent dans la fonction R, les accroissemens au, a'u', v et v' , et à joindre à la fonction qui en résultera les termes du développement de R dépendans des variables z et z'. Si l’on fait donc
[a'* — • 2 ad . cas (n't — nt -j- i — e) a*]' *
= ^ . BCo) -f- B(,). cos (n't — nt-\-t — t)
+ B<0 • cos 2 ( n't — ni -f- i — i) -f- etc.
= - • 2 . B(,J cos i { n't — ni -j- (' — ()+
le nombre i dans cette sérié , comme dans la précédente , devant s’étendre à toutes lés valeurs comprises entre i— — J et / = £, en observant que BC~°=BC0, on trouvera par la formule ordinaire du développement des fonctions de plusieurs variables
R = Y*2.Aw.cos i(n't — lit -f- t' — i)
-1- . u . 2 .a . ■ cos i ( (n't — ni- {-«' — t )
-j— • ri . 2. • cos 4 (n't — nt- \-d — t)
— ~ . ( v ' — v).2,.i. Aco. siu i (n't — nt-\-t' — e)
-f- cos i(n't—nt-\- 1' — £)
-f- — mu . 2. aa .lj^y J. cos t (n t — nt-\-t — e)
+ ~.ri%.1.a'‘. cos t (n’t — nt -f- é' — i)
~.(v — v;.u.2.ia.{ (ni — ni- j-e — £
— ~z‘(v' — v).u' ."S., ia! . ( • sin i (n't — nt- [-t' — é)
— v)* . 2 . i* . A(0 . cos i (n't — nt -f- e' — s) + • COS (n t — nt-{-t —i)
- . 2 . B(0 . cos i (n't — nt -f- 1' — *)
-1- etc.
Voici donc la fonction R développée en série procédant suivant les puissances et les produits des quantités très petites u, 11', v et d , z et z', et il ne reste plus qu a montrer comment se forment les quantités A(0 , BW qui entrent dans ce développement ainsi que leurs différentielles successives.
49. Pour cela, considérons généralement la fonction V-'=(«'“ — 2aa'.co& <p-\-a*)~ ’, et supposons que le développement de cette fonction en série suivant les cosinus de l’angle <p et de ses multiples soit
V“' = ^ A'w-f- A'(l).cos <p-|-A'w.cos 2? -J- etc.,
les coefliciens A'(0), A'(,), A'c,), etc., étant des fonctions de a, a1 et de s.
Si l’on différencie par rapport à <p chacun des termes de ce développement , on aura
2 s. au', sin <p .V“ '— * = A'^.simp + aA'^. sin 2<p-|-elc.
Multiplions par V les deux membres de cette équation, ctsubstituons ensuite pour V"‘ et V leurs valeurs, nous aurons l’équation identique
=(a,-2afl'.cos^-f-rt'*).(A,c,).sin<p-f-2A'c*5.siii2<p-f-etc.);
d’où l’on tire, en développant et comparant les cosinus semblables.
A/(0 (>- i).(q* + q,»).A'(‘- + 3).tia. A C'-O
(i — s), ad
2 s. aa'. sin <p. ( ^ A'w-|-A'f,).cos <p -|- A'(,). cos 2 <p etc.)
On aura par cette formule A'«, A'»\ etc. , quand A'w et A'f,) seront connus.
Supposons maintenant
V ' 1 =-B'w cos <p -j-B'w.cos 2ip-f-etc.
Si l’on multiplie para'* — 2aa'.cos <p + a* les deux membres de cette équation , et que pour V-' on substitue sa valeur en série, on aura
- A'w -f- A'(0. cos<p -f- A'(°.cos 2<p-f-ctc.
=(a>— 2aa'.cos(p+o')Q'B'(<,)4.B'C0.cos?,q.B'C*).cos2?i + etc. V
et en comparant les coefüciens des cosinus semblables, on trouvera
A'® = (<*•+«'•). B'®— aa'. B®->— aa! . B'"*-’;
mais il doit exister entre les coefüciens B'(,— 1}, B'®, B^'^O des relations analogues à celles qui existent entre les coefüciens A,c'-°, A'®, A'(i+,}: la formule (a) donnera donc, en y changeant s en j-f-i et i en t-f-r,
B;Ci+0 »•(«’-»-«•») IYO) -(»-!- s) W. B'«~0 (i — s).aa
Si l’on substitue cette valeur dans l’expression précédente de A'®, elle devient
A'W = — «•(«" + «QB'CO I
Cette équation donne, en y changeant i en i-f- 1,
zs.aa' .B'O — s .(a* -f- a,*).B'(*+0
d’où l’on tire, en substituant pour B'(*+0 sa valeur précédente,
(i — s)*0 — «-}- 1 ) . aa
Si l’on élimine B'(i-° entre cette équation et l’équation (1), on aura
im=.
. (a*+a'*).A'(0 2 . <±Î±I> . a'CH-0
ou bien, en substituant pour A'c'+0 sa valeur donnée par la formule ( a ),
Ü . (a* + «'•) . A'(') + 2 . (« + *—») ^ A-Cl-) s s
On déterminera au moyen de cette formule les valeurs de B'<°), B'M, B'«, etc., lorsque celles de A'«, A,(0, A'(0, etc., seront connues; et comme celles-ci sont données par la formule (a) lorsqu’on connaît les valeurs de A’M etA'W, il ne nous restera plus que ces deux quantités à déterminer.
5o. Pour y parvenir, nous ferons usage de la méthode très simple quenousavons déjà employée dans le n°a5 et qui s’applique à tous les cas analogues. Elle consiste à exprimer le cosinus qui entre dans la fonction Ven
35o THÉORIE ANALYTIQUE
exponentielles imaginaires et à la développer ensuite.
Un a , n° 2 4, cos<p= ; on aura donc
V =«'* — aa! . {c*V~' -f- c~ ? on peut par
conséquent regarder V comme le produit des deux
facteurs a' — a.c* et a' — a.c~* , de sorte qu’on aura généralement
Si l’on développe séparément chacun des facteurs du second membre , on aura les deux séries
. c JL. r*-V-' 1 «•(*+■) a'
-ri - a'.-*-1 ^ 1.2 « '+“
+'JîJT7§— +«c ■.
Si l’on multiplie ces deux séries l’une par l’autre, et qu’on ordonne leur produit par rapport aux puissances de c* etde c~ * V~~ *• que l’on substitue eusuite 2 cos <p à la place de c* ' +c— ? ' , et
en général 2 cos i<p à la place de c'* v~' -f -c~ la valeur de V~* se trouvera exprimée, comme il est fteile de s’en assurer, par une série de cette forme, Aw-(- 2/S'\ cos <p — f— a#’5. cos 2 <p -f- etc. On aura donc ainsi généralement A'W=2AW; et en supposant i—o et i = 1 , on trouvera
- +CJ=tîMj±=î)* .£+«,.],•
' *^=sSr-('-7+*-!^rî-S
*(* + i) «•(* + ! );(« + ?) . 2! 4. etc.\
Ces séries seront convergentes toutes les fois que le rapport^ sera moindre que l’unité. Or, comme on peut regarder également la fonction V comme le produitdesdeuxfacteursci' — a.c*' ^~t et a' —
ou des deux facteurs a — d.c* etc/ — a'.c~
il s’ensuit qu’on pourra changer dans les séries précédentes a en a! , et réciproquement. On choisira donc pour déterminer A'w, A'(,), celles de ces séries où la plus grande de ces deux quantités entrera au dénominateur.
5 1 . Pour rendre ce qui précède applicable à la question qui nous occupe , ilsufliradefaire£=^ , S— ? dans
les formules que nous avons trouvées, et de supposer que les quantités que nous avons désignées par A'w, A'(l), A'w, etc., de viennent A/o), A/0, A,w, etque celles que nous avons nommées B,(u), B’w deviennent Bw, B(,), B(,}, etc. ; mais, dans ces deux cas, les séries précédentes sont peu convergentes; elles le deviennent
davantage lorsqu’on suppose .v = — ~ ; et si l’on fait
35a THÉORIE ANALYTIQUE
V* = (a, a!) -f- (a, a)'. cos <p + (a, a')", cos 2<p+ etc. ,
on trouve, pour délermiuer (a, fl7) et (a, a')',
+ (^fs) clc-] >
(*fay=-a-
i.3. 5.i. i.3. 5. 7 a7 4.6.8.2.4.6T87ï^-^~etc-
On aura par ces séries les valeurs de {a, a') et de ( 'a, a ')' avec tel degré de précision que l’on voudra. Dans la théorie des planètes et des satellites, il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes, et l’on pourra négliger les suivans ; ou plus exactement, comme ces termes approchent ensuite de plus en plus de l’égalité, on les sommera comme une progression géométrique dont la raison serait 1 — %-t;
les valeurs de (a, a') et de {a, a')' qui en résulteront seront exactes, à la sixième décimale près, ce qui est plus que suffisant dans tous les cas. Lorsqu’on aura déterminé ainsi (a, a') et {a, a')', on aura par les formules (b) et (c), avec le même degré de précision, les valeurs de A;w et A/0. Si l’on fait dans la première
f =5 — 1 et f=o, elle donnera
. (aa + a*) • (a , a) +3a' . (a , a a')
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DU SYSTÈME Dü MONDE. 353
Et si 1 on fait s = — -, is= i dans la formule (c) , on
aura
A O) 4üa'-(g'n')~4~3 ■ .(a, a)'
On déterminera ensuite par la formule (a) Aco en fonction de A(o), et de , quel que soit le nombre i, et l’on en déduira Bw par la formule (</). Si dans les expressions de BCo) et de Bco, trouvées de cette manière , on substitue pour A<o)( et Aw, leurs valeurs précédentes, on aura les formules très simples
2 • ■ n ) TKi) — 3. (g, g')'
(a'* — dy * (a'* — a *)* ‘
5a. Voyons maintenant comment se formeront les différences successives des quantités AM/t Ac,) , etc., Bc"\ B(0, etc., que nous venons de déterminer, tant par rapport à a que par rapport à a1. Pour cela reprenons l’équation générale
V— ’ = A'c"} + A'(0.cos tp-f- A'w.cos 2<p -f-etc.
Si on la différencie par rapport à a, en observant que dV ,
~y~— 2. (a — a J. cos <p, on aura
— 2S.[a — a'). cos <p. i ^£2 COs(*
^ ' p da ' da *COS,(?
rfA'CO
cos :rp -f-etc.;
mais l’équation V = a'* — aan'. cos <p -f- a* donne
« — a .cos <p =
