V -fa

ou a donc ainsi

v-.+(Sw).v-'=-^:

a dA.'&'i da

a dk'W a r/A'M

.cos <p — -. — gr— .cos 2 <p — etc.

da

ou bien , en mettant pour V~‘ et V-'~* leurs valeurs

en sérié ,

- .A'tO -pA('I.caBp+A»t').cos 2ÿ-f-etc.-f*(a*- —

-4- B'^O.cos <p -f-B'W.cos2p -f- etc.) i a rfA'l») a f/A'CO a <*A'«

. cos p .

Ja

cos 2<f — etc. ;

d’où l’on tire généralement par la comparaison des termes affectés de cosinus semblables

dk ^ |; • (° a n>) jj co * ^/(o

da a a ’ ■ *

ou bien, en mettant pour B'w sa valeur donnée par la formule (b),

dk'W /ta,*-Ht-fa»)-gv\ *,t0

da — V. a.(a"— a') J

Si l’on différencie successivement celte équation par rapport à a , et que dans les équations résultantes ou f/A'C‘7 f/A'(M l)

substitue pour — et — leurs valeurs déterminées par la formule précédente, à mesure que ces quantités se présenteront, les différences successives de A'w se trouveront toutes exprimées en fonction de A'CO, A'0+o, A'(i+,), et nous avons déjà vu comment ou déterminait ces valeurs.

Digîtizeffby Goo^ie

Dü SYSTÈME DU MONDE. 355

Si dans la formule (D) on suppose^=-, elle devient

équation qui donne, en y faisant successivement t = o et i = i,

rfA/(8) a A W .A t0

du a! * — u1’ ' d% — a1 1 *

da

a’ dk.M

da ’

II a w. £ .A c0=—

rfOVW___2rt^__ . a'3 — 3aV A(l)

tfa* ~(a'* — a»)** ' ^ . (a'1 — a*); ' ’

On peut donner à ces formules une forme plus simple en substituant à la place de A /(o) et A/‘3 leurs valeurs en et Iîc‘3, valeurs qu'on obtiendra aisément par les formules (i) et (a), en faisant dans ces

formules t=o, s—'. On aura de cette manière

A,C")=(a’+a'*) BOO-aaa'.BO), A t,>=2aa'.BCO-(a,+n,*).BCO, =o'.BtO a.BW; o.(^— )=a'\ B0)oa'. B«,

a.^^}=2a.Bc»)-û'.BC') ; «! .(^-))=3ûû,.BC“)-2a'*.BC0, etc.

’ aô. •

Lorsqu'on aura ainsi déterminé les différences successives de A/0 et de Bw par rapport à a, il sera facile d’en conclure les différencessuccessivas des mêmes quantités par rapport à a'. Pour cela on remarquera que le coefficient A/0 résultant du développement par rapport à <p d’une fonction homogène de a et a' de la dimensiou — i , est lui-même nécessairement une fonction semblable en a et a' de la même dimension; par la propriété connue de ce genre de fonction on a donc

d’où l’on tire en différenciant

/dAy>\ Ai* A W\

, rn , . /d\ «\ /d‘ >\ C0\

De même, le coefficient Bw résultant du développement d’une fonction homogène en a et a de la dimension — 3 , on aura

/dm

V da

/rZCCO\

\ du

et en différenciant,

, / <i*n<0 \ MW C0\ /t£W\

° • \da . da')~ ^ \ da) da'~)'

= ,a • BC0-»~ 8a * • (tst)’

etc.

On aura ainsi les différences partielles de A ® et de B®, par rapport à a! au moyen de leurs différences partielles relatives à a.

On peut observer encore que les valeurs de A/0 et de B® restant les mêmes lorsqu'on y changea en a! , et réciproquement, ces valeurs et celles de leurs différences successives serviront à la fois dans le calcul des perturbations des deux corps m et m1. Lorsque la valeur de A,® sera connue , on aura celle de A® par l'équation A®= A/0, i étant un nombre quelconque

différent de l’unité, et par l’équation A®=Ay® — i étant égal à l’unité.

53. On déterminera donc par ce qui précède les différentes quantités qui entrent dans le développement de R en série. Considérons de nouveau l’expression générale de ce développement. Pour cela , reprenons la valeur de R du n° 48 ,

R =mT— =

r/.cosfv/—

V ^-2v/.cos(*>;-^/)+r*+(«-a)* (/• 4. *'») ï

r, et r/ étant les rayons vecteurs de m et m' projetés sur le plan des xj, et <>y et t>/ les longitudes de ces rayons , comptées à partir de l’axe des x. Représentons par (r,), (?,)» (2), et par (/•/), (?/), (z1) les parties

des valeurs des variables rt, vl7 z, et r/, v' t , z' qui dépendent du mouvement elliptique ou qui sont dues à la seule action du Soleil , et désignons en général par la caractéristique J' placée devant une quantité la variation fiuie de cette quantité due à l’action des forces perturbatrices. On aura

r/ = (r,')+JV/, = z> = (z') + <h\

Telles sont donc les valeurs qu’il faudrait substituer à la place de r(, z, etc., dans l’expression de R pour avoir la valeur exacte de cette fonction; mais é'r/ , iPe,, cPs et JV7, «JV„ JV,sont nécessairement de très petites quantités de l’ordre des masses m' , m*, etc., puisque ces variations sont nulles quand on fait abstraction des forces perturbatrices; il n’en saurait donc résulter dans R que des termes de l’ordre du carré des masses, puisque cette fonction est elle-même du premier ordre par rapport à ces masses. Si l’on sc borne donc à considérer les termes du développement de R du premier ordre relativement aux masses perturbatrices, ce qui suffit presque toujours, il faudra substituer seulement dans cette fonction à la place de rt> r,, z, r/, vj , z' leurs valeurs elliptiques. Ou aura ainsi

Désignons par r le rayon vecteur de m dans son orbite elliptique ; par v la longitude de ce rayon

DU SYSTÈME DU MONDE. 35g

comptée dans le plan*de l’orbite h partir de son intersection avec le plan fixe des* x , jr ; et par a la longitude de cette ligne comptée sur ce dernier plan à partir de l’axe des abcisses x; en sorte q%e (r,) représente la projection du rayon vecteur r, et v, — « la projection de l’angle t>; nommons enfin <p l’inclinaison de l’orbite de m sur le plan fixe ; nous aurons par le n° a5, en bornant les approximations aux termes du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ,

r, r= ( O = r ' (‘ — 3 • tang* <P • «nV) vt — (e,) = v -f- a — tang* ^ <p . sin 2 e j

ou bien , en mettant à la place de r et v leurs valeur^, données dans le n* 24,

vt=snt-i- i-f-a+aesin (nt + t — •) ■+■ y e' sina (nt + « — •)

— tang* - <p . sia 2 (nt -{-•}*

a étant le demi grand axe de l’orbite de m, e l’excentricité, eo la longitude de son périhélie, et la longitude moyenne de m.

En comparant les valeurs précédentes de r et e à celles que nous leur avons supposées n° 48, savoir ,

r, = a . (1 -+-k), v, = nt + i+v,

on aura

36o THÉORIE ANALYTIQUE

n=-ir.oo6(ai-f~i-a) t-coS2(ttt-|-i-«) ]- -.lang*.^.sin’(nÉ -J- «),

*’=2f.sin(«jt+»-*)+^«\sin2(n/-|-i-»)-tang*-0.sin2(nf + «)•

Si l’on désigne para', e , ri, t , ou', a! et <p' par rapport à rri les quantités que nous avons désignées par a, e, n, i, a>, actp relativement à m, on trouvera de lamême manière

u'=-/.oo»(n' «,*.Ci-co»a(»'<+/-«,)]-".tang*f'.sin*(i»V-f-i'), 5 i

ri =2.e'.sin(n't-pi,-i»,)-f-7 .<',*.sin2(n,^+l, ing-ip'.sinaÇn'f-J-/).

Enfin on aura pour déterminer z et z’ , z — r,. tang ç . sin ( vt — «) et z' = r' , . tang f . sin ( v / — « ) .

Telles sont par conséquent les valeurs qu’il faudra substituer à la place de u, v, z, u' , ri , z' dans le développement de R du n° 48, et l’on aura ainsi la valeur de cette fonction exacte, aux quantités près du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Si à la place des inclinaisons <p et <p' des orbites de m et de 7 ri sur le plan fixe , et des longitudes a et a! de leurs nœuds, on veut introduire dans R les variables p et q que nous avons considérées n° 44» et leurs analogues p' et q’, on fera comme dans ce numéro,

p = tang ç . sin a , q~ tang p cos a , d'où l’on tire

tang ? s= \/p' + tanga = ^.

On aura de môme

tang <p' = \/p"+q" y tang a'= .

On aura ensuite

z — qy—px, t! — q’f— p'x.

Comme la fonction R ne contient que les carrés et les produits de z et z' et que p , q , p1 et q' , sont des quantités de l’ordre des inclinaisons <p et <p' , il suffira de substituer à la place de x et jr , x1 et y1 dans ces équations , leurs valeurs indépendantes des excentricités et des inclinaisons : on a dans ce cas

x — a . cos (nt + t -f- «)> y — • sin ( nt -f- e-f- a),

x! — a'., cos a'), y'— a' . sin (nt -f- s'-f- a') ;

ce qui donne par conséquent ,

J = <7 • sin (nt -f- e -f- a) — p . cos (nt -f- c -f- a) ,

--—q' . sin^'r-f-e'+a') — p' . cosfn'i-j-é'-f-a').

Si l’on substitue ces diverses valeurs dans l’expression de Rdun°48 etqu’oanc conserve que le premier terme du développement, c’est-à-dire le terme indépendant des auglesa/ et n't, on trouvera pour la valeur de la quantité que nous avons désignée par F dans le n° 46

4[=‘SxV©

, i ,/oP ACOyi ,

+âaa'(^Ja7)j'e-C0S('“)

m r /üfAC°)\ -1

~tÂi.a • (lE") + “ • BCO) J • O»1 ■ + 9*).

-^E? • (i^)+a'‘-BCO)] • (p''+9‘)>

+-j- • ca' . BC‘) . (pp’ -f- qq').

Si dans cette expression on fait ACo) = A;w et Aco= A/° — et que pour A,w, A/0 et leurs différences partielles, on substitue leurs valeurs en Bw et 11e0 données dans le n* 5a , en remarquant que l’on a

a' . ^“^^4.0'. . BC°)=c . (-^T -)+“*• ®(0)— oa' . B«.

La valeur précédente de F prend cette forme plus simple ,

F=^.AW+^.aa'.BCO.

+ *T ' [^'•BCO)-(a‘+a/,) B(0] "' cO»-(«-»);

Enfin, si dans cette expression on substitue pour B(o) et B0* leurs valeurs

,) 2- (a.<Q Bco ~~ 3 ~ (a,a‘ Ï

On peut encore donner une autre forme à cette expression, en faisant, comme dans len° 46>

i=e.sinai, c=c.cosai , i'=e'.sin«' , c'—e'. cosa/,

On trouve alors

3ct'. [aa' . (a,g')+ (q34-q'*) ■ (a, a )'] 4. cc'\

En substituant à la place de la fonction F sa valeur

Kp)

(n) dans les formules (n) de l’article 4G ou sa valeur^) dans les formules (12), on aura par la différentiation de chacun de ses termes les variations différentielles des élémens de l’orbite de m, exactes aux quantités près du second ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, que nous regardons comme de très petites quantités du premier ordre.

Il est bon de remarquer que A W ainsi que jes fonc. tions de a et a qui sont représentées par des parenthèses dans la valeur de F, étant symétriques par rapport à ces deux quantités, cette valeur ne varie pas lorsqu’on y change a, b, c , p, q, en a', b ', c',p' , q' , et réciproquement, de sorte que si l’on fait F= m' . F',

, ^a fonction b sera la même pour les deux planètes, et pourra servir simultanément pour le calcul de leurs perturbations. C’est d’ailleurs ce qu’on peut conclure a priori de l’expression de R. En effet on a

1 jj+r.y'+H'-i

U est aisé de se convaincre, et nous prouverons dans le chapitre suivant, que lorsqu’on n’a égard qu’aux termes du premier ordre par rapport aux

niasses perturbatrices , la partie xx’ + yy+*‘ de

la valeur précédente ne produit dans le développement de R que des termes périodiques, en sorte que . la partie non périodique de R, que nous avons désignée par b=m'.F ne peut provenir que de la partie non périodique de la fonction