L- 1/ (je — j

d’où il euh que F' est égal 1 la partie non périodique

de la fonction [ (*» (/ - jY+(z'— développée en sinus et cosinus d’angles croissans proportionnellement au temps, et que par conséquent sa valeur est la même pour la planète m et pour la planète m'.

54. Après cette digression indispensable sur le développement de R en série , reprenons les formules générales que nous avons trouvées dans le chapitre précédent pour déterminer les variations séculaires des élémens du mouvement elliptique , et développons les conséquences importantes qui en résultent relativement à la stabilité de notre système planétaire. Considérons un système composé d’un nombre quelconque de corps m, rn' , m" , etc. , réagissant les uns sur les autres. Nommons a' , b' , c' , p' , q' , e' , u , a', <p' par rapport à m' ; a , b" , c , p" , q" , e " , a" , a." , <j>" par rapport à,7«", et ainsi de suite, ce que nous avons nommé a, b, c, p, q, e, o>, a, <p relativement à m. Substituons pour ACo) sa valeur dans l’expression (j>) de F, et faisons pour abréger ,

1(a24-a'*) . (a, a)-\-Z.aa .( a, a'}' 3 ■ ad . ( a,a'Y

•4-3. [aa. (a, «')-|-(«,+g',).(<7,a')/] mj,.

en désignant par 2 la somme de tous les termes semblables aux précédons qu’on obtiendra en combinant entre elles deux à deux et de la même manière les

Digitiz

masses m , ni , ni, etc. , et les quantités qui leur sont

relatives.

Si l’on substitue L à la place de F dans les formules (n) et (12) du n° 46» on aura des équations différentielles au moyen desquelles on déterminera les variations séculaires des élémens b, c,,p, q de l’orbite de m, causées par l’action des corps ni', mi , etc. ; et comme la fonction L est symétrique par rapport à tous les corps du système , il suffira de marquer successivement d’un accent dans ces formules les lettres m, b, c, p, q pour avoir les variations des mêmes élémens relatifs aux orbites de ni', ni' , etc. En négligeant les carrés et les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, et en se rappelant que a>n%= 1 , a'3nl% = 1 , etc. , on obtiendra de cette manière le système d’équations différentielles suivant :

db= * dL

dh

a ’ de ‘ ^ C m\/ a db

. (Il,

dp — . — . fit, dq

r mVa '

db'=-!-^.^.dt, dc'=z

m\/a' <lc

dp'z=—L--. ~.dt, dq' — ^ ni]/ a!

m/ a dp

1 dL Jâ

m'VH * db' *

m/a' dP l dL ,

«V? ■ db" ‘ ’

dL

r,* /a" " dp

v . dt,

Digitizet

La forme simple et symétrique de ces formules fait connaître plusieurs relations qui existent entre les variations séculaires des élémens d’un système de planètes m, ml, m", etc. Ou tire d’abord des équations précédentes

itL cfL , dL . fit , f d U , . dïj . ,

db-db+Tcdc= 0> dü'^+Td^-0’ db‘Ab+d?Ac=n’

etc. , .

d\-i , c/L , , f . f/L , / dîj » 1 . f

-Jp+1I-.dfJS=o, -,.dp + -.dq=o, -a.dp +J-rd<i =0,

etc.

Et comme L est une fonction des variables a, b, c, p, q, al , b' , etc. , indépendante du temps, et que d’ailleurs a, a! , a, etc., sont constans, n° 46, par rapport aux variations séculaires, il s’ensuit qu’on aura dh = o, et par conséquent L== constante, équation qui doit subsister quelques variations que les élémens b, c,p, q, b' , c' , etc., subissent dans la suite des siècles.

Si l’on multiplie les équations (M) , la première par m Va • b, la seconde par m\'a . c, la cinquième par m's/a’.b' , la sixième par m \/a'.c', et ainsi de suite, qu’ou ajoute entre eux ces différens produits, on aura

m a.{bdb-\-cdc)-\-m' ^ d .{fJ db' -f- c' de ÿ a“ ,{b'dl'-\-c"dcr)

, dL* d\t 7 dLt r d\j dVj , dL»

db

de'

db'

' de"

db"

Il est aisé de se convaincre que le second membre de cette équation est nul de lui-même par la nature de la fonction L. Si l’on observe donc que les demi

grands axes a, a! , ai1 etc., sont constans et que Z>*-J-c*=e*, £'*-+- c'*== e'*, etc., l’équation précédente donnera en l’intégrant

m \/a . e*+m' \Ja! . e'*-f -m' \J a . e”**4- etc. s= const. (e)

C’est-à-dire que la somme des masses des différens corps du système, multipliées par les racines carrées des demi grands axes et par les carrés des excentricités de leurs orbites, sera la même dans tous les temps. Si l’on suppose donc cette somme très petite à une certaine époque et tous les radicaux y/a,

\/ a, etc., de même signe, elle demeurera toujours peu considérable. Nous verrons bientôt que celle remarque assure relativement aux excentricités des orbes planétaires la stabilité du système du monde.

Si l’on multiplie les équations (M), la troisième par m \ fa .p , la quatrième par m \ 'a . q , la septième par m' \/ a . p' , et ainsi de suite, qu’on intègre la somme de ces produits eu observant que, par la nature de la fonction L, on a,

rffj d t> . , dL , d\i . , dh ,

P-d^-l-^+P-dJ-l ’jp+P ‘dq“ q

d L dp"

-f-etc.=o,

on trouvera

m V . \/ a .(p'+q^+m” \/ (//“+■/’ “)+ctc.==const. (y-)

D’ailleurs, en nommant <p, <p', <p", etc., les inclinaisons des orbites de ni, rn' , w", etc., sur le plan fixe des xy , on a t

/>*+?“ = tang* <f , — taiigV ,

P " + 7‘,' = taiig’pf, ele.

L équation precedente donnera donc

m y/ a.tang'p m'y/a'. tangsp'4-m" y/ a\tangV’+etc.==const, (/)

équation d’où l’on tirera, relativement’ aux inclinaisons des orbites , des conséquences analogues à celles qu’a fournies l’équation ( e ) par rapport à leurs ex- • -• centricités. ; ■*

Si l’on multiplie les mêmes équations, la troisième par m\/a , la septième par m' V a' , et ainsi du reste, qu’on les ajoute ensuite; si l’on multiplie la quatrième par m \/a , la huitième par m \/a' , et ainsi de suite; qu’on ajoute les produits , et qu’on intègre les deux sommes résultantes, en observant que par la nature de la fonction L, on a

d L dL UL

d,{ + dq,+ dq"

etc. = o ,

d[, dV, dh

aï+dp+d? +

etc. = o ,

on aura les deux nouvelles intégrales suivantes :

y/ a .p-\-m y/ a .p- f- m" y/ a.“ .p" -f- etc. = const., y/a . q + m! y/a' . ÿ'-f- m" [/ a“ . q" -f- etc. = const.

Si l’on multiplie la première des équations (M) par

m \/a.c, la seconde par — m \/a.b, la troisième par m s/a.q, la quatrième par — m \/a.p, la cinquième par m' \/a' .d , et ainsi de suite, etqu’on ajoute entre eux les produits résultans , on aura

/- /cdb-bdc\ , y— 7 fc db'-V dc'\ „ /— /c“ db" -h” dc"\

m^a\—d— )+m '/ a '( di )+m t/a {— 7dT~ )+e[c'

a ^ ^ ii' ^ i / ^L c/L . rfL

=6rfï+C&+i-^+C-Â''+6-^+C -d? + *tC-

dh dh , </L , dh „ dh „ dL

+p' Tq +<pTr+p 'dp' +,/ ' d7f +p ' dp" ' 1? + elc>

Or, la quantité que représente L étant une fonction homogène du second ordre , par rapport aux variables b, c, p, q , b', c , etc., on a, par la propriété de ces sortes de fonctions ,

. +P-t+‘'-rq+P'-drP- +*'•£ + etc. = aL.

‘dq

On a d’ailleurs , d’après les valeurs de b , c , p , q , b', c', etc. ,

cdb — bdc = c'dcn , c'db' — b' de' = e'%da>' , c’db’— b' de’ — e"*doû', etc. , qdp — pdq—tang* <p.det, q'dp' — p'dq'zsz tang* <p' . da' , q" dp'' — p' dp" — tang1 p" . da.", etc .

L’équation précédente deviendra donc

my a • -j- -f • m y a . — j- f - m y a •

de

etc.

+ mVa. X?££±+m' + /?.^^+etc,=2L j

DU SYSTÈME DU MONDE. 37i

et comme la fonction L est constante , on peut , dans le second membre de cette équation, substituer sa valeur à un instant quelconque. D’ailleurs , comme les variations séculaires des excentricités et des inclinaisons, tant qu’on ne considère que les termes du premier ordre par rapport à ces quantités, sont données par des formules absolument indépendantes entre elles , on peut supposer les orbites de m , m', m" , etc., dans le même plan, lorsque l’on ne considère que les variations des excentricités, ou les supposer circulaires, lorsqu’on considère celles des inclinaisons. En faisant donc tour à tour <p=o, <p'=o, <?"=o, etc. , et e—o, e's=o, e"=o, etc. , dans l’équation précédente , on aura séparément ,

/- e'dm , *%d» n,/~1 «**<£•*

i y a • -jg — (- n y a . —j- — \-m y a • — 1- etc.=cons!.,

. tan tangV.di*' , „ . /— tano’p'.iia •

iVa ^ h"1 V a ^ f-m y a • — ^ f-etc.=const.

t ... f dm dm . dit det !

Les quantités ^ etc., , etc., expn-

ment les vitesses angulaires des mouvemens des périhélies et des nœuds des différentes orbites; les équations précédentes donnent par conséquent une x'elation qui doit toujours exister entre ces vitesses, et montrent qu’elles ne pourront pas croître indéfiniment, si on les suppose toutes de même signe, ainsi que les radicaux \/a, \/a' , etc.

Les diverses équations auxquelles nous venons de parvenir expriment des relations qui doivent tou-

jours subsister entre les élémens des orbites de in , m, etc., regardées comme des ellipses yariables à raison de l’actiou mutuelle de ces corps , quels que soient les changemens que ces élémens éprouvent dans la suite des temps , du moins tant qu’on n’aura égard, dans la détermination de leurs valeurs, qu’à la première puissance des excentricités, des inclinaisons et des forces perturbatrices. Elles fournissent par conséquent autant d’équations de condition , au moyen desquelles on pourra vérilier ces valeurs lorsqu’on les aura déterminées.

5cj. Considérons en particulier les mouvemens des orbites de deux planètes m et m' que nous supposerons assez éloignées des autres corps du système, pour qu’ils n’aient sur elles aucune influence, en sorte que ces deux planètes forment entre elles, avec le Soleil, une sorte de système particulier. Nous verrons dans la suite que ce cas est, à très peu près, celui de Jupiter et de Saturne.

Si l’on prend pour plan fixe , le plan de l’orbite de ni à une époque quelconque, qu’on nomme y l’inclinaison mutuelle des deux orbites , que nous supposeronstoujours très petite, on aura <p=o et <p' = y; d’ailleurs, d’après la remarque que nous avons faite dans le n* précédent , si l’on ne considère que les variations des inclinaisons, on peut supposer nulles les excentricités dans la valeur de la fonction L , qui devient simplement alors

, r(a*+a").(a, a')+3.aa'.(ap')' , 3.aa'.(a,a'Y

L c«w)‘ +Mv--ar(/> +ï > J

Digitiz etrtÿ-G^Ogle

La fonction L' doit demeurer constante , quelques variations que subissent les quantités// et q' ; on a d’ailleurs q'% — tang* y'. L’équation précédente donnera donc

tang <f>' = tang y = constante ,

c’est-à-dire que, dans ce cas, l’inclinaison mutuelle des deux orbites est toujours la même.

Déterminons le mouvement des nœuds de l’orbite de m! sur l’orbite de m. Si dans la formule (5) du

n* 42 on remplace R par L', on aura

dL'

UJLi j

m'. \/ a . ( 1 -e'a) sinp'.dq>' "

En substituant dans cette expression, à la place de L' sa valeur précédente, et en négligeant les termes du second ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons , on trouve

daf 3/71 ■ ad . (q, a')'

Tl ~ 4 . t/Z.(a'* — a*)* *

c’est l’expression de la vitesse angulaire du mouvement du nœud de l’orbite de m sur le plan de l’orbite de m. On voit que cette vitesse est constante. Le mouvement de l’intersection de deux orbites pendant le temps t , en vertu de l’action mutuelle de

m et de m' , sera donc 3fft ■ ‘(a>a ) . t sur je j

de l’orbite de m : le mouvement de cette intersection pendant le même intervalle sur le plan de l’or-

bite de m' sera L . t, et leur inclinai-

son mutuelle pendant ce temps ne variera pas.

Concevons un plan fixe intermédiaire entre ceux des deux orbites, et passant par leur commune intersection. Soit <p l’inclinaison de l’orbite de ni, et <p' l’inclinaison de l’orbite de m! sur ce plan , en sorte qu’on ait <p' + <p = y. Le mouvement des nœuds de chacune des deux orbites sur le plan fixe sera déterminé par les équations

da. 1 dL

dt m . \/a. (1 — e*) ’ sin <p . rf<p *

dri 1 d L

* tri . — <•'*) ' sin tp' .dp'*

L ayant la même signification que dans le n° 54- Si l’on n’a égard qu’à l’action mutuelle de deux planètes m et m', et qu’on substitue pour p , q , p', </' leurs valeurs n° 53, dans la fonction L, on aura, aux quantités près du second ordre en <p et <p',

dL dL

, dtp dçf ~~ °’

d’où l’on voit d’abord que les mouvemens instantanés dx et da! des noeuds des deux orbites sur le plan fixe, se font en sens contraire, ce qui résulte en effet de ce que , par la construction , le nœud ascendant de l’une d’elles coïncide avec le nœud descendant de l’autre , et réciproquement. On voit de plus que si l’on fait

ni. — e*) .sin <p = m' .\/ a! . (1 — e'*). sin <p' ,

pu SYSTÈME DU MONDE. 375

on aura, pour un instant quelconque, da — — da! , c’est-à-dire que, dans ce cas, l’intersection commune des deux orbites restera toujours sur le plan que nous venons de considérer, pourvu qu’il partage l’angle y de manière à ce que les angles tp et <p' satisfassent à l’équation précédente.

Cette équation combinée avec la suivante qui n’est qu’une extension de l’équation (/) du n° 54, et que nous démontrerons dans la suite,

m. — e*).sin’p-|-/7i'. s/a'.(\ — e'*).sin*ç'=ca,

donne ♦

m . y/q'.(l — e'3).ca

Ces valeurs montrent que les deux angles <p et <p' sont constans ; les inclinaisons des orbites de m et de m' sur le plan fixe sont donc invariables , ainsi que leurs inclinaisons mutuelles ; ces trois plans auront toujours une intersection commune, et le mouvement de cette intersection sera uniforme. Nous verrons dans la suite que le plan qui jouit de cette propriété remarquable, est celui du maximum des aires, que nous avons nommé plan invariable dans le n° a3 du premier livre.

56. Il nous reste à considérer la variation de la longitude e de l’époque. La troisième des formules (r i) du n° 46 qui la détermine, peut être mise sous cette forme :

siu*p = sin*p'=

dtz=z (i — x/'i — * ê%) . da> — a a’«. jâ’^'

Si dans cette formule on substitue à la place de F la fonction ^-.L du n° 54» pour avoir des formules symétriques pour toutes les planètes , on aura

de—( 1 — \A — <?*) . do) — ^2.

Désignons par e', e", etc. , ce que devient ê relativement aux planètes m', m', ete. , nous aurons, pour déterminer les variations cU , di' , etc., des formules analogues à la précédente , en marquant successivement d’un accent dans celles-ci, les lettres m,n, a, e, u>. Cela posé, si l’on multiplie ces différentes formules, la première par m , la seconde par m'\/ a' et ainsi de suite ; qu’on les ajoute en observant qu’on a généralement a\/a.n= 1 , on trouvera

m \/ a .dt -f- m t/a' .dt - f- m V'a . d," + etc.

= ra(/a.(i — V 1 — «*) . dt

+ m’t/a'>( I — V 1 -e%).d*’-\-rr“ \/ a‘-{ l- \/ 1 -e**) . c?»"-f-etc.

L étant une fonction homogène en a, a', a", etc., de la dimension — 1 ; on a, par la propriété de ces fonctions,

‘ TJiqitizecf

jOdgle

“■Ta +“ ■ a + “ • 2? + **c- = - L

Nous avons vu, n" 54, que la fonction L est constante par rapport aux variations séculaires des elé— mens de m , m', etc. 5 d’ailleurs , si l’on néglige les puissances des excentricités supérieures à la deuxième, on a , numéro cité ,

+/n" . ( 1 — V/T^?*) . d-'+etc.

C étant une constante invariable.

On aura donc enfin,

m\/â. j( -f- m' \/a'.^+m" v/a".^- + etc. =const.,

relation semblable à celle qui existe entre les longitudes dés périhélies et des nœuds, et dont on peut tirer des conséquences analogues.

Si l’on ne veut considérer dans le premier membre

de l’équation précédente, que les termes de ~t,

, etc.^ qui sont proportionnels au temps , on

pourra faire abstraction de la constante du second membre. On aura donc entre ces termes l’équation

m \/a. y 'a1 . de1 m" V a" . de"-\- etc. = o , (t)

d’où il suit que la somme des termes des longitudes e , etc. , proportionnels au carré et aux puis-

sances supérieures du temps, multipliées respectivement par m\/a, m' VV, m" , etc., est constante. On retrouve donc entre ces parties des variations séculaires dès la longitude de l’époque, les mêmes relations qu’on remarque entre celles des carrés des inclinaisons, et en général, entre les inégalités dont les périodes sont très longues.

5y. Nous avons fait voir que la fonction L, et par conséquent la fonction F du n° 46 , ne varient pas lorsqu’on y fait varier les élémens a, b, c, p, q de la planète troublée et des planètes perturbatrices, en vertu de leurs inégalités séculaires; c’est-à-dire qu’on aura toujours

, , dF , d¥ . . rfF , d¥ .

Ta • da+db ■ db + -dc ■ dc + Tp ’ dp+d^ ■ rfî + etc. = o.

Nous n’avons démontré cette proposition qu’en portant l’approximation jusqu’aux termes de l’ordre du carré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; mais il est facile de l’étendre à toutes les puissances de ces élémens. En effet, si l’on substitue à la place de da , db, etc., da’ , db', etc. , leurs valeurs déterminées par les formules (1 1) du n° 46, l’équation précédente se vérifiera d’elle-mème; d’où ^’on peut conclure que la fonction F est rigoureusement constante par rapport aux variations séculaires de la planète troublée et dcs-planètes perturbatrices.

Dans le chapitre suivant-, . nous examinerons en particulier les inégalités séculaires de chacun desélé-

’Digitlzêd by’Gbogle

Dü SYSTÈME DU MONDE. ' 379

mens des orbites planétaires; nous développerons les formules différentielles de leurs variations , et nous les intégrerons ensuite ; et comme la forme des intégrales a la plus grande influence sur la constitution et sur la stabilité du système solaire, nous donnerons à cet examen toute l’étendue et tous les développemens que son importance exige.