INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES ÉLÉMEKS DES ORBITES PLANÉTAIRES
V anations séculaires des grands axes et des moyens mouvemens.
58. Le grand axeest, de tousles e'iémens des orbites planétaires , celui dont les variations séculaires sont les plus importantes, parce que non-seulement il influe de la manière la plus directe sur la forme de l’orbite, mais encore, parce qu’il détermine le moyen mouvement, ou, pour parler plus exactement, ce qui dans l’orbite troublée répond au moyen mouvement dans l’orbite elliptique; d’où il résulte que la moindre altération dans le grand axe de l’orbite d’une planète en produit une nouvelle, beaucoup plus sensible encore, dans la durée de sa révolution.
En effet , si l’on fait n = a-» , et que l’on désigne par '( le moyen mouvement de m, on a dans l’orbite elliptique d^ = ndt. Or , nous avons vu qu’on pouvait dans le mouvement troublé, supposer que pendant chaque instant infiniment petit dt la planète m se meut dans un orbe elliptique; l’équation précédente aura donc encore lieu dans ce cas, seulement
DU SYSTÈME DU MONDE. 38i
la quantité n ne sera plus constante , et ce mouvement, par conséquent, ne sera plus uniforme. Nous continuerons cependant, par analogie, à appeler £ ou l’intégrale f ndt le moyen mouvement de la planète troublée, parce qu’il correspond, dans les formules du mouvement troublé, au moyen mouvement nt dans les formules du mouvement elliptique. On aura, n° 43, pour déterminer £ dans l’orbite variable, la formule
£ = — 3 .ffk andt . r/'R, (i)
et la valeur du grand axe sera donnée par l’équation a = a .fa*. d?R. (2)
On voit donc que si la différentielle <i'R renferme un terme proportionnel à l’élément du temps , ou , ce qui
revient au même, si ^ renferme un terme constant,
il en résultera dans l’expression du grand axe, un terme croissant comme le temps et de la forme kt , k étant une fonction des élémens des orbites de m et de m'; et dans l’expression du moyen mouvement, un terme de la forme kt*, qui , croissant comme le carré du temps, deviendra à la longue extrêmement sensible. Ainsi, au bout de quelques siècles, la forme des orbites et la durée des révolutions des planètes pourront se trouver sensiblement altérées. Si au contraire la différentielle d! R n’est composée que de termes périodiques, c’est-à-dire qui ne contiennent pas le temps t hors des signes sinus et cosinus , les valeurs de a et £ ne contiendront que des termes semblables : les grands axes des orbites et les moyens
mouvemens ne seront soumis par conséquent à aucune inégalité séculaire , ou susceptible de croître indéfiniment avec le temps , ils ne seront assujettis qu’à des inégalités périodiques dont on pourra toujours assigner les limites, et qui, dépendant uniquement de la configuration des différens corps du système, reprendront les mêmes valeurs toutes les fois que ces corps reviendront aux mêmes positions.
Il est donc extrêmement important d’examiner avec soin la forme de la différentielle cPR. Nous avons déjà vu, n° 46, que cette différentielle ne pouvait contenir que des termes périodiques , lorsqu’on n’avait égard qu’à la première puissance des forces perturbatrices, quelque loin d’ailleurs que l’on porte les approximations par rapport aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais, pour ne laisser aucun doute sur ce point, l’un des plus intéressant du système du monde, nous allons reprendre ici cette démonstration , et nous l’étendrons ensuite au cas où l’on considère les carrés et les produits des forces perturbatrices.
5g. Reprenons la formule du n" 43#
da = 2 a*. i/R.
La caractéristique d! ne se rapporte ici qu’aux coordonnées de la planète troublée, en sorte que si l’on regarde R comme une fonction des coordonnées x, y, z, x', y' , z', etc., de la planète troublée et des planètes perturbatrices, on a
d'Kxzj-.dx + ^.dz + ^.dz.
DigitizeébÿTaOôg!
Par conséquent, si l’on remplace les coordonnées jc, j-, z,x',y', z' , etc., par leurs valeurs en fonction du temps, il faudra pour avoir la différentielle d'R, faire varier le temps qui aura été introduit dans R par la substitution des valeurs des coordonnées de ni, et regarder comme constant celui qui provient des coordonnées de ni', m", etc. , c’est-à-dire qu’on aura
r/'R = — ^ . ndt , le temps t ne devant varier dans R
qu’autant qu’il est multiplié par la constante n.
Cela posé, ne considérons, pour plus de simplicité, que l’action mutuelle des deux planètes m et ni' ; ce * que nous allons dire pouvant d’ailleurs s’étendre , comme ou le verra , à un nombre quelconque de planètes perturbatrices. Si dans une première approximation on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première, il suffira de substituer dans R, à la place des coordonnées de m et de m'f leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. Nous avons vu que la fonction R peut toujours se réduire alors en une suite infinie de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps , de sorte que chacun des termes de ce développement sera de cette forme
m! . A . cos (i'n't — int -f- k ),
nt et n'i représentant les moyens mouvemens de la planète troublée et de la planète perturbatrice, i et ï des nombres entiers qui peuvent prendre toutes les valeurs positives et négatives y compris zéro; enfin.
A et k, des fonctions des élémens des orbites de m et m indépendantes du temps t.
Pour avoir la différentielle de ce terme, par rapport aux coordonnées de m , sans faire varier celles de m', il faut différencier, par rapport au moyen mouvement ni, et regarder le moyen mouvement rit comme constant. Cette différentiation fera disparaître le terme constant du développement de H qui répond à i —o , i = o, et l’on aura, relativement au terme qui précède,
d'R = m' . Ain dt . sin (J! rit — int- f- k).
Le tenue correspondant de da sera donc
da ss irri . A ina%dt . sin ( i'n't — int -(- k) ,
et en intégrant, on aura
i, , a m' . A ina* , , . ... , .
Sa = t-, : — . cos (t rit — mt-\- k) .
La différentielle da ne peut contenir aucun terme constant, à moins que l’on n’ait i'ri — in = o, condition qui suppose les moyens mouvemens des planètes m et rri commensurables entre eux , ce qui n’a jamais lieu dans notre système planétaire. Le grand axe , et par conséquent le moyen mouvement, ne contiendront donc aucun terme croissant, comme le temps, et ils ne seront assujettis qu’à des variations périodiques dépendant des moyens mouvemens ni et rit, et de leurs multiples, du moins tant qu’on n’aura égard qu’à la première puissance des masses perturbatrices.
Diglfîzed byXjÔc^le
Si 1 «^rapport des moyens mnuvemens «Z et n't, sans être exactement commensurable, approchait beaucoup de celui de ia la quantité tri — in deviendrait très petite , et le terme précédent de la valeur de S'a , et à plus forte raison celui qui lui correspond dans l’expression du moyen mouvement, et qui a le carré (/V — in)' pour diviseur, deviendraient très considérables. 11 en résulterait, dans l’expression de la longitude moyenne de la planète m, une inégalité qui, croissant avec une grande lenteur, pourrait faire penser, lorsqu’on comparera les anciennes observations aux modernes, que sou moyen mouvement n’est pas uniforme, et qu’il est affecté d’une inégalité à longue période du genre de celles que l’on nomme inégalités séculaires- C’est ce qui est arrivé pour Jupiter et Saturne. Cinq fois le moyen mouvement de Saturne est à fort peu près égal à deux fois le moyen mouvement de Jupiter, en sorte que la quantité 5 n! — 5 n n’est pas la soixante-quatorzième partie de n ; et cette circonstance singulière produit les grandes irrégularités observées dans les mouvemens de ces deux planètes , et qu’on avait regardées long-temps comme inexplicables par la loi de la pesanteur universelle.
6o. Voyons si le résultat précédent subsiste encore, lorsqu’on considère les carrés et les produits des masses m et m'. C’est une question importante à examiner , parce que si la seconde puissance des forces perturbatrices introduisait des termes non périodiques daus l’expression différentielle du grand axe, ces termes, quoique multipliés par le carré des masses, en acquérant par la double intégration quils subissent dans Tome I. a5
l’expression du mouvement moyen, de très petits diviseurs du même ordre, deviendraient, après l’intégration , indépendans des masses, et produiraient des inégalités séculaires semblables» celles des autres éiémens de l’orbite, qui dépendent de la première puissance des masses et qui sont données par une seule intégration. Ou sait d’ailleurs qu’une inégalité de cette espèce, si elle existe , serait du second ordre par rapport aux excentricités; elle deviendrait comparable par conséquent à l’inégalité du mouvement elliptique, dont l’argument est le double de l’anomalie moyenne, c’est-à-dire au second terme de l'équation du centre. Il est donc essentiel de s’assurer que le carré de la force perturbatrice ne produit que des termes périodiques dans l’expression du moyen mouvement , ou que si elle y introduit quelque inégalité séculaire, son coefficient, qui est une très petite quantité du second ordre dans la valeur différentielle de cet élément, restera encore insensible après l’intégration.
Les termes du second ordre, par rapport aux masses , sont introduits dans R par les variations des éiémens elliptiques de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Si l’on substitue donc dans R a -f- «f a , e-{- Se, etc. , «'-J-efu', e'+de', etc., à la place de a, e, etc. , a, e, etc., la caractéristique «f, désignant ici des variations dépendant seulement de la première puissance des masses m et tri , qu’on développe ensuite la fonction résultante que nous désignerons par R,, en se bornant aux termes de l’ordre du carré des masses , on aura
R, = R *+■ d'R -f- «TR. («)
"bigHizecTBy Gonÿle
En supposant pour abréger
rfR . , rfR . . rfR > .dK ™=dSJa+7l-*,+7-*‘+
. . <7R , rfR .
jt
de
dp
dq'
lequation (a) donnera, en la différenciant par rapport à d' ,
On doit remarquer ici que, pour avoir la différentielle d'.cTR, il faudra, d’après ce que nous avons dit précédemment , faire varier dans «JH le temps introduit par la substitution des valeurs des coordonnées de m et des variations Sa, St, etc., et regarder comme constant celui qui provient des coordonnées de /»'; de même pour avoir d1 .S' R, il faudra faire varier dans cf'R le temps introduit par les coordonnées#, /, z , et regarder comme constant celui qui résulte des coordonnées cd , f, z, et des variations S'a! , «JY, etc., des élémens de l’orbite de ml.
Examinons successivement les trois termes de la valeur de «/'R, , pour nous assurer qu’aucun d’eux ne peut contenir de partie non périodique. Le terme <i'R est celui que nous avons considéré dans la première approximation; nous avons prouvé qu’il ne renferme aucun terme de cette espece ; passons donc de suite au second. Si dans l’expression de «TR on remplace les variations Sa, Se, par leurs valeurs résultant de l’intégration des formules différentielles du n° 46 > on aura
aS.. *
/(/U fdR , t/R A/R , \ «. \/ 1 — e* ^ 4/, — ^ /</R /V/R
i— ** /r/R A/R , c/R /Vit , \
— • Ui d;-"dt-Te J dZ-ndt)
\' \ — t' \dp J dq dq J dp J
Il faut observer que la différence partielle tloil être prise ici sans faire varier n, conformément à
la remarque faite n° 43.
Pour avoir la valeur de d' .c fR, il faut différencier complètement l’expression de cfR relativement aux variations des élémens de m, ou, ce qui revient au même , supprimer lessignes f qui n’ont été introduits que par l’intégration des valeurs différentielles de ces élémens , et alors cette expression est identiquement nulle. Il suffira donc, pour avoir ti'.J'R, de différencier dans JR, par rapporta ni, les quantités hors du signe f. Mais si l’on substitue dans J'R à la place de R sa valeur développée en sinus et cosinus d’angles multiples, des moyens mouvemens nt et ni, les différons termes de cette fonction pourront prendre cette forme P ./Q. dt — Q.fP.dt, en représentant par P et Q une suite de termes de la forme
A. . ’ (i'nt — int -f- /c) , sin . ' '
i et t' étant des nombres entiers quelconques,- positifs
Pour avoir dans
des termes où les moyens mouvcmens ni, n't produisent en se détruisant des termes non périodiques, il faut combiner ensemble les termes de P et Q qui dépendent des mêmes multiples de nt et de n't. Soit donc A. cos (P n't — int ■+■ k) un terme quelconque de P, et soit A' .cos (/' n't — tni-f-A:) le terme de Q qui a le même argument, on aura, relativement à ces termes,
= k.indt.s\n(i n' t— int f\'dt.cos(i n t — int+ 1)
— A'. indt.sin(i'n t — 1) . f Adt.cos[i nt —
expression qui se réduit à zéro lorsqu’on effectue les intégrations indiquées. Concluons donc que les variations des élémens de la planète troublée m ne produisent dans d'W, aucun terme non périodique.
Il nous reste à considérer les différens termes de l’expression de résultant des variations des
élémens de m1 ; il n’est plus possible d’employer ici la réduction précédente, parce que la fonction R n’étant pas symétrique par rapport aux coordonnées x , y, z, x’, y, z', cette fonction changera de valeur relativement aux pertubations de la planète m'. Soit R' ce que devient dans ce cas R , on aura
R'= rn . (—■ 1
xx'+yy'+zz
et par conséquent
3yo THÉORIE ANALYTIQUE
La variation de R produite par les variations des élémens de 1 orbite de m! est donc égale à la variation du second membre de cette équation relative aux variations des mêmes élémens , et par conséquent, si la différentielle de cette variation relative à la caractéristique d! ne renferme aucun terme non périodique, on sera assuré que la fonction d' .S1 R ne saurait contenir non plus aucun terme semblable. Considérons d’abord le premier terme de ce second membre : on aura, en vertu des varations de m',
rfR' , , JR' , . JR' , . JR' . . JR' , , dR’ . .
Si l’on remplace d'à', Je', JY, JV, J'p', par leurs valeurs, ou voit, par l’analyse précédente , que J',R' pourra se décomposer en une suite de termes de la forme P'.y’Q' .dt — Q'./.PYl ; et pour avoir la différentielle ef . JV'R', il suffira de différencier, par rapport à ni , les quantités hors des signes f , celles qui sont sous le signe intégral étant relatives aux élémens de la planète m ', et devant par conséquent être regardées comme constantes. On prouvera , par la même analyse , que cette fonction se réduit à zéro lorsqu’on n’a égard qu’aux termes non périodiques qu’elle peut renfermer. La fonction différentielle (f. jJ^R' ne contient donc que des termes périodiques, et si des termes non périodiques peuvent exister dans d1 . J',R , ils ne proviendront que de la variation de
la fonction mr ,{xx' yy' + zz') . ^
Désignons pour abréger par L cette fonction. Si
dans la première des équations (A) du n“ 37 , on substitue M + m b la place de /u., M étant la masse du Soleil, on en tirera
m'x m d'x mm x , m f
~~ ~*M * dF ST ' P ‘ M ' \dxj ’
on aurait pareillement
m'x' m d‘x' m'* x’ . m /rfR'\
M - TP U ' rri ‘ M ■ \dx )’
Les équations difTérentielles cn^, z,ÿ et z' fourniront des équations semblables. Si l’on multiplie respectivement par oc', y1, z', les équations en x,y, z ainsi obtenues, et par oc, J, z les équations en x', y, z', et qu’on retranche ensuite les secondes des premières , on aura
d . {xdx'-x dx-\-ydy' -y dy+tdz' -z' dz)
en nommant, pour abréger, N la fonction en oc,y, z, ocf ,y', z' du second ordre relativement aux masses m et m! , déterminée par l’équation
XX +yÿ -f- zz
\ mm' f.
xx' -f y y -f zi-
L’équation (c) donnera, en la différenciant par rapport à la caractéristique d! , et ne considérant que le premier terme du second membre ,
j>i *»' j [~d.(,xdx'— x'dx+ydy'— y'rfy+srf*'— z'dz)~\
• dF~" JV
mfr ; r
Cette fonction ne contient aucun terme périodique lorsqu’on substitue pour x , j , z, x1 , y' , z' leurs valeurs elliptiques. En effet, les coordonnées x,y,z ne contiennent que des termes périodiques dépendant de l’angle nt et de scs multiples, et les coordonnées x' , y' y z' ne renferment que des ternies semblables dépendant de nt ; il est donc impossible que les moyens mouvemens ni et n't disparaissent dans les produits xdx , x'dx, etc.; les termes non périodiques que ces produits peuvent contenir proviendront donc de la variation des coordonnées de m et de m , mais ces termes disparaîtraient, s’ils existaient, par la différentiation dans la valeur de dh.
En n’ayant égard qu’au terme N de l’expression L, on aura
ctL = rf N .
La fonction N étant de l’ordre du carré des masses , si l’on n’a égard qu’aux termes de cet ordre, il suflira de substituer dans N , au lieu des coordonnées de m et de m' , leurs valeurs elliptiques, et il est aisé de se convaincre alors que ci' N ne renferme que des quantités périodiques. En effet, des équations du mouvement elliptique de m et m on conclut
xx -\~yy -f- z z x'd'x -\-y'd'y -f- zd‘z
r1 (M + m) . dt% *
