XX -f -yÿ -j- zz xd\v -f- yd’y -f- zd'-z

La fonction N devieut donc ainsi

m'% rxd'x' + y d‘/ + zd-z~\

mm /x'd%x-+-Y,d‘ y-f-i'rf’iX m , A/R\ AfR'\

-iMM+sî-C — -jf v+M-L*Aih*vÆ’)

Les deux premiers termes du second membre ne renferment aucun terme non périodique; car nous avons prouvé précédemment que les produits de la forme ccd1 x' , x'd'x, etc., ne pouvaient contenir aucun terme semblable lorsqu’on substituait simplement pour ,r, x', etc., leurs valeurs elliptiques. Quant au dernier terme, si l’on substitue dans II à la place des coordonnées de m et m' leurs valeurs elliptiques , cette fonction pourra se développer en une suite de cosinus d’arcs multiples de nt et de n't, et l’on aura la

différentielle — , en ne faisant varier dans R que ce qui

se rapporte aux coordonnées de m, d’où il suit que cette différentielle pourra contenir des sinus et cosinus d’angles multiples de nt, mais jamais aucun sinus ou cosinus où entrerait isolément l’angle n't. La valeur de x' ne contenant d’ailleurs que des termes périodiques dépendans de n't, il en résulte que les moyens mouvemons nt et n't ne sauraient disparaître dans

aucun des termes du produit x' . Ou démon-

trerait de meme que les autres produits .semblables

/(/R'\ , fdli\ sdR\ , /Jl\\ /</!:'

3g4 THÉORIE ANALYTIQUE

ne peuvent contenir que des termes périodiques, et que par conséquent la fonction N et sa différentielle r/N ne sont composées que de termes semblables. H suit de là que la fonction différentielle d! . cT'R ne renferme que des quantités périodiques, du moins tant qu’on ne porte l'approximation que jusqu’aux termes du second ordre par rapport aux niasses.

Les résultats précédens peuvent aisément s’étendre à un nombre quelconque de planètes perturbatrices. Soit en effet ni une nouvelle planète dont ou considère 1 action sur m ; elle ajoutera à la fonction R les termes ,

m" m." . (xx'-pyy "-f-zz.")

Les variations des coordonnées de m et de m" , résultant de l’action réciproque de ces deux planètes, produiront dans la variation de R des termes multipliés par mm' et par m"‘, et l’on prouvera par l’analyse précédente qu’aucun d’eux ne pourra donner dans */'. ^"R de termes non périodiques.

Les variations des coordonnées de m' résultant de l’action de m" sur m' produiront une variation dans la partie de R dépendant de l’action de m' sur m , et qui est représentée par

m' m . (.ri -f- yy' + zt)

V (*'— xy+ (y -y)' + (d — Z)' ~

Il en résultera, dans R, des termes multipliés par mW' et qui seront fonctions des coordonnées elliptiques x , s et des angles vît , n"t, ou bien, en rem-

DU SYSTÈME DU MONDE. 3g5

plaçant x, y, z par leurs valeurs, des termes fonctions des trois angles nt, n't, n"t. Les trois moyens mouvemens ne pouvant se détruire entre eux, ces termes ne produiront que des termes périodiques dans </'R. D’ailleurs s’il existe, dans le développement de R , des termes indépendans du moyen mouvement nt, ils disparaîtront d’eux-mêmes par la différentiation dans J'R, et si l’on considère au contraire les termes dépendans de cet angle seul, ces termes seront de la forme m'm" . r/'P , P étant une fonction des coordonnées elliptiques de ni. Il en résultera dans f d'R des termes de la forme m'm" .fil 'P ou m'm’ . P, puisque d! P est une différentielle exacte. Ces termes seront donc encore du second ordre après l’intégration, et nous négligeons les quantités de cette espèce dans la valeur de cette fonction.

De même, la variation des coordonnées a: , y, z, produite par l’action de m" sur m, ne peut introduire dans la partie précédente de R que des termes multipliés par m'm" et fonctions des coordonnées x', y' , z' et des angles nt ou n"t , ou fonctions simplement des trois angles nt, n’t, n"t, et ces trois angles ne pouvant se détruire entre eux, il n’en saurait résulter dans d'R que des termes périodiques. Quant aux termes dépendant seulement de nt, ils ne produiront que des termes non périodiques de l’ordre m'm" dans fd' R.

Les mêmes raisonnemens s’appliquent évidemment à la partie de R , dépendante de l’action de m" sur m.

Concluons donc enfin que, quel que soit le nombre des planètes dont on considère l’action réciproque, les variations des élémens ell iptiques de la planète troublée

et des planètes perturbatrices ne produiront dans rfR aucun ternie non périodique, du moins tant qu’on n’aura égard qu’aux carrés et aux produits des masses perturbatrices.