Reprenons maintenant la formule

da =. na% . d'R. (2)

Lorsqu’on a égard aux quantités du second ordre par rapport aux masses , il n’est plus permis de regarder comme constant le facteur a‘ dans le second membre de cette équation : en substituant donc à sa place (a-f-cfa)* et intégrant l’expression résultante, on aura pour déterminer la variation du grand axe de l’orbite de m, la formule

/« = an* . /if R, + 8n5 . J{d' R . /if R) . ( 3)

Nous venons de voir cjue /if II, ne renferme que des quantités non périodiques de l’ordre mm' , lorsqu’on considère dans R( les termes du premier et du second ordre par rapport aux masses perturbatrices. R étant uue simple fonction des coordonnées elliptiques de la planète troublée et des planètes perturbatrices, peut se développer en une série de cosinus d’arcs multiples des moyens mouvemens ni , n't, etc. Soit

m . A . cos (l'nt — int -J- k) ,

l’un des termes de ce développement. Les termes correspondu 11s de (tli et de fd'W seront

Dü SYSTÈME DU MONDE.

• (/'il = indl . m' À . si» (i’rit — int -f- k) , v

fd' Il = — . m'A . cos (i'n'i — ûil -f- A):

et il faudra évidemment combiner ensemble ces termes dans la valeur de J'a pour que ni et nt puissent s’y détruire. Mais on a de cette manière

(/ Pi . yi/u = 7-7 . . stn 2 (< n t — int -(- k),

ce qui donne dans cfn une inégalité périodique dépendante de l’angle 2 (i'n't — int -f- k).

11 suit de là que la variation du grand axe de l’orbite d’une planète ne peut contenir aucune inégalité séculaire du premier ou du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, qui puisse devenir sensible par la suite des siècles, quel que soit le nombre des planètes qui troublent son mouvement. La même résultat s’applique évidemment à la variation du moyen mouvement; en effet, nous avons trouvé pour la déterminer la formule

dÇ = — 3 . f and'R. . dt. (1)

Si l’on considère les termes du second ordre, il faut regarder comme variable le facteur an dans le second

membre de cette équation: or, on a an = a~i, d’où l’on tire en différenciant

d . an =. — a* . = — a'n. d'R.

La valeur de cT£ deviendra donc par conséquent :

33s théorie analytique

<r£=— San .ffd'Rrdt+Sa\ff(ndt.d'R.fd'K). (4)

Formule qui ne peut renfermer aucune inégalité séculaire, si la formule (3) n’eu contient pas.

Concluons donc de l’analyse qui précède , cç beau théorème qui est de la plus haute importance dans la théorie du système du monde : Les moyens mouvemens des planètes et les grands axes de leurs orbites sont invariables lorsqu’on fait abstraction des inégalités périodiques et que l’on néglige les quantités du troisième ordre par rapport aux forces perturbatrices.

Ce résultat cesserait d’avoir lieu si les moyens mouveinens de la planète troublée et des planètes perturbatrices avaient entre eux des rapports commensurables. Nous avons vu que ce cas n’existait pas dans la nature lorsqu’on n’a égard qu’à la première puissance des forces perturbatrices; mais il pourrait se présenter lorsque l’on pousse plus loin les approximations. En effet, si l'on considère l’action mutuelle de trois corps m, m' , m" circulant autour de M, on voit par l’analyse précédente qu’il en résultera dans </'R des termes du second ordre par rapport aux masses m, m', m", et de la forme K .sin . (tnt — i'n't | Si l’on suppose donc que les rapports des moyens mouvemens ni, ni , n"t soient tels que la quantité in — i' V H- t"«" soit une très petite fraction de n, il en résultera dans la valeur de £ une inégalité qui pourra devenir considérable. Ce cas très singulier se présente dans le système des satellites de Jupiter; le moyen mouvement du premier satellite, moins

DigttlzeffbfSd&gte

trois fois celui du second plus deux fois celui du troisième, est exactement et constamment égal à zépo, c’est-à-dire que l’on a n — 3«' -f- 2»"=o; et ce phénomène, unique dans le système du monde, pro- ^ duit dans les moyens mouvemens de ces astres des » variations dépendantes de la seconde puissance des masses perturbatrices que la théorie détermine, mais que les observations n’ont pu jusqu’ici rendre sensibles.

6j. Il suit du théorème que nous venons d’énoncer que, dans la suite des siècles, les orbites planétaires ne

feront que s’aplatir plus ou moins en vertu des inégalités séculaires de leurs excentricités; elles conserveront toujours les mêmes grands axeâ; et les moyens mbuvemens , qui s’en déduisent par la troisième loi de Képler, seront inaltérables, ou du moins, s’ils sont soumis à quelques variations séculaires, elles seront insensibles. On ne peut pas encore en conclure rigoureusement , il est vrai , que la durée de la révolution sidérale moyenne des planètes sera constante aussi; en effet, nous avons vu u° 22 que la planète m revenait au meme point de son orbite lorsque la longitude moyenne nl + t était augmentée d’une circonférence ; le premier terme de cette expression, qui est proprement ce qu’on appelle le moyen mouvement de la planète, croit uniformément avec le temps, et son coefficient est invariable, comme nous venons de le voir; mais le second terme peut être soumis , comme nous le démontrerons bientôt, à des inégalités séculaires contenant des termes croissans comme le temps et du premier ordre par rapport aux masses, et des

4oo THÉORIE ANALYTIQUE

termes proportionnels au carre du temps et du second ordre par rapport à ces masses. On pourra faire abstraction des premiers, parce qu’ils s’ajouteront au moyen mouvement; mais les seconds produiront dans la longitude moyenne de véritables inégalités séculaires. Heureusement ces termes comme nous le verrons, sont tout-à-fait insensibles pour la Terre et pour les planètes; mais ce sont eux qui produisent 1 accélération séculaire qu’on observe dans le mouvement de la Lune , et dont les astronomes avaient long-temps vainement cherché la cause.

Les résultats précédens s’appliquent à tous les corps de notre système planétaire ; mais c’est surtout dans la théorie de la Terre que leur importance se fait sentir, à cause de l’influence que les inégalités de son moyen inouvemeut auraient sur la durée de l’année sidérale, élément que les astronomes ont toujours regardé comme invariable et qui sert de base aux calculs de toutes les tables des mouvemens célestes. On devait désirer qu’il ne restât aucune incertitude sur une donnée aussi essentielle; mais d’une parties observations anciennes sont trop peu exactes, et de l’autre les modernes sont comprises dans un trop court intervalle de temps pour qu’on en put conclure rien de certain sur l’invariabilité de Tannée sidérale. Cette question est donc une de celles où la théorie devait devancer l’observation, et l’analyse que nous vénons de développer fixe un point important du système du monde, qui n’aurait pu être établi d’une manière incontestable, par les observations seules, qu’après un grand nombre de siècles.

* DtgttizBtfty GdCgle

f anations séculaires des excentricités et des longitudes des périhélies.

63. Après avoir démontré l’invariabilité des grands axes et des nlbyens mouvemens par rapport aux inégalités séculaires, avec tout le soin qu’exigeait cette importante question , nous allons examiner successivement les variations séculaires des autres élémens des orbites planétaires.

Commençons par les variations des excentricités et des longitudes des périhélies. Pour cela, reprenons les expressions différentielles de ces variations , données n° 46 ,

de= — anVi-e' dE

e ’ d* ‘at>

# e de

En différenciant par rapport à u> et par rapport à e la valeur (n) de F, trouvée n° 53, on aura

du a.(a‘* — a*)“ . ce . sin (« — *) ,

d F 3iri.aa‘. (a, à )'

i 3 ni. [ad. (a, a') + (a'+ a'») (ap')'] ,

f / n TT * ^

.e'.cos(» — «).

Si par conséquent on fait pour abréger [a,a'l = — 3m'QV"-(°-aT r^l — 3m'- an • Laa'-(a,a') + fo‘4- a'‘).(a,a')”\