etc
~ = [a, a’ ] 4- [a, a"] 4- etc. — cos (»' — &»)
. —.cos («" — ai) — etc.
De ces expressions, il est facile de conclure celles de
D igitiz ed-by-GCfOgl
DU SYSTÈME DU MONDE. 4o3
— , 14- , — , .—J — , etc., en changeant successive- Ut* dt * dt* dt ' ’ b
ment, dans les équations précédentes, ce qui se rapporte à la planète m dans ce qui se rapporte aux planètes m', m", etc., et réciproquement. Soit donc
[rt',fl],[a',a"],[a",a*], etc.,
[a',a,],[a',a],[a',a"r],etc., etc.
ce que deviennent les fonctions que nous avons désignées par
[«,«'], [a,a"], etc., [a, a'], \a,a\ [fl, a"'], etc..
\a',a\y \a',a\ [V,fl'"~|,etc.
k,a'l, [«>],[,>!']-ctc-
lorsqu’on y change successivement ce qui est relatif à m en ce qui se rapporte à m m", etc. , et réciproquement; nous aurons pour déterminer les excentricités et les périhélies des orbites de m, m', m", etc., le système d’équations différentielles suivant :
~ = [fl, a' J .e'.sin(a>'- e») -f-£«,r/J.e".sin(i/-à>)-f-ctc.,
^ = [fl', fl1 -e .sin(a> -&>') -}-[fl',fl"'j .e".sin(a>"-a>,)-j-etc. j
[a",fl].e .sin(»-û>") -f-[fl",a' j .e'.sin(w'-&'')+ctc.f ^ etc.
^- = [a, a'] 4- [a, a"] etc. — a, a' .^-.cos (ce — »)|
— \a,a’~\ • 7 ■ cos — ®) — etc. ,
c~z=[a' ,a\ -f-fa'jrt’j + ctc. — \a',a \ .4-. cos (o> —
— J .^.cos(û>" — a') — etc., I
~ = [a", «]-{-[«", a'] etc. — [a'Vj.^-.cos (ce — ce')^°
£«",«' J . •— .COS (ùù fit)") — etc.,
etc. /
On détermine fort simplement, au moyen de ces formules, les variations annuelles des excentricités et des périhélies. En effet, pendant ce court intervalle, on peut supposer constans les élémens e, e’, etc. , ce, ce', etc. , qui entrent dans les équations différentielles précédentes, et les intégrer dans cette hypothèse , ce qui revient à multiplier par le temps t les
, y de de * . dm dm . T
valeurs de etc., etc. Les expressions
qu’on obtiendra de cette manière pourront même s’étendre, relativement aux planètes, à plusieurs siècles avant et après l’époque que l’on aura choisie pour l’origine du temps. Si l’on veut avoir des valeurs plus exactes, on observera que les excentricités et la position des périhélies variant avec le temps, l’excentricité de l’orbite de m, pour un temps quelconque t, sera égale à
et la longitude de son périhélie à
, . du , t* cPa
Ut 1 1.2 ’ dr +etc-i
dt
dt ’ de
^ j , etc., u, ^ , etc.., étant relatifs à
l’époque. Or les valeurs précédentes de et de — donneront, en les différenciant et en observant que a et a', etc. , sont constans , les valeurs de ^ , — , etc..
On pourra donc continuer aussi loin que l’on
voudra les séries qui précèdent ; mais il suffira , dans la comparaison desobservations les plus anciennes qui nous soient parvenues, d’avoir égard, relativement aux planètes, aux termes de ccs séries multipliées par le carré du temps.
64. Quoique cette manière de déterminer les variations séculaires des excentricités et des périhélies suffise aux usages astronomiques, cependant la théorie de ces variations ne serait pas complète, si elle ne donnait pas leurs valeurs Unies pour un temps quelconque, ce qui exige qu’on intègre rigoureusement les formules différentielles (o). Leur intégration directe est impossible ; mais par la transformation que nous avons indiquée n° 46, et dont l’idée ingénieuse est due à Lagrange, on les ramène à la forme d’équations différentielles linéaires du premier ordre que l’on sait intégrer. En effet, supposons, comme dans le n° cité,
è=e.sin «, &'=e'.sin sin a»*, etc.,) , .
c=e. cos cd, c'=e'.cos co', c"=e* . cos ce', etc. ) '
En différenciant ces expressions, on aura
db
dt''
• de . dti
! sin -f-e.cos a*
de de . du
-7-== cos e.sin «.y.
dt dt dl ’
db' . • de , , < du
-r=sin(i) .—-Ue . cosù) ,
d/ d* 1 dt ’
de' , de' , . , du
dt dt dt
Si dans ces équations on remplace ^ ^ > etc.,
par leurs valeurs, on aura, pour déterminer^, ^ , etc., les équations différentielles suivantes :
[ !>.“'] +[o,<*1 4-etc. | .c —
cZl
c" — etc. , I
| [°>a ] 4- ta,“”] 4-etc. | .b -f-
ly+
J-f+etc., j
{ [a'i“] + [a, al + etc. | .c— [a', a J .c— etc-, | 777— — | M+M 4-etc. }. y + [^].&+r^~K+etc. f(P) , |[aV] + [a'»o']+ctc.|.c"— — [n^Vj.c'— etc,
J =-{ [«V]+[aVl +ete.}.*+ [^Vj.fc'+etc
etc. J
On peut d’ailleurs déduire directementces équations des formules (12), eu y substituant pour F sa valeur en fonction de b , b', c, c ', etc. , donnée n° 53.
Les équations précédentes sont linéaires et s’intégrent par les méthodes connues. Lorsque, par leur moyen, on aura déterminé les valeurs des quantités b, c, b', c', b", c", etc. , ou obtiendra celles des excen-
DU SYSTÈME DU MONDE. bl
tricités et des longitudes des périhélies, en remarquant que les équations (a) donnent
e'— V^b'+c', lang«= - , e—V A'*+c'*> tang*'=y,
etc.
Il ne nous reste donc plus qu’à opérer l’intégration des équations précédentes j pour y parvenir, faisons
b = M. sin{Af-f-I), b'=M. sin (ht+l), b"=M".sm(ht+l), etc.
c =M.cos (ht-\-l), c' = M'. cos (ht-\- 1) , c”= M".cos (ht — • Z) , etc.
M, M', M", etc., étant, ainsi que h et Z, des quantités constantes indéterminées.
Si l’on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les équations (P), il en résultera entre les indéterminées M, M', M", etc., h et Z, les équations de condition suivantes :
MA =| [a', a] +[a, a'] -(-etc. J .M — a! J M' —
M'A = | [a', a] +[a ,a']-f«tc. j.M' — JV , nj .M —
M”A=j [aV]+OV] +etc. j.M"— [a%a].M -
Le nombre de ces équations sera égal à celui des coefficiens M , M', M*, etc.; mais comme chacun des termes qui les composent est multiplié par l’un de ces
4o8 THÉORIE ANALYTIQUE
coefficiens, il s’ensuit que l’on ne pourra déterminer, par les équations précédentes, que le rapport de ces quantités entre elles , de sorte qu’il y en aura toujours une qui restera indéterminée. En effet , soit i, par exemple, le nombre de ces équations de condition; il est aisé de voir, d’après leur forme , que si , au moyen desi — i premières, on élimine de la dernière les ' i — i coefficiens M', M", etc. , le coefficient M en disparaîtra de lui-même; de sorte qu’on arrivera à une équation finale en h du degré i, qui ne contiendra plus que cette constante d’inconnue, et pourra servir par conséquent à la déterminer. Cette équation sera toujours d’un degré égal au nombre des coefficiens arbitraires M, M', M'', etc., ou des corps m , m', m", etc., du système; elle aura donc un nombre égal de racines qui, substituées tour à tour dans les i— i premières équations (À*) , serviront à déterminer chacune un pareil nombre de coefficiens arbitraires M, M', M*, etc.
Soient donc h, k,, ht, etc., les racines de l’équation finale en h; soient M, M', M", etc., M, , M',, M",, etc., M,, M',, M',, etc., les différens systèmes de coefliciens indéterminés qui conespondent respectivement à chacune de ces racines, les valeurs de b, b', b ", etc., de c, c', c', etc., qui en résulteront, satisferont toutes aux équations (P). Or l’intégrale complète d’une équation différentielle linéaire est égale, comme on sait, à la somme de ses intégrales particulières; ou aura donc
, sin -f-Mi .sio + M, . sin(A,f-f /,) -f-etc.,
6'=M'.sin(/it+/)+M'1.»in(Al(+/1)+M'..»in + etc.» etc.
c=M. cos .cos (A|t+/i) + M,.cos(/j,t+/,)4-etc.,
c'=M'.cos(At4-0+M'1.cos(A1t+/1) + M',.cos (/<,!+/,)+ etc., etc. ,
l, etc., étant des constantes arbitraires.
Ces équations renferment autant d’arbitraires qu’il y a d’équations différentielles (P) ; car chaque système d’indéterminées M , M', etc. , contient une arbitraire, et il y a de plus i arbitraires Z, etc. Ces
équations sont donc les intégrales complètes des équations différentielles proposées. Quant aux li constantes arbitraires qui entrent dans ces équations, on les déterminera au moyen des observations. Elles ne donnent pas directement ces constantes, il est vrai; mais elles font connaître, pour une époque fixée, les valeurs des excentricités et des longitudes des périhélies des orbites, et par suite les valeurs des quantités b, b', etc., c, c', etc. ; on pourra donc toujours en déduire les valeurs des arbitraires inconnues.
65 . Il résulte, dece qui précède , que les excentricités et les longitudes des périhélies des orbites planétaires ne sont plus, comme les grands axes, assujetties à de simples inégalités périodiques; les variations de ces deuxélémens contiennent des termes indépenda ns de la situation mutuelle des corps du système , et par conséquent la forme des orbites et la position des grands axes peuvent éprouver dans la suite des altérations considérables; mais les ellipticités , en vertu de leurs variations séculaires, sont-elles susceptibles de croître indéfiniment? S'il en était ainsi, les orbites, aujour-
4io THÉORIE ANALYTIQUE
d’hui presque circulaires, deviendraient à la longue fort excentriques , et pourraient même finir par changer entièrement de nature. L’invariabilité des grands axes ne suffirait plus alors pour assurer la conservation de notre système solaire , qu’une pareille progression menacerait dans la suite des siècles d’un bouleversement total. L’équation (e) à laquelle nous sommes parvenus, n° 54, montre heureusement que ces changemens sont à jamais impossibles; mais il ne sera pas superflu d’examiner ici avec plus de détail cette question , puisque c’est sur elle que repose l’une des conditions essentielles de la stabilité du système du monde.
Pour cela, reprenons les expressions que nous avons trouvées pour déterminer les valeurs des quantités A, et c, savoir:
i=M.sin(At+/)-f-M, . sin(/ï,f-f"L) d-AI*.sin(Ait-f-/a) -4- etc., c=M.cos(A£+/)4-M, .cos (/»,£+/,) + M„. eos(Aa£-j-/a) + etc.,
les quantités h, h, , h,, etc., étant les racines d’une équation déterminée d’un degré égal au nombre des corps agissans du système, et M, M, , M, , etc., /, /, ,
, etc., des constantes arbitraires dont la détermination dépend des valeurs de b et de c, à une époque donnée.
Substituons ces valeurs à la place de b et c dans l’expression de l’excentricité de l’orbite de m; on a e* = b* -J- c* ; on aura donc
e ’= M*+ M,*+M,*+ etc, + aMM, .cos [( h , — h).t + /, —
-f ?.MM».cos[(ft, — /i). £-{-/, — ■q+aM,M,.cos[(A. — h,). — /,] -+• etc.
nü SYSTÈME DU MONDE. 411
Le premier membre de cette équation est constamment plus petit que (M-f-M.+ M.+ etc.)*, tant que les cosinus qui entrent dans le second membre sont tous réels; ainsi donc, toutes les fois que les racines fit hit h%, etc., sont réelles et inégales, 1 excentricité e de l’orbite de m ne peut jamais surpasser la somme des cocfliciens M, M, , M. , etc. , pris avec le même signe ; et si l’on suppose ces coefficiens fort petits à une époque donnée, comme cela a l.eu en effet dans la nature, elle demeurera toujours peu considérable.
Mais il n’en serait plus de meme, si quelques-unes des racines de l’équation en /«devenaient égales ou imaginaires. Ces racines introduiraient, au lieu de sinus et de cosinus, dans les expressions de b et de c, des arcs de cercle et des exponentielles , et ces quantitésétant susceptibles d’augmenter indéfiniment avec le temps, il en résulterait que les valeurs de b et de c ne seraient plus resserrées entre des limites quelles ne doivent pas dépasser ; que par conséquent les orbites pourraient dans la suite des temps devenir foit ex- „
centriques, et que les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu’ici, fondés sur la petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbites cesseraient d etre exacts. 11 s’agit donc de montrer que les racines h, h,, h„ etc., sont toutes réelles et inégales; c’est ce , que l’on peut faire d’une manière fort simple , et sans être obligé de former l’équation dont elles dépendent dans le cas où l’on suppose que les différens corps m * t m', m", etc. , du système, circulenttous dans lejneme »
sens. . jï; . '
En effet, reprenons les équations (o) du n° 63." .
Si l’on multiplie respectivement ces équations par
m s/a.e, m Va' .e', m" Va’ .e", etc. • qu’on les ajoute, et qu’on remarque que
sin (•—•') =— sin («'- „), sin (•—•') =— sin ctc.,
et qu’en vertu des valeurs de [i^?] , [â^a] etc. , données dans le n° 63 , on a généralement
. m Va —
|.m' Va' = o ,
[ôÿr?'
.m Va —
etc. ,
cette somme se réduira à l’équation suivante
m Va. ede + m' Va'. e'de'+ni \/a". e’de’+e le. = o.
Si l’on intègre celte équation, en observant que les grands axes a, a', etc., sont constans, puisqu’on n’a
égard qu’aux variations séculaires, on aura
m s/a.e'+m' s/â'.e^+m" vV.e',*4-etc.==const. (e)
Les corps m, m', etc. , étant supposés tourner dans le même sens, les radicaux Va, Va', V«* devront être pris positivement, et chacun des termes du premier membre de cette équation sera par conséquent posilif. ISous sommes déjà parvenus à cette équation, n° 54; mais nous avons voulu montrer comment elle résulte des équations différentielles (o).
Supposons maintenant que l’équation qui détermine A ait des racines imaginaires, quelques-uns des sinus ou cosinus qui entrent dans les expressions de b
DigftTzcxi by l
DU SYSTÈME Dü MONDE. 4i3
etc, sc changeront en exponentielles, de sorte que la valeur de b, par exemple, contiendra nu nombre fini de termes de la forme C.c*', c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et C une quantité réelle puisque b ou sa valeur esin a> est une quantité réelle. Soient Dc*‘, C'c*', D'c1' , etc., les termes corrcspondans de c, b', c', etc. , D, C, D', etc., étant aussi des quantités réelles, la valeur de e* contiendra le terme (C* D*) . c**’, la valeur de e'* contiendra le
terme (C'* D'*) . c**', et ainsi de suite. Le premier membre de l’équation (e) renfermera par conséquent le terme
+m" V^r'.(C',,+D"*)-f-etc.].
Si c* est la plus grande des exponentielles que renferment les expressions de b, c, b', c', etc., c**1 sera la plus grande des exponentielles que renfermera le premier membre de l’équation Çe) ; le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre terme de cette équation ; en sorte que pour que son premier membre se réduise à une constante, il faudra que le coefficient de c**1 soit nul de lui-même, ce qui donne
-h m* \J(f . (C**-f-D**)-f-etc.=o;
équation qui ne peut être satisfaite, à moins qu’on n’ait séparément C=o, D=o, C'=o, D'=o, etc., si l’on suppose que les radicaux \/a, \a\ ^a" , etc..
sont de même signe, c’est-à-dire que les corps;»,
/«', m", etc., circulent dans le même sens; d’où il suit que les valeurs de b, c, b',c', etc., ne renferment pas d’exponentielles, et que par conséquent l’équation en h ne contient pas de racines imaginaires.
Si cette équation avait des racines égales, il en résulterait des arcs de cercle dans les expressions de b, c, b', c etc. L’expression de b, par exemple, renfermerait un nombre fini de termes de la forme Cf. Soient D C, C D'U, etc. , les termes correspondans des valeurs de c, b', c', etc. , C , D , C, D', etc. , étant des quantités réelles, le premier membre de l’équation (e) renfermera le terme
(C’+Dq-fW l/ZT.(C'‘-f-I)'')+m" v/â".(C"“+D"»)+e!c.];
et si V est supposé la plus haute puissance de t que renferment les valeurs de b, c, b ' , c', etc., tu sera la plus haute puissance de t qui entrera dans cette équation; il faudra donc, pour que son premier membre se réduise à une constante, qu’on ait
m v/û(Ca+U»)-f-m' l/7.(C,‘+D'!‘)-fm" V/?'.(C*>4-D"1)+etc.=o;
ce qui est impossible lorsque les corps m , m', m", etc., circulent dans le même sens, à moins qu’on n’ait séparément C=o , D=o, C'=o, D'=o, etc. Les valeurs de b, c, b', c', etc., ne peuvent donc contenir ni exponentielles ni arcs, de cercle, et l’équation en h a par conséquent toutes ses racines réelles et inégales.
‘ DU SYSTÈME DU MONDE. 4i5
Le cas particulier que nous avons examiné est celui de la nature, où toutes les planètes circulent dans le même sens autour du Soleil. 11 suit donc, de ce que nous venons de démontrer, que les excentricités des orbes planétaires n’éprouveront pas par la suite des siècles d’accroissemens considérables, et quelles resteront dans tous les temps très petites, comme elles le sont aujourd’hui.
C’est d’ailleurs ce qu’on peut conclure immédiatement de l’équation
m V« • e* + "é V« • m" \/a'.e"% -|- etc. = C.
En effet, tous les termes du premier membre de cette équation étant positifs, lorsqu’on suppose que les corps m, m' , m" , etc., tournent dans le même sens , chacun de ces termes est plus petit que la constante du second membre. Si l’on suppose donc à une époque donnée les excentricités e, e', e" , etc., très petites, la constante C sera une foit petite quantité; chacun des termes de l’équation précédente restera donc aussi fort petit , et ne sera pas susceptible par conséquent de croître indéfiniment. Mais les considér rations précédentes montrent comment l’étemelle petitesse des excentricités des orbites des planètes résulte de la forme même de leurs valeurs, et nous avons cru devoir les développer ici , pour ne rien laisser à désirer sur une question aussi importante.
GG. Considérons maintenant les équations d’où dépend la position des périhélies. Si l’on remplace dans
l’équation tang a = b et c par leurs valeurs, on
aura
a"r'* Al.cos(/i(+0+M1.cos(/i,i-I-/,)-f-iM,.cos(//,/+/a) + etc.’
Si de l’angle ea on retranche l’angle ht-\- Z, en observant que
tang (ai — ht — /)
tang* — tang ( ht -f- Q i + tang a . tang {ht- f- /) '
en vertu de l’expression precedente , on aura , L, n M,.sin.[(At-À).«-J-/1-/]+M,.sin.[(A,-A). -J-etc.
Si le coefficient M est supposé plus grand que la somme de tous les autres coefficiens M„ M„ M3, etc., pris positivement, le dénominateur du second membre ne sera jamais nul; tang (w — ht — Z) ne pourra donc pas devenir infini, l’angle « — ht — Z n’atteindra jamais le quart de la circonférence, et cet angle sera compris par conséquent dans les limites -f- go® et — go°, entre lesquelles il ne pourra faire que des oscillations plus ou moins grandes , de sorte que lit-{-l exprimera le vrai mouvement moyen du périhélie.
Mais de ce cas particulier il est impossible de rien conclure en général sur la nature de l’angle a>; on doit donc regarder les mouvemens des périhélies comme n’étant pas uniformes, et comme pouvant éprouver dans la suite des siècles des variations dont on ne saurait assigner les limites; on a seulement la certitude qu’en vertu de la première des équations (r) n° 54, ces variations seront toujours très lentes, comme elles le sont aujourd’hui.
67. Concluons de ce qui précède que la stabilité' du système du monde est assurée relativement aux excentricités comme elle l’est par rapport aux grands axes. Les orbites des planètes , en vertu de leurs actions mutuelles, et en ne considérant que les variations séculaires, ne font qu’osciller autour d’un état moyen d’ellipticité dont elles s’écartent peu, de sorte que ces orbites dans les siècles à venir conserveront toujours à peu près la forme circulaire. Les grands axes des orbites demeureront constamment de la même grandeur, les moyens mouvemens qui en dépendent seront toujours uniformes, et la position de ces grands axes pourra seule éprouver dans la suite des variations considérables; enfin les excentricités, quelques altérations quelles subissent, seront sans cesse assujetties a la condition suivante : la somme de leurs carrés, multiplies par lés masses des corps du système, et par les racines carrées des grands axes de leurs orbites , restera constamment la même.
Il faut bien remarquer que ces résultats, du moins quant à ce qui regarde les excentricités et les périhélies, ne sont exacts qu’aux quantités près du second ordre par rapport aux excentricités, aux inclinaisons et aux forces perturbatrices. Nous montrerons bientôt comment on peut les étendre aux secondes dimensions de ces forces et à des excentricités et des inclinaisons quelconques.
