Tome I

Variations séculaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds.

68. Déterminons maintenanlles variations séculaires des nœuds et des inclinaisons. Leur théorie a la plus grande analogie avec celle des variations séculaires des excentricités et des périhélies.

En désignant par <p l’angle que forme le plan de l’orbite primitive de rn avec un plan fixe que nous supposons très peu incliné au plan de cette orbite, et par cl l’angle que fait leur commune intersection avec une droite prise à volonté dans le plan fixe, en donnant à <p' et a! des significations analogues relatives à l’orbite de ni , et en supposant, afin de simplifier les formules ,

p = tang . sin a. , ' q = tang <p . cosa , p' = tang <p' . sin cl' , q'c= tang <p' . cos <t' ,

nous avons trouvé dans le n° 46, pour déterminer les variations différentielles des quantités p et q , les équations suivantes :

art

dq = —

on dF j -T • m • at.

1 — e* * dp

Si l’on différencie par rapport aux variables p et q la valeur de F du n* 53 , on aura

dF 3m . aa .{a, a)' , „

dp 4". (a'* — a*)* ’ ’ 'P P )>

dF 3 m' . ad . (a, a)' .

dq 4 . (a'* — a*}» •\9“m7)‘

E11 faisant donc pour abréger, comme dans len° 63

= 3i7»' • a’an .(a, a')'

on aura, en négligeant les carrés des excentricités et des inclinaisons.

iï~

dt~

Il est aise de conclure de là les variations différentiellcs de <p et de a. En effet, les valeurs que nous avons supposées aux quantités/, et q donnent

tang <p = tang«=e.

f " différenciant, et en observant q ue noos négligeons les cari es des inclinaisons, ce qui donne cos® = ,

- trouve r ’

d<p = s\nx. dp+cosa. dq , P" — C05-* • dp — sin « . dq

• . tang <p *

Sl l°n Substitue Pour dP et dq leurs valeurs données par les équations [a), après y avoir remplacé p, q

P » q Par les quantités que ces lettres représentent.

4 ?.o THÉORIE ANALYTIQUE

on aura

^=.[a,a! ] . tang <p' . sin (« — a') ,

tang<p' tang <p

, cos (a — a*)»

valeurs qu’on aurait pu d’ailleurs déduire directement des formules (5) et (6) du n* 4a, comme il est aisé de le vérifier.

Nous n’avons considéré jusqu’ici que l’action d’une seule planète perturbatrice m'; l’action des planètes m", mm , etc. , introduirait dans les seçonds membres des équations précédentes des termes semblables à ceux qu’ils renferment. Si dans ces équations on change ce qui a rapport à m dans ce qui est relatif à m , et réciproquement, on aura des expressions ana-

dû* dm

logues pour , et l’on trouverait de la même

manière les valeurs des différentielles etc.,

relatives à m", m'", etc.; d’où l’on peut conclure qu’on aura généralement pour déterminer les variations séculaires des inclinaisons et des longitudes des périhélies des orbites des planètes m, m' , m", etc., le système d’équations différentielles suivant

df>

— =[a,a'].tang0'.sin(« — «0+[<j,a'].tangf".sin(«— «*)+elc.,

dàL

^=-{ M + O, <] + etc. }+[<,,«']. ‘^ oos. (W) + **a’ • COS (a — «*) -f etc. ,

Ub)

~~ =rQa',a].Uuig9.sin(«'-ï)+[]a,,a*] tang^' siu(a'-a')-}-etc., I

{ [a'.aj+fra’l+etc. } + C«'.«3-£jJJ cosW-J

— - = [a', a] . tangp . si n (<*'-*) 4* t°"i ®] ■ tangp' . sin(a''-a') +etc. ,/ W ^=-{ [a',«]+C«'»“'] + etc. } + [«•, -)