O + elc

etc. j

Ces équations sont de forme absolument semblable à celles qui nous ont servi à déterminer les variations séculaires des excentricités et des périhélies; la seule différence qui existe entre elles, c’est que les symboles

| a>a'1j a"] , etc. , sont ici remplacés par les symboles [n, a'] , [a, a"] , etc.; les quantités e, e' , e', etc., par tang<p, tangip', tang<p", etc., et les angles eo, o»' , etc. , par a, a.' , etc. Nous pouvous donc appliquer aux équations précédentes les mêmes ‘considérations qui nous ont guidés dans les n‘ 63*et suivans , ce qui abrégera beaucoup ce que nous avons à dire sur cet objet.

6q. Nous voyons d’abord que si l’on intègre les équations ( b ) en y regardant les angles <p, <p', etc., a, a' , etc., comme constans, on aura pour les variations séculaires des inclinaisons ctdes nœuds des expressions qui ne sont rigoureuses que lorsque le temps t est infiniment petit, mais qui pourront cependant servir

4 aa THÉORIE ANALYTIQUE

pour les planètes pendant un long intervalle. Si l’on veut avoir des valeurs plus exactes de ces variations, on réduira en séries ordonnées par rapport au temps les expressions de p, et, p' , et' , etc., et en différenciant les valeurs précédentes de , ~t, etc., on

pourra continuer ces séries aussi loin que l’ôn voudra.

Déterminons les expressions rigoureuses des inclinaisons et des nœuds. Il faut pour cela intégrer complètement lés équations (£), ce qui exige qu’on leur donne d’abord unie autre forme. Faisons , comme précédemment,

p ==tangip . sinat , q s=tang<p .cosac , p' s=ïtang<p' . sina', q' E=tang?',. cosa', etc. etc.

Différencions ces expressions, et substituons pour

dp, da, dp' , det' , etc., leurs valeurs, nous aurons

|>,a']+[a, o”]+etc.}.g +[a,a']-î'+[o>

^== {[«>«']+[<*> —[a, d].p—[a, a'] ./—etc. ,

c.} jf'+ta'*°]. ?+[“>«*] î"+etc-*

{[«>]+[« ,a1+etç.}./-[a,,o].p-[o',«'].p’’-etc., ) M

^-f^a]+[a%cO+eta}.9'+[^«]-2+K^V+e^a

^'= { [a*, «]+[**, a']+ctc.}.p‘-[a'>a] />-[«>']•/>'- ctc.l cto. ■ x /

Ces expressions résultent d’ailleurs immédiatement de celles que nous avons trouvées directement pour

27etâ’n°68'

On obtient aisément plusieurs intégrales du système dcquations précédentes. En eflêt, si l’on multiplie respectivement ces équations par m\/ a . p , rn\/ a .</, m'\/d . p' , m'\J a! . q , etc. , qu’on les ajoute ensuite et qu’on intègre leur somme, en faisant attention qu’en vertudes valeurs des quantités [a, a'], \ci',a], etc., on a

. .\a, a' ]./« \/a — [a! , a].ml s/a! = o,

[a, a"].m \Ja — \d', a].m"Vâî' = o , etc.

on aura, •

Si l’on multiplie ces mêmes équations, la première par m . \/a, la troisième par rd . Sjd , la cinquième par rd'.y/d , et ainsi de suite, et qu’on les ajoute, on aura, en vertu des mêmes relations ,

m V/«' -H etc. = o,

(Tou l’on tire en intégrant

m s/a.p-\-m' s/d . p' nf \ZaH . p"^etç. sss const. On trouverait d’une manière analogue, m \7a . q -f* m’ s/d . q' -f- ni' \/tP . cj ' -f- etc. = const.

Nous étions déjà parvenus dans le chapitre VII à ces diverses équations qui expriment des relations qui

doivent toujours exister entre les quantités p, q, p , q', etc., quelques cliangpmens quelles éprouvent, et qui pourront servir par conséquent à vérifier leurs valeurs.

Le système d’équations différentielles linéaires (c) étant d’ailleurs parfaitement semblable à celui des équations (P) du n°64, on pourra appliquer à leur intégration la même analyse. On trouvera ainsi /> = N ,sin.(/u+/)4*Ni .sin.(/;lt+/1)-pN, .sin.(A,*-f-/,)+etc.,\ </ = N .cos.(Af+Q-f-N, .cos.(A,/+/,)+î<, .ços.(A,<+/,)

/=N\c»s. (Ar+Q+N',. cos. (/»,«+/,) -f N',. cos.(A4H-4)+«tc'>»

etc. J

h, h,, ht, etc., étant les racines d’une équation d’un degré égal au nombre des corps agissans du système, et les arbitraires N, N', N", etc.,./, /,, Z», etc., des constantes qui dépendent de la position des orbites à nne époque donnée.

Si ‘les racines h, h,thtt etc. , sont tontes réelles et inégales, les valeurs de p , q,p' ,q' , etc., ne sauraient contenir ni exponentielles ni arcs de cercle. Or c’est une conséquence que l’on peut tirer de lequation (p)^ comme nous l’avons fait voir daas le n° 65, pourvu que les corps m, m' , m' , etc., soient supposés circuler dans le même sens ; d’où l’on doit conclure que les inclinaisons des orbites planétaires sur un plan fixe, si elles ont été très petites à une certaine époque, demeureront toujours peu considérables, et ne feront qu’osciller. entre d’étroites limites quelles ne pourront jamais franchir. La position des noeuds, au

Dü SYSTÈME DU MONDE. 4?5

contraire, pourra éprouver dans la suite des siècles des variations considérables, et leurs mouvemens devront être regardés comme n’étant pas uniformes.

La stabilité du système planétaire est donc aussi assurée relativement aux inclinaisons des orbites quelle l’est par rapport aux excentricités.

70. Les expressions de p et 7, données par les formules (d), offrent un moyen facile de construire géométriquement les valeurs de ces quantités par le moyen des épicycles.

En effet, que l'on imagine un cercle dont le rayon soit N, et qu’à partir d’un diamètre fixe on prenne sur ce cercle un arc qui comprenne l’angle ht~\-l , qu’à l’extrémité de cet auglc on place le centre d’un nouveau cercle dont le rayon soit N,, et qu’on prenne à partir d’un diamètre mené parallèlement à celui du premier cercle un arc qui réponde à l’angle h,t -J- /, , qu’on place à l’extrémité de cet arc le centre d’un nouveau cercle dont le rayon soit N,, et qu’on prenne de mêmesur ce cercle, à partir d’un diamètre parallèle aux précédens, un arc qui soutende l’angle et ainsi de suite; si de l’extrémité du dernier arc, on abaisse une ordonnée perpendiculaire au diamètre du premier cercle, cette ordonnée sera la valeur de p, et l’abscisse correspondante, comptée à partir du centre du même cercle, sera celle de q.

En effet, ilest visible, d’après cette construction, que la première de ces deux coordonnées sera exprimée par

N . siu(//^-fi/)-+-N,.siu(Alt-f-/1}-f-IV,.sin(/iJ<-f-/.)-f-ctc. ,

et la seconde par

N . cos(7(<-f-/) + N , . cos/A.î-f- 1, }-f-N, . cos(//,t-f-/,)-j- etc.

On voit de plus que si du centre du premier cercle. On mène un rayon vecteur à l’extrémité de l’arc pris sur la circonférence du dernier cercle, ce rayon sera l’expression de tang<p, et l’angle qu’il forme avec l’axe des abscisses sera égal à l’angle a, puisqu’on effet on aura ainsi • .

' tang f = Vp'H-y*, tanga = £.

Eu appliquant la même construction aux expressions de 6 et de c du n° 64, on déterminerait géométriquement les valeurs de l’excentricité e de l’orbite et de la longitude a> de son périhélie. La première serait égale au rayon vecteur mené du centre du premier cercle à l’extrémité de l’arc pris sur le dernier épi cycle, et la seconde à l’angle que forme ce rayon pyçc l’axe des abscisses.

71. Jusqu’à présent nous avons supposé fixe le plan auquel nousavons rapporté la position des orbites planétaires, mais les astronomes ont coutume de la rapporter au plan mobile de l’écliptique ou de l’orbite que décrit la Terre autour du Soleil dans son mouvement annuel ; c’est en effet du plan de cette orbite que nous observons tous les mouvemens célestes. 11 est donc nécessaire , pour rendre les formules précédentes immédiatement applicables aux usages astronomiques, de montrer comment elles peuvent être modifiées de manière à détermiuer directement les

variations des nœuds et des inclinaisons des orbites des corps m, ni, »<", etc., par rapport à l’orbite mobile de l’un d'entre eux pris à volonté, relativement à l’orbite de m, par exemple. Soient donc x' , y' , z les trois coordonnées de ni rapportées à un plan fixe quelconque; soit 2 l’ordonnée d’un point situé sur l’orbite de rn et répondant aux mêmes abscisses x' et j-'; nous aurons

z'= — p'x' + </'/, z = —px' + ci/.

Si l'on suppose très petite l’inclinaison mutuelle des deux orbites ainsi que leur inclinaison sur le plan fixe, la différence z' — z~ — (p' — p).x'-\-(<]' — q).yJ des deux ordonnées a' et z exprimera à très peu près la hauteur de m' au-dessus de l’orbite de m. Or, si l’on désigne par zj cette hauteur, et par $>/ et et/ l’inclinaison et la longitude du nœud de l’orbite de ni sur l’orbite de m, on a aussi , à très peu près,

z\ = — tang y1, . sin ai t . x' ,-f- tang <f\ . cos a! t .y' , d’où l’on conclura

tang*', . sin a'=p—p, tang?', . cos «',=/•— <7,

et par conséquent

tang$',== VV -r- tang a', = ^— £,

On déterminera aisément, au moyen de ces deux équations, le lieu du nœud Commun et l’inclinaison mutuelle des deux orbites.

Si l’on suppose que le plan fixe auquel se rappor-

lent les quantités p, p' , q , q' soit celui de l’orbite de m à une époque donnée, on aura pour cette époque p=*o, q — o. Mais les différentielles dp et dq ne seront pas nulles et en différenciant les valeurs précédentes on aura '

dÇ>',= (d p' — dp) . sin «' -f- (.dq' — dq) .cos a! ,

, , (dp' — dp) . cos *' — (dq' — dq) . sin a,'

. ' taugç'

En substituant pour dp, dq, dp' , dq' , leurs valeurs précédentes, on trouvera

JL/

~dt~{ [“> a"l [“>«*] j • • «in • (*' — •")

+ { [a',a*]— [o,»*] } . tangp* . sia . («' — «*)+ etc. , — + la'>a'l + W, 0*3 +etc. } — [a, a"] ,

+{[«>'] - [o, a'] } . ÎSjjJ . cos -fetc.

On obtiendrait de la même manière des formules semblables pour déterminer les variations des inclinaisons et des nœuds des orbites de m" , nJ" , etc., relativement à l’orbite de m. Quant au degré de précision de ces réductions, il est facile de se convaincre qu’elles sont exactes , aux quantités près du troisième ordre , relativement aux inclinaisons mutuelles des orbites; en sorte qu’on pourra toujours les employer comme tout-à-fait rigoureuses, tant qu’on ne voudra pas pousser au-delà les approximations.