De ce que nous avons démontré dans le n

il résulte que la stabilité du système solaire esl assurée relativement aux inclinaisons des orbites planétaires, comme elle l’est par rapport aux excentricités. L’action réciproque des planètes les unes sur les autres, à laquelle sont dus les déplacemens séculaires de leurs orbites, ne cause dans leurs inclinaisons mutuelles que des variations comprises entre d’élroites limites qu’elles ne pourront jamais dépasser; elles resteront par conséquent toujours très petites, comme elles le sont aujourd’hui. La position des nœuds pourra au contraire éprouver dans la suite des temps des altérations considérables, et l’on ne devra pas regarder leurs mouvemens comme uniformes. Enfin , quelles que soient les altérations que subissent les inclinaisons des orbes planétaires, elles seront toujours assujetties à la condition suivante : La somme de leurs carrés , multipliés par les masses des corps du sjstème et par les racines carrées des grands axes de leurs orbites, demeurera constamment la même .

Nous étendrons bientôt ces résultats, qui ne sont exacts qu’aux quantités près du second ordre par rapport aux excentricités , aux inclinaisons et aux masses perturbatrices, au cas où l’on a égard au carré de ces masses et à toutes les puissances des excentricités

et des inclinaisons.

43o THÉORIE AlS'ALYTïOtTs

V aviation séculaire de la longitude de l’cpoque.

^ nous res^c > pour compléter la théorie des variations séculaires, à considérer les variations du sixième élément des orbites planétaires, de celui qui, dans! ellipse non troublée, dépend delà position de la planète à une époque donnée, ou, ce qui revient au meme, de 1 instant de son passage par le périhélie.

Pour bien concevoir l’importance de cet élément, d faut remarquer que c’est de la variation séculaire de la longitude e de lcpoque, que dépend celle de la longitude vraie de la planète dans son orbite, c’està-dire de la coordonnée la plus nécessaire pour la détermination exacte de sa position dans l’espace. En effet, en nommant v cette longitude, on a, par les formules du n* 24 ,

v = nt + i -f x,

en désignant par x une suite de sinus des multiples de 1 anomal ,c moyenne nt + t — c multipliés par les puissances de l’excentricité e. Or, si l’on regarde connue vanables les élémens elliptiques, et qu’on ne considéré que la partie non périodique de la variation de x ü est évident que cette partie sera une fonction des elemens de la planète troublée et de la planète perturbatrice de l’ordre né; en sorte que si l’on y regarde de nouveau ces élémens comme variables en vertu de leurs variations séculaires, les termes du second oi-dre contenus dans cette fonction seront sim-

plomcnt proportionnels au temps t, et s’ajouteront au moyen mouvement nt dans la valeur de v ; et les termes dépendant du carré du temps t, les seuls, comme nous le dirons, qu’il importe de considérer, seront du troisième ordre et pourront toujours être négligés. Nous avons vu d’ailleurs que le moyen mouvement ni n’était soumis à aucune variation séculaire; la seule variation de cette espèce dépendante du carré du temps , dont puisse être affectée la longitude v, est doue celle qui provient de la variation de la longitude t de 1 époque, et c’est une raison, par conséquent, de l’examiner avec soin.

74. Reprenons la valeur de <k donnée par la troisième des formules (11), du n° 46.

dt—an'^l~e- , (1— Vï^e1) • Tjr- dt—za'n .dl. (a)

Si l’on différencie la valeur [ni) de la fonction F , n°53 , relativement aux constantes e et a, et qu’à la place

des différentielles partielles on

substitue leurs valeurs données en fonction de BCo) et Bw, par le n° 5a, savoir,

JB<°) 3a.BC°)+«'..BC0 JBO__ 3a'BC°>+(:za • B(0

da a'1 —a.' * da — a* *

on trouvera

; “ al r(2a'’-3^*) BO)-3„n'.P.<”)-| .

du a ' & ’ a ^ ~ar, ~ , "

4'a'L, a'^Z* Jee cos(*

,m , r3a'BC°-i+aBC0-j

f a . 4 ' ' L V*— a* }[>“+ e'- C P—PY— W- lï ,

si l’on substitue ces valeurs dans 1 équation (a), en négligeant les puissances de e supérieures à la spconde et en faisant , pour abréger .

M ~ tri . a*n . (a . BW— d . BO) ,

(~’\ ridn.[6ad . RW 4. (3 oa— <?'“) .

(^d\~— m'-anU$ria'- 1 5«a,3).BW-(aa»+ iaaV*-i O«O).BC0]

fT^\ m' ■ riaa . (3 ad. B(°)-+-a* .RCO)

quantités que l’on peut exprimer aussi en fonction de (a, ri) et de (a, a')' pour les avoir sous la même

forme que les quantités analogues [«,«'], [«7"']. En

effet, il suffit pour cela de remplacer B « et Bco, que nous n’avons introduits que pour la commodité du calcul, par léurs valeurs données n°5i,

BCo) — 2,(a»a) t>(,) 3. {a, a')'

(af*-— a‘p * («‘—a*)**

Les quantités (a, a) et (a, a')' représentant, comme on sait , les coefficiens des deux premiers termes du développement de (a* — a an'. cos <p-j-a'^ren série, de sorte que l’on a

(a’- W. cos? + d‘)i = (a,d) +(a,ay . cos* + e(c.

m . an. [au* . (a, a') -f- 3a a' . (a, a' /]

m .an. [11. a'a' ,(a,a) — 3 . (3 aV — aa ’) . (flJi')']

m'.an.[3.(a,-5cl,)■aa'.(a,a')+3.{ai+6a'a',—

(a, a ja— -

m .an. f&i’a'* . (aji') — 3 a?d . (a, a')']

on aura

d-L = (aj) + («£.'). • e* + feîi). ■ • cos <*' “ *) ( (6)

4- (<±£)i •{(/’' — /O* + (?' — ?)*— «'*}• 5 On voit par cette expression que si dans la valeur de (U on n’avait égard qu’aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, comme nous l’avons fait pour la détermination des variations séculaires des autres élémensde l’orbite, le second membre de l’équation précédente se réduirait à une constante, dans le cas même où l’on considère le carré des forces perturbatrices. Il en résulterait par l’intégration dans la valeur de e un terme proportionnel au temps qui s’ajouterait au moyen mouvement nt dans la valeur nt -f- e de la longitude moyenne, nous verrons bientôt que les termes de cette espèce demeurent toujours insensibles ; d’où l’on doit conclure que si la longitude £ de l’époque est soumise à une variation séculaire, elle ne peut dépendre que des termes de la valeur de dt du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; c’est par cette raison que nous avons conservé ces termes dans l’équation (b).