Tome I

Si Ton suppose, comme dans les n°46 et 64,

b=ze. sin&>, b'z=.e' . sin<»', c — e. coscj, c'= e' . cosa>',

la formule (b) deviendra

(a’a')+(a a'), - (i*+c‘)+(^.'). (bb'+cc)

+' •[( p'—pY H- (/— y)*— y *— c *]■

Cette formule servira à déterminer la variation séculaire de la longitude e de l’époque, causée par l’action de la planète perturbatrice ni'; l’action des planètes ni", etc., ne fera qu’ajouter au second membre de leqnation précédente des termes semblables , qu’on obtiendra en y marquant successivement d’un accent de plus les lettres a! , b' , c' , p' et q'. Si dans l’expression résultante on change ce qui a rapport à la planète men ce qui est relatif à ni', et réciproquement, on aura une formule semblable pour déterminer la variation de', relative ara'; et l’on aurait de la même manière les variations dt" , dé!" , etc., qui se rapportent à ni*, m!" , etc. Nous continuerons, pour plus de simplicité , à ne considérerque l’action mutuelle de deux planètes m etm', ce que nous dirons pouvant aisément s’étendre à un nombre quelconque de corps m, m , ni , etc.

Nous aurons ainsi

% =(^)+(5f). •(*'■+<='*)+(“>). .(M' + cc') )

Il est aisé de vérifier sur les équations (1) et (a) la

'DigTt~c‘:

• Dü SYSTÈME DU MONDE. 435

relation que nous avons vue exister généralement entre les variations séculaires des longitudes d un système quelconque de planètes ni, ni , in' , etc. En effet, si l’on multiplie la première par m\/a, la seconde par m' \/«/, qu’on les ajoute en observant que a \Ja . n = a!\fa! . «' = i , et que les valeurs que nous supposons aux quantités^, a1') , (a! , a), etc., donnent

m\/a . -ni yV.faV) = mm' . Aco,

rot /a.(â~â')- m ^ a .(a' ,ci)j=m [/ a (a , a) ,-m V u.(a,n')s

= . mm . aa! . B<'); m t/u. (a,a'\ + m' V a' • (n'-a\

= ? . mm! . .aa. BW— (a* + o'a) . BCof]

m\/ a. (a, a'\ +ff»' \/ a'. (a , a) sz=--^ mm . aa .Bc'5,

on aura, en mettant la fonction F du n° 53, à la place de la valeur qu’elle représente

m\/ a.' ‘t+m \/ u .■^=2m.F-t-^-^mm'.aa'.BC,).(6*+c,+ 6'*+ c'*)

-f l- mm' . aa'. BC-0 — (a» + a'*).BCO^j .(Ji'-f ce'),

équation qui, en substituant pour Bw et Bco leurs valeurs, et les symboles [a, «'], k£j à la place des quantités qu’ils représentent, devient

— m[/a . j • V>b' -f- cc'). (c)

La fonction F est constante relativement aux variations séculaires n° 57 ; il en est de même de la fonc-

436 TJ1É01ÜE ANALYTIQUE •. ' .

tion

[rt,a'J . J Z>* — f— c -J- C1*} — 1 . \e,a | . (Jbb' -{- ce').

En effet, si on la diflërencie par rapport à b, b' ,c, c' , et qu’on substitue pour db, db' , de, de' leurs valeurs données par les équations (P) du n° 64 , dans lesquelles on ne considérera que l’action de deux planètes m et m' , et qu’on observe que l’on a par les n0’ 65 et 6g

d’où l’on tire par conséquent

011 verra que cette différentielle se réduit à zéro. Ainsi donc le second membre de l’équation (c) est constant ; de sorte que si l’on 11e considère dans di et dd que les termes qui sont dépendans du temps t, on pourra en faire abstraction , et l’on aura entre ces termes lequation

m \/a . di-^-m'\/a' . de' = o. (5)

Nous verrons, comme nous l’avons dit n° 7a, qu’il est inutile d’avoir égard dans les expressions des variations séculaires de ect de t' aux termes simplement proportionnels au temps, parce qu’ils se confondent avec les moyens mouvemens nt et n't dans les expressions des longitudes moyennes de m et de m' , et qu’ils demeurent d'ailleurs toujours iusensibles; ou aura donc immédiatement, au moyen de l’équation précé-

dente, la variation séculaire de i' lorsque celle des sera connue , ou si l’on a calculé séparément ces variations , cette équation servira à vérifier les valeurs trouvées. Ces valeurs seront de signes contraires, et en raison inverse des produits m \/a et m \ a' , ce qui s’accorde avec le résultat auquel nous étions parvenus par une autre voie n* 5 G.

75. Occupons-nous maintenant de déterminer la valeur de e; pour cela reprenons la formule (1)

= feü') + (ïE')i • (** + c’) + • (bb' +«o i

+ (^), • t(p' —pY+ W — lY — b'% — c *] . )

Pour intégrer cette formule, il faut, dans le second membre, remplacer les quantités b , c , b' , c' ,p, p' , q > q' , par leurs valeurs en fonction du temps l. Or nous avons donné deux moyens de les obtenir, l’un qui peut servir à déterminer ces valeurs pendant plusieurs siècles avant ou après l’époque que l’on a choisie pour origine du temps, l’autre qui embrasse un nombre d’années indéfini. En substituant donc les premières valeurs dans le second membre de l’équation (1), on aura, pour déterminer la variation delà longitude e de l’époque, une expression qui pourra s’étendre à plusieurs siècles, ce qui suffira presque toujours aux besoins de l’Astronomie, et en employant les’secondes, une expression qui fera connaître sa valeur exacte lorsque cela sera jugé nécessaire.

Si l’on désigne par b)t c„ b' ,, c',, /?,, q,,p ,, q „ les valeurs de b, c , b' , c, p , q , p' t q' relatives à l’époque d’où l’on compte le temps, les équations (P) et Xe) >

n°* G4 et 6g, donneront, après les avoir intégrées en y regardant les éléraens elliptiques comme constans , et en négligeant les termes très petits de l’ordre £*,

Qu’on substitue ces valeurs dans l’équation (i) et qu’on fasse pour abréger

nA=(o^) + (^), • (V+c/)+ (»■«), .(^Â'+xO + (^)s • [O/— /O + (<7/ ~ 7/) — V*— «/*]

1 /, db dc \

— l'Ql

• dt • ~dt J '

on aura

de = A. ndt -f- a . B/</f;

d’où l’on tire en intégrant

ef s = A . -f- B<*.

C’est l’expression de la variation de la longitude et de

DU SYSTÈME DU MONDE. 43g

l’époque qui doit être ajoutée à celte longitude dans l’expression de la longitude moyenne nt -f- «.

Le terme A .nt ne fait qu’augmenter le moyen mouvement primitif dans le rapport de i à i -f- A, de sorte que le moyen mouvement , tel qu’il doit résulter des observations, sera (i 4- A et semblera répondre par conséquent à une distance moyenne

à - — Ainsi connaissant cette distance qui

est celle qui provient de la comparaison des temps périodiques, on pourra déterminer la distance primitive a qui .entre comme élément dans le calcul des perturbations; mais la quantité A étant une fraction infiniment petite, puisqu’elle est de l’ordre des masses m et m , il ne résultera de là qu’une correction insensible et de nulle considération dans les distances moyennes. On peut donc n’avoir aucun égard à l’effet du terme dont il s’agit.

Mais il n’en est pas de même du terme B t' qui , croissant comme le carré du temps, produit dans l’expression de «, et par conséquent dans celle de la longitude moyennne de m, une véritable inégalité séculaire. 11 ne restera plus qu’à savoir si la valeur du coefficient B est assez grande pour que celte inégalité puisse devenir sensible par les observations. Comme ce coefficient est du second ordre par rapport aux masses m et m' , il est à présumer qu’il sera toujours fort peu considérable. En effet, dans la théorie des planètes, le terme B/* est insensible et l’on peut le négliger; dans la théorie de Jupiter et de Saturne, par exemple, celles de toutes les planètes dont les per-

turbations sont les plus considérables , ce terme est pour Jupiter,

" — o* . oooooo65o i . t% ,

d’où, en vertu de l’équation (3), on conclut pour Saturne

-4- o'.oooooi5i 14 • <*>

t désignant un nombre d’années juliennes. Ces inégalités ne s’élèveraient pas, par conséquent, à un soixantième de seconde sexagésimale dans un siècle; elles sont insensibles par rapport aux plus anciennes observations qui nous soient parvenues.

Mais ce même terme devient très sensible dans la théorie de la Lune, et sert à expliquer la variation séculaire que les observations ont fait remarquer dans l’expression de sa longitude. En effet ce terme est pour la Lune

De sorte que, dans un siècle, cette inégalité peut s’élever à plus de 10", ce qui s’accorde assez bien avec les observations qui la font monter à 9' à peu près. En multipliant 10', 2066 par le carré du nombre de siècles écoulés depuis 1 époque d’où l’on compte le temps , on aura l’accélération du moyen mouvement de la Lune, due à son équation séculaire.

76. Déterminons maintenant, quoique cette donnée paraisse peu nécessaire dans l’état actuel de l’Astronomie, la valeur exacte de la variation séculaire de e. Il faudra pour cela substituer, comme nous l’avons dit, dans l’expression de dé les valeurs des quantités b, c,b\

DU SYSTÈME DU MONDE. Al t

c', p, q, p' , </' , déterminées par les formules des n° 65 et 69 , et comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus d’angles croissant • avec le temps t, la variation de sera intégrable. Les termes constans qu’elle pourra contenir donneront dans £ des termes proportionnels au temps qui sc confondront avec le moyen mouvement dans l’expression de la longitude moyenne , et les termes en sinus et cosinus produiront des termes semblables qui exprimeront les variations sécu\?ires dont cette longitude peut être affectée.

Les formules du n° 65 donnent , en 11e considérant que l’action mutuelle de deux planètes m et m! ,

b '* -f- c ■ = M'° + M'*, + a . M' M', . cos . [(/iy — A) t + 1, — /] ii'4-ee,=MM'+MM;+ (MM/+ M'MJ .cos. [(fi, — fi)t-M, — C].

On a, en second lieu, en nommant <p l’inclinaison mutuelle des deux orbites, et en remarquant que cette inclinaison est invariable, n° 55,

tang*ç> = (//— />)• + (?' — 9)*=N»,

N étant une constante.

Si l’on substitue ces valeurs dans la formule ( 1 ) , eu faisant pour abréger

A'»=(57')+(Ô2)i . (M‘+ M/) + (<^?), .(MM'+M M/)

B'=a. .MM' — 2.(0/?) J .(MM/-fM/M),

on aura

dé = A' . ndl -f- B', cos . [(A, — h), f -f- lt — Z] . dt. (d)

Si, dans cette équation, on néglige le premier terme du second membre qui ne produit dans l’expression de £ que des termes proportionnels à nt, termes dont on peut faire abstraction comme nous l’avons vu n* 75, on aura en intégrant

<^ = hjz-h • si“ •[ (*<— h) ■ 1 + l— d-

C’est l’expression de la variation séculaire de la longitude de l’époque relative à un temps t quelconque.

Cette variation séculaire, comme celles des autres clcmens de l’orbite elliptique, est périodique; mais sa période, qui dépend de l’argument ht — h, est extrêmement longue. Nous verrons, par exemple, dans ia théorie des planètes, que, pour Jupiteret Saturne, elle est de 70414 années.

L’expression précédente de J'e montre encore comment la variation différentielle dt, quoique composée de termes de l’ordre des masses m et ni , peut cependant devenir sensible dans la suite des siècles, en acquérant par l’intégration un très petit diviseur h! — A du même ordre. Nous montrerons toutefois, lorsque nous appliquerons les formules précédentes à la théorie des planètes, que, relativement à Jupiter et à Saturne, celles d’entre elles dont les masses sont le plus considérables, ce coefficient ne s’élèverait guère

qu’à un millième de seconde , et que par conséquent les variations séculaires de la longitude de l’époque peuventétre regardées dans cette théorie comme absolument insensibles , ce qui est conforme à ce que nous avons dit dans le n° 75.

Enfin la formule ( d ) peutservir à trouver une valeur de i plus exacte que celle que nous avons donnée dans le n° cité, en réduisant en série ordonnée par rapport aux temps t les sinus qu’elle renferme, et en négligeant les termes constans ainsi que ceux qui sont simplement proportionnels à t, et qui se confondent avec le mouvement moyen dans l’expression de la longitude moyenne.

De la stabilité du système solaire.

77. Nous avons vu, dans le n® 65, que la stabilité du système solaire reposait sur deux conditions: 1 °. l’invariabilité des grands axes des orbites planétaires, n°. le peu d’étendue des limites dans lesquelles doivent être constamment renfermées les variations séculaires de leurs excentricités et de leurs inclinaisons.

Nous avons démontré la première proposition en ayant égard à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, et en portant les approximations jusqu’aux carrés des masses perturbatrices.

Nous avons prouvé ensuite, en regardant les excentricités et les inclinaisons comme de très petites quantités dont il est permis de négliger les carrés.

et les produits, que les orbites des planètes resteront dans tous les temps presque circulaires et peu inclinées les unes aux autres, comme elles le sont aujourd’hui. Cette approximation suffit sans doute aux besoins de l’Astronomie; mais le principe de la conservation des aires fournit une démonstration nouvelle de cette proposition, qui a l'avantage d’embrasser toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, et qui peut même s’étendre aux termes du second ordre, par rapport aux forces perturbatrices. Comme un point aussi important dans la constitution du système du monde ne saurait être établi avec trop de précision, nous allons la développer ici, et prouver par ce moyen l’éternelle petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbes planétaires, en poussant les approximations aussi loin que nous l'avons fait pour démontrer l’invariabilité de leurs grands axes.

Reprenons, pour cet effet, les trois intégrales que nous ont fournies n° g, en vertu du principe cité, les équations différentielles d’un système de corps m, m' , m" , etc., circulant autour de M. Ces formules peuvent s’écrire ainsi