CHAPITRE IX

Variations périodiques des élémens des orbites planétaires.

80. Nous avons vu, n° 46, qu’cn vertu de leurs attractions mutuelles, le mouvement des planètes était soumis à deux espèces de perturbations distinctes. Les premières, dont l’accroissement est très lent , ne se rendent sensibles à l’observateur qu’après un grand nombre de siècles ; elles affectent immédiatement et d’une manière continue les dimensions et les positions des orbites; les secondes, plus rapides dans leur marche, sont simplement périodiques, et ne dépendent que du lieu qu’occupent dans l’espace les différens corps du système solaire. Nous venons de donner la théorie complète de celles de ces inégalités dont le calcul est le plus important et le plus difficile; il nous reste à nous occuper des inégalités de la seconde espèce, qu’on a nommées, pour les distinguer des précédentes , inégalités périodiques.

Nous supposerons, comme nous l’avons fait jusqu’ici , que la planète troublée se meut dans une ellipse dont les élémens sont variables, et en tenant compte des termes que nous avons rejetés pour déterminer les variations séculaires des élémens de sou

orbite, nous arriverons de la manière la plus simple à la détermination de leurs variations totales. En introduisant ensuite les élémens ainsi corrigés dans les formules du mouvement elliptique, il nous sera facile de déterminer pour chaque instant le lieu de la planète par les méthodes ordinaires.

Nous ferons observer, toutefois, que, comme les inégalités périodiques demeurent toujours très petites, et n’ont pour ainsi dire qu’un effet passager et alternatif, il est peu important, pour les, besoins de l’Astronomie, de connaître en particulier les altérations qui en résultent dans chacun des élémens de l’orbite; il suffit d’avoir l’effet total de ces variations sur le lieu de la planète, ce qui peut se faire par l’intégration directe des équations différentielles du mouvement troublé. O11 détermine immédiatement en effet , par ce moyen , les inégalités périodiques des trois variables qui fixent à chaque instant la position de la planète: on peut donc, en regardant l’orbite comme constante par rapport aux variations périodiques , traiter ces inégalités comme de simples corrections à faire aux valeurs de ces coordonnées calculées dans l’orbite elliptique corrigée des variations séculaires. Mais celte méthode a l’inconvénient d’introduire dans les formules des termes qui renferment le temps hors des signes sinus et cosinus; on est obligé d’employer ensuite des réductions particulières pour le faire disparaître, et l’on u'en déduit d’ailleurs que d’une manière indirecte les variations séculaires. Celle que uous avons adoptée, au contraire, présente dans une même analyse, et sous un même

tfi?. THÉORIE ANALYTIQUE

point de vue, toutes les inégalités des moavemens des planètes, et peut-être, à tout prêt. dre, a-t-elle aussi le mérite de la simplicité ; car rien n’est plus aisé, lorsqu’on a déterminé la partie périodique de la variation desélémens, que d’en conclure les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude. On verra d’ailleurs que cette méthode estla meilleure qu’on puisse suivre lorsque , dans la détermination des inégalités périodiques, on veut avoir égard aux termes dépendans.du carré et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons.

8i.Les Formules du n° 4 a nous ont donné, en considérant seulement la partie non périodique du développement de R , les variations séculaires des élémens de l’orbite de m\ les mêmes formules serviront à déterminer les variations périodiques de ces élémens, en ayant égard, dans le développement de R, à la partie périodique que nous avions rejetée d’abord. Reprenons donc l'expression de R du n°48; si à la place de u, u', v, v't on substitue leurs valeurs données n* 53, et qu’on réduise . l’expression résultante, en observant qu’on a généralement

on trouvera, en ne portant l’approximation que jusqu’aux carrés des excentricités et des inclinaisons , et en rejetant les termes dépendant des inclinaisons dont nous nous occuperons plus tard ,

R = y . Aw . cos . i(n't — nt -\-t' — *)

+ ~ . Mw . e . cos . [}{n't — — &>]

-f- . cos . [i(n't — nt-\-t — — a»']

^-.Nw. e\cos . \i(nft — nt+e — — a a] -f- — . N(,}. eé .cos. \i(ri t- -eu-a']

-J- ~ .ÏSM.e,t.cos.\^i(n' t-nt-\-t-é)+2nt-{-îi-2ce]

-4- ™-.N w. (e*-f- e *) . cos . \i(n' l-nt-%-* -;)]

-f- ~ . NHJ. ce'. cos. [i(n' t-nL-\-d-é)-\-0)-cà']

-f-™ . Nc5>.ee'.cos. \i[n' t-nt-\-d eu \ ,

i étant susceptible de toutes les valeurs entières positives et négatives, en y comprenant zéro, et en ayant soin seulement de rejeter , dans ce dernier cas, les ternies tout constans.

Nous supposons, pour abréger dans cette expression ,

, 4f>4 THÉORIE ANALYTIQUE

^=40-co-2a<^>a..(^)],

NO) = i.[4C'-.)*-AO-0-2.(I-,)Æ.(^^ )

,. , î/rfAC'-\. ,A/*A«-0\n 2.(l:).a .^__J+aa

nw= ^4-(‘+i)’AC'+'-+2-(t+I)-a(^^)

.. , /(/AC‘+0\ /d‘ At(+,)\-i

+2.(t + l).a . (-^-r-)+aa .(-^ )J.

Le nombre i doit être supposé positif et plus grand que zéro dans ces trois dernières expressions , le cas de i = o ne donnant dans R que des termes non périodiques. Nous désignerons par N{-5) ce que devient NC5) lorsqu’on y change i en — i; il est aisé de voir qu’on a alors Nc 5)= Nf4).

Il est commode , pour les applications numériques, de n’avoir dans les formules que les différences relatives à' l’une ou à l’autre des deux quantités a et a\ Ou trouve alors, par le n° 5a , en transformant les différences relatives à a ' en différences relatives a a,

MCO= fl.(^-) + (af-,).A C‘-),