DEUXIÈME APPROXIMATION EN EXPRESSION AUSSI SIMPLE

obtenir l'exprossion (g-) du travail total, d'où celles (//-), (L) de la llècho dynamique : car, puisque l'effort ■- u' va croissant uniformément depuis

m' = 0 jusqu'à la petite flexion u'=^f^ qu'on suppose rester dans les limites de parfaite élasticité où les effets sont proportionnels aux forces productrices, sa valeur moyenne est ,y % f^^, donnant, si on la multiplie par l'espace

parcouru f^, le travail 7' Li^ , ou son expression (g-) applicable à tout système heurté.

2" Que, puisque la déformation s'opère approximativement comme sous un effort statique, il suffit, pour avoir le déplacement maximum de tout point du système dont on donne les coordonnées, de multij)lier Je déplacement [i-j) /jj du point heurté par la fonction des coordonnées statiquement obtenue

pour représenter, comme fait le binôme ( ^ - — -iiy ^ 1 dans l'expression le-)

déterminée statiquement au n" -"(î, le rapport du déplacement de ce point à celui du point heurté qui était le point z-=^a.

7)" Qu'un raisonnement non moins élémentaire (*) montre que pour avoir les déplacements à une époque qnelconquc, il suffit de multiplier pour tout

point son déplacement maximum par sin (t^^ ,

58. Deiirihne approrimation, considérablement plus grande, exprimée par des formelles à peu près aussi simples que la première, et susceptibles d'élre

employées jusqu'à des limites étendues du rapport - de la masse du système

heurté à celle du corps heurtant. — Application, d'abord, à la barre appuyée aux extrémités et heurtée transversalement au milieu. — Cette deuxième et généralement très grande approximation, notamment de la flèche dynamique de flexion du système élastique, ainsi que de la durée périodique ou du ton de son oscillation principale, s'obtient en ne négligeant que les termes affectés de la huitième puissance du paramétre désigné par m^, dans les développements algébriques des équations transcendantes qui en fournissent la valeur, et dans ceux du premicF et principal terme des séries 2.

iNégliger m^ devant m,' semblerait équivaloir (n«5fi) à négliger — devant-,

ce qui ne serait permis que pour de petites valeurs de -• Et cependant,

chose toute particulière et heureuse, dont l'explication ne s'aperçoit pas de suite, les formules ainsi obtenues donnent des résultats se confondant presque

(*) Voir tous les cours de mécanique pratique où l'on traite des oscillaUons pendulaires.

568 CHAP. IV. — NOTi; nu ^ 61. — nil'Ul.SIO.X mANSVEItSALE.

p avec ceux des foi-iiiules exactes lorsque - est plus giaad que 1 et même que

2, 5 cl i, comme ou verra.

Par exemple, pour noire problème (n"* ^, 5, (>, 7\Çt) de la barre appuyée

. , ... , , ,, ... ... .• /siu m sili m\ 'JP

aux extrémités et heurtée au milieu, 1 équation )n

vcos )a cos hj 0 donne, par son développement (c^) en divisant de part et d'autre par le second membre sauf par son facteur m', et négligeant les m- :

.11' /', '"'* \ / , '"'' \ 'ji' / , I'

d'où on tire