SS

On voit (|ue l'expression de pi-emière approximation, seule enseignée jusqu'à pi'ésent pour obtenir la flèche dynamique de flexion, est en défaut,

p excepté pour des valeurs du rapport - qui seraient très petites, tandis i[ue

la nôtre, de deuxième approximation, ne le cède presque en rien à l'expression Iranscendante et exacte pour toutes les vahMirs usitées de ce rapport.

FOHMES PRISES PAH LA BAIIHE d'aPHÈS LA DEUXIÈME A1'1'IÎ0XIMATI0> . 571

39. — Forinc de la harre à une époque ((uelconque, d'après celte dcu.rième approximation. — Comme on ne tient compte, en en faisant usage, que du

premier terme de la série transcendante V, on aura, pour tout point de la barre et pour toute époque, le déplacement u en effaçant, de son expression (ie) du n" r»(3, le signe V, en y mettant pour Z son développement (r/.,)

en expression entière, et, pour m, la valeur [j-,) de m^ de deuxième approximation.

Cela reviendra à prendre l'expression [k-) ou (/,) de l'ordonnée centrale

u^^ et à la multiplier par rj- c'est-à-dire, d'après (o-), par

(:?i-ii:)--^(-Ii-^^i:-^i:4-l^)- '

En divisant le numérateur par le dénominateur, on a, au degré d'approximation où l'on efface les m^ devant I, la même chose que si l'on multi-

pliait le premier ternie du numérateur de cette fraction par 1 H- -^j- en laissant le second terme tel qu'il est. Remplaçant m,'; par sa valeur (7,), on obtiendra pour l'ordonnée approchée de la courbe de flexion, à toute époque :

[ Il = l'expression (/;) de » ^ multipliée par ('-- — :) -r ) H-

Comme le second terme de ce facteur est nul pour le point milieu 3 = 0 comme pour les extrémités ::• =0 de la barre, et sera toujours très petit devant le premier qui est =: 1 pour z=:a, on voit que ce premier terme

:r- — - — I suffira généralement, c'est-à-dire que suivant cette deuxième ap- 12 « 'J ay

proximalion comme suivant la première du n° 54, la barre prendra successivement les mêmes formes que si elle était sollicitée, dans l'état de repos, par des forces appliquées statiquement au point heurté, mais donnant au

maximum, ou au temps sin — ^ = 1, une flèche dynamique (Z^) différente de

celle [f^) ou (i\) de première approximation qui est fondée sur une abstraction de l'inertie de la barre.

Mais la forme ainsi obtenue pour la barre ne donnera point, d'une manière suftisamment approchée, ses jaZus grandes courbures. Elle ne fournira

572 CHAP, IV. — NOTE nu § 61. — IMl'LI.SION TRANSVERSALK.

point, par conséquent, les conditions de sa résistance si les vibrations secondaires, tertiaires, etc., données par les divers termes de la série y, sont capables, malgré leur.s imperceptibles durées, de mettre autant la cohésion en péril que la vibration principale (n"o4).

40.- — l'alcnrs du diviseur binôme correctif de la première approxima-

tionpour divers cas de choc d'une barre élastique.

1« Cas déjà traité de barre appuyée aux deux bouts et heurtée au milieu.

17 P Diviseur : \ -{- ^ -•

2° Barre P encastrée aux deux bouts, heurtée au milieu par un corps "*. L'équation du n° 12 donnant les valeurs du paramétre 7/1 est

(</j roproduilc) m (1 — cos »i coh m) = - (sin vi coli m -f cos m sih m).

Mettons pour les sinus et cosinus leurs développements connus, et m,^ pour m puisqu'on ne peut avoir ainsi, comme nous avons dit, que la plus petite racine de cette équation, celle qui répond au premier et plus influent

terme de l'expression en série V du déplacement transversal n, et qui suffit lorsqu'on ne se propose d'avoir que la flèche dynamique /j, ainsi que

le temps périodique Srr-^de la vibration donnant le son fondamental produit par le choc. Nous obtenons:

ou, divisant par ce qui multiplie m^ dans le premier membre et supprimant toujours les termes en vil,

?H * z= 1 2 — ( 1 tn '

d'où

1" approximation m'i^ = 12 - ; 2* npproxiinntion lu^ =

le diviseur biuônic correctif est 1 H •

3" Barre \\ encastrée à un bout, heurtée transversalement à l'autre par Ij

corps Q. — l,'é(|ualion en înest(n'' lo)

p (7',reproduile) - (1 + ces m coli m) - m (sin »( coli ui -— cos m sih m).

niVISEURS BINÔMES CORRECTIES TOUR LES DIVERS CAS. 0/0

. divisant par i^ ( I — cnj,) «^ négligeant ??i,j. 51' , Il .\

. 51' . . .. , <J . 1'' approxinialiOH »<; — - — : "i" approximalion m\^ = „-t^, .

' divisriir binùiiie coneclif est 1 + ttttt: •

4" IJarre I' appuyée aux deux bouts et heurtée transversale. nent ailleurs qu'au milieu par un corps Q. — Soient (comme au n« 17) '•la sa longueur. h, bi les distances où le point heurté se trouve de l'extrémité de gauche et

de l'extrémité de droite, en sorte que h-^bi-~2a. On a trouvé m(Z).^^=— -

pour l'équation en »i; ou, vu l'expression i.rj de (Z).^^,

— = ; 1 OU p = - , (1 z= ~ , jj Jf- q ^2 •

(jiii col iiip -\- col »Kj {:olh mp + coin inq a a

Or, en général on obtient par division algébrique du cosinus par le sinus

cot » = '\ 1 X .r'* 'ix^

el coth a; = \ x~^ o ii) "*" 9 15

(^.'où

COlH(ü=k I /l //- ,'\ m, , 2»' ,\ C0tm7=( {a m,'mc

— ( »f lli; — ( » -^ — - — /»* ) :il. . . . ; < clioseavecc/

et coth m/> = ( »( \ />» 15 /"^,>\/ ol5 / cotli/H7= ( aulicudc

L'équation en m devient

^ -5(^^+^ + -Srrr-'"',)