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lieu de Ytsin — au numérateur, il y auraYrsin — , cos -^; et (lu on

DELMÈME .vri'ItOXIM.VTlO.N TOUli LKS CAS u'iMl'LI.SIOX GlîADlhlE. 575

multipliera celte expression par le polvnôine en-, valeur de 7;^ qui, dans

l'expression (/'-) du n" 59, multiplie l'expression il-) de u^^ ; et aussi, que l'on mettra Qh-q' au lieu de Q quand le corps </ préalablement uni à la barre existera.

Pour la barre des n"" '20 et '27, sollicilée sans choc par une force constante ou variable 7 en son milieu où est attachée une masse Q, on se servira

toujours des expressions (rj ou (^J de u, sous le signe y\, en y mettant

pour m.

Et quant aux ban es des n""- 28, 29 et 50, dont le milieu, où aucun corps étranger n'est fixé, se trouve astreint à un déplacement soit invariable, soit fonction du temps, ou bien à recevoir l'action continue d'une force, il n'y a pas à rechercher des valeurs approximatives de )n puisqu'elles sont

toutes connues et égales à —', — '» " n ^ a dûn(' pas lieu d'v user d'au-

tre approximation que de se borner à un seul terme de la série "V (*).

f) On peut se demander si cette sorte de simplification et d'approximation peut s'appliquer aux problèmes d'impulsion brusque de barres librf's ou pivotantes des n " 19, 20, 21, 22, 25.

Les deux cas particuliers considérés au n^ 22, 1» de barre libre heurtée à un seul bout (cas 9=0): J." de barre pivotante autour d'un point fixe qui est à un de ses bouts, heurtée à l'autre (cas r = 0, q = x> ) qui a été considéré plus directement au n" 2ô), ont offert respectivement pour les équations transcendantes dont les racines sont les diverses valeurs du paramètre ;«. ces équations ayant été dégagées du l'acteur m qui donnait une racine m = 0,

1" cas : >ii sin tu coli m — cos //( sih m) -\- — ( [ — cos m coh m ]

cos III coli III „ Ù

!■' cas : — r- = 2 III ~

sin //( sih III V

Celte équation du 2'= cas étant développée devient — ^^^° — ^^ 2 m, -. donnant avec la

racine iii,^=^0, qui reparaît, une autre racine qui serait tirée de iii^ = — ~ ( 1 4- ^ ) î

valeur imaginaire et nunu'riqwiucnl considérable, surtout quand P est petit devant Q. Celle du premier cas étant développée de mémo devient :

2m'' / m'' \ F /«* / II,-* \

'" -r i • - •7ïïi+--j + o T ( ^ - 4ro - •••• j = 0.

D'où une racine m'^ = 0 et, en négligeant les nfl. une autre donnée par m), =

210 pp . Cette dernière, même pour les petites valeurs de - . est trop considérable

1 + i pour qu'il soit permis de négliger les ?//„-

lîes'.c donc a prendre les racines m =0. Elles fournissent pour ces cas, comme on a vu

57ß CHAP. IV. — NOTE DU § 61. — IMPULSION TRANSVEIISALE.

4'2. — Remairjue sur le partage (jiii se fait, entre le système heurté et le corps heurtant, de la (juniitité de mouvement apportée par celui-ci. — Observons, comme préparation à une méthode de reeheiche élémentaire de la solution de deuxième approximation ci-dessus, que la vitesse donnée par cette solution pour le point heurté, après l'acte du choc, aurait été obtenue de suite et sans intégration j)Our le cas, par exemple, du choc exercé au milieu de la barre appuyée à ses deux extrémités, si l'on avait supposé

que la quantité de mouvement initiale ^— du corps heurtant, se partageât

dans Y acte du choc, et préalablement à la flexion qui en est l'effet, entre sa

masse -et celle - du corps heurté, mais celle-ci, eu égard à ce qu elle n est

pas libre, étant réduite aux ^^ de sa grandeur.

11 en fût résulté en effet, V, étant la vitesse commune après l'acte du

choc, QV-— (q+;^P jV„ ce qui donne

QV

G + Uv

D'où l'on aurait pu déduire la demi-force vive du système à cet instant,

17 1' en ne comptant toujours la masse de la barre que pour — -, ce qui aurait

conduit à l'expression (/-) de la flèche dynamique on égalant celle demiforce vive au travail de réaction élaslique estimé au n" 07.

Mais nous renvoyons ce calcul au n" 46 où la valeur de la demi-'brce vive après le choc se trouvera établie sans cette réduction fictive de la masse de la barre.

45. — Solutions de deuxième approrimation des problèmes du choc de

au II" 2'2, en les substituant dans les parties transcendantes des solulions, précisément les parties algébriques qui les précèdent et qui donnent les raouvements de rigidité'.

De là, nous pouvons inlérer que dans les cas de liberté ou de pivotement, la seule solution fijifirof/irc, comparable à celles de première et de seconde approximation ci-dessus, est ce qu'on a pour Ir iiiouvnncnl tir In barre m la supposaiil rif/idc. Si Ion veut avoir les flexions, même seulement celle qui est due à la vibration prinripalr et qui répond plus petite valeur »/„ de m, rien ne dispense de résoudre numériquement, et par un procédé exact d'approximations successives, l'équation transcendante en /;» pour la valeur numérique donnée du rapport des poids I' et Q.

Cela s'applique à un certain degré au piobiéme important du balancier de machine; car la première approximation de son mouvement serait évidenunent celui (ju'il prendrait dans l'état de rigidité, et((ui est tout donné. INous croyons avoir indi(|ué, au premier alinéa du n" 51, ce qu'on pourrait l'aire pour en avoir une seconde et une troisième sans les rattacher à la solution transcendante et fort complexe.

DEUXIÈMES APPROXIMATLONS OBTENUES ELEMEMAITIEMENT. !577

systèmes à points fixes, obtenues d'une manière élémentaire et directe. — Ce qu'il y a de remarquable, comme ou va voir, ef aussi d'heureux pour la pratique, ninsi que pour l'enseignemeut technique des procédés de détermination des llexions dynamiques ou autres déformations que les impulsions produisent, c'est que les expressions ci-dessus que nous avons appelées

17 I' correctrices, telles que I -r-;^ -, au moyen desquelles on obtient des résultats presque fout à fait exacts, et que nous avons tirées au n° 40 des solutions transcendantes, ces expressions, dis-je, peuvent être obtenues et démontrées très élémentairement par un emploi rationnel et simple du principe des vitesses virtuelles, ou, ce qui revient ici au même, par celui du théorème très connu de perte de foi'ce vive dans les diminutions ou augmentations brusques de vitesse; théorème aperçu et démontré comme on s.iit en 1766 par Borda (*) pour le choc direct de deux corps solides jusqu'à égalisation des vitesses de leurs deux centres de gravité, et qui, aussitôt étendu analogiquement par lui aux changements de vitesse dans les fluides en le confirmant par des expériences, se trouve aujourd'hui très fréquemment mis en œuvre jusque dans les Cours d'arts et métiers (").

(*) Memoire sur l'ecoulemenf des fluides par les orifices des vases (Acad. des sciences, volume paru en 17G9).

(**) [A] Il s'agit ici, comme on va voir, du théorème des vitesses ou des travaux virtuels, appliqué rt des quanlite's de mouvement finies, traitées comme des forces: application dont on ne se faisait nulle faute à Tépoque de d'Alembert, où les forces étaient crues ne s'exercer que par percussion, et où l'équilibre lui-même se déflnissait par le parfait repos que ion imaginait devoir êlre pris, en principe, par deus corps parfaitement durs (les seuls solides dont la Mécanique s'occupât) se choquant avec des vitesses opposées et réciproques à leurs masses.

Depuis un demi-siècle, une pareille application de ce théorème a été un sujet de controverses parce que, d'après l'ensemble des faits obseivés, on ne reconnaît plus aujourd'hui que des forces non instantanées communiquant les vitesses graduellement ou avec continuité, ef des corps tous dcformables sous leurs actions quelconques.

Cependant, et sans y contredire. Poncelet, dès 18-26., dans un Cours de machines fait aux ouvriers de Metz, et autographié à peu d'exemplaires, considérait des chocs censés brusques, et estimait très rationnellement l'eflet de celui des cames contre les pilons ou marteaux au moyen d'une accumulation d'impulsions rapidement mais continûment produites dans un lemps fini, qui n'était que très court.

Et, en 1828, Cauchy lisait à l'Académie, puis pubhait dans le recueil mathématique le plus répandu qu'il y eût alors, et sous le titre Noureau principe de Mécanique (Bulletin Terussac. tome XI, juin 1829, n" 69, page 116), un court et substantiel mémoire, rédigé aussi au point de vue actuel des réalités physiques, dans lequel il démontrait la parfaite applicabilité du théorème des travaux virtuels des quantités de mouvements, finies, perdues et gagnées dans un choc, si les petits déplacements fictifs qu'on appelle vitesses virtuelles sont pris constants pour chaque ji jint pendant la durée de l'acte du choc, et choisis tels qu'à tout instant de sa très courte durée ils donnent à deux molécules quelconques, agissant l'une sur l'autre, des déplacements égaux et de même sens, ces déplacements étant comme Cauchy l'a précisé en 1856 dans une discussion; estimés en projection sur la ligne de jonction des deux molécules ; ce qui revient à dire que les déplacements virtuels choisis ne changeraient point la distance de l'une à l'autre molécule.

Ce principe étant admi-. nous serons en droit d'inférer pour la pratique, si nous pouvons choisir des déplacements fictifs ou virtuels des divers points qui, tout au moins, ne fassent varier qu'extrêmement peu leurs distances mutuelles, que l'application qui pourrait être faite du théorème des travaux virtuels, ainsi entendu, ou de ce qu'on en tire pour les forces vives,