CH.VP. IV. NOTK DU § 61. — IMPULSION TRANSVERSALE

44. — Déterminalion de l'expression générale de la vitesse \\ du point heurté à la fin du temps imperceptible de /'acte du choc, ou au commencement du temps de son effet. — Employons le principe rappelé au nu-

à nos problèmes de choc d'une barre I' par im corps Q, sera tout à fait légitiruc,et fournira des résultats suflisainment approchés, dont les petites erreurs ne seront attribuables qu'à l'imperleclion du cliuix en qui'stion, ou, comme on va voir, à celle de l'hypothèse que nous serons obliiïés de fain' sur les formes que prend la barre à la Ihi de Vacte du choc, ou au commencement du temps plus lony:, mais toujours de faible durée, de ses effets qui sont les flexions des pièces heurtées ou les dilatations de leurs fibres.

J'ai donc étudié tout ce que j'ai pu connaître d'écrit sur cette sorte d'application des vitesses virtuelles; notamment (outre le mémoire cité de Cauchy, ainsi que l'utile note de Poncelet bientôt insérée au même volume de 1829 du Bulletin des sciences malhcmuliques, n° 198. p. 02"») ce qui se trouve là-dessus dans les livres, mémoires et leçons de Kavier, Coriolis, Duhamel, Poncelet, de Sturm, de M. Résal et aussi au chapitre vn et dernier des Fo7iclions ininlijliqucs de Lagrange; puis aux Comptes rendus, 6 décembre 1841, p. 1040, le mémoire de Sturm, auquel une suite posthume a été donnée (même recueil. 15 décembre, p. 1U»8); enfin les pièces de la polémique de 1856-1857 entre Cauchy, Duhamel, VoncQ\ei {Comptes rendus, 8, 22, 29 décembre, p. 10G5, 1108,1157, 1165; 5, 19, 26 janvier 1857, p. 5, 80 à 89 et 101, 104). J'espère avoir condensé, dans les pages qui suivent, et suffisamment discuté, ce qui peut s'y trouver tout au moins d'applicable au sujet actuel. Je crois d'abord nécessaire d'exposer ce qui peut êlre regardé comme la vraie raison du théorème ou principe des vitesses virtuelles, envisagé au point de vue de la mécanique actuelle ou physique, sans le regarder comme préalablement démontré.

fB] On sait que ce célèbre principe, aperçu pour un sens restreint il y a plus de deux siècles et demi, comme une synthèse des conditions d'équilibre de toutes les machines simples, a reçu, depuis un siècle environ, avec un énoncé qui en étend l'emploi, plusieurs démonstrations regardées comme générales.

Telle est, par exemple, celle de Lagrange [Mccan. an., section I) par l'introduction supposée de moufles où le nombre des cordons est proportionnel à l'intensité de chaque force appliquée à un système; celle de Fourier [Journal de l'Ecole polyfec/ini(^ue \ers \SOS)^ plus élégante encore, par de simples poulies de renvoi dont les fils viennent fictivement s'attacher perperidiculau^ement sur un levier droit unique, à des distances de son point d'appui proportionnelles aux petits espaces susceptibles d'être simultanément parcouius par les points d'application des mêmes forces. Ces démonstrations connues sont présentées par leurs deux illustres auteurs comme s'appliquant à des systèmes de pièces rigides ou inextensibles, dont les points prennent des mouvements qui se commandent ou se lient géométriquement en partie les uns les autres.

Pour pouvoir les adapter aux corps te's qu'ils sont dans la nature, c'est-à-dire déforraables, il faudrait pour cluujue molécule, et même chaque point matériel, autant de moufles ou de fils multiples de poulie que ce point supporte de forces émanant des autres points.

Or, on se dispense de faire de telles et aussi innombrables fictions si (comme je l'ai (ait dans un mémoire présenté le 14 avril 1854, et dont Coriolis a fait mention au 24^' cahier du Joiirn. de l'Ecole polijterlni.) l'on regarde simplement l'équation des vitesses ou des travaux virtuels comme n'étant, à bien prendre, ou dans la réalité physique, qu'une somme générale, pouvant toujours être faite à volonté, des équations particulières d'équilibre statique ou dynandque des divers points, ces équations étant préalablement multipliées par de petits facteurs linéaires arbitraires, variant généralement d'un point matériel à l'autre; facteurs qu'on choisit ensuite pour divers buts, comme de faire disparaître de celte sonnne toutes les forces dont ou ne connaît pas les intensités, telles que sont des actions mutuelles de points mobiles faisant partie du système, et des réactions de points fixes ou autres appartenant à des systèmes extérieurs. Ainsi, m représentant les masses des divers points du système, X, Y, Z les composantes des forces qu'ils supportent parallèlement aux X, y, Z; et M, V, "', les composantes de leurs vitesses dans les mêmes directions rectangulaires fixes, en sorte que, le signe S désignant les sommes relatives aux forces agissant sur un même point, les équations

^,) ,/Z';^vx^O, -.l^^+vY^O, ,.^-fXZ=0

THÉORÈME DES VITESSES YIKTUELLES AVEC QUANT. DE MÜUV. FliNIES. 579

raéro précédent 43, sous la prcMiiière de ses deux formes, ù l'ensemble de

notre barre quelconque de masse -et du corps de masse- qiiila heurte avec

expriment, comme on sait, pour l'époque inarquée par le temps /, ré(iuilibre, en trois sens, entre l'inertie d'un point m et les forces motrices qui le sollicitent : on aura ainsi, en faisant la somme, désifinée par le signe S, de toutes les équations de ce genre mnllipliées pp.r des facteurs arbitraires Sx, oij, Sz, variant généralement d'un point à l'autre, l'équation suivante, qui est celle tics vilrsses ou travaux virtuels dans toute sa généralité, si ces facteurs sont de petits espaces supposés parcourus parallèlement aux mêmes axes :

(ß) S m ( ^ 0^^ + '-J, SiJ + '^ Sz ) = Ss (X Sx + Y S y + lSz).

Maintenant si. pour toute une courte durée t, — Iq du temps, l'on fait les facteurs Sx constants, pour chaque point, et de même ceux Sy, ceux Sz, on obtient, en multipliant par dt, intégrant et nommant Wo et «,, Vq et v, , Wq et ir, les vitesses aux époques initiale /o et finale ti :

(y) s III (m, — Uq) Sx + (y, — t'ol Sy -f ( /'', — //•(,) o ;. | = / ett & CX Sy -f Y Sy + Sz] .

[C] Cette égalité, aussi incontestable que les précédentes, ne diffère pas de celle (ô) du Mémoire cité de Cauchy, de 1828.

On y apporte généralement, comme lui. une première simplilication, consistant à retrancher de son second membre, comme négligeables, tous les termes où les composantes X, Y, Z sont celles des forces extérieures, telles que la pesanteur, s'exerçant dans le temps extrêmement court fj — <o eî ayant incomparablement moins d'intensité queles forces moléculaires développées par le choc.

Que deviennent celles-ci, et quelles valeurs donnera-t-on aux facteurs ou petits déplacements virtuels Sx, Sy, Sz pour obtenir des résultats utiles ?

On sait que si l'on fait égaux chacun des trois pour tous les points, en sorte qu'ils n'expriment qu'une translation générale, on n'a que le théorème bien connu du mouvement du centre de gravité d'un système; que si on les prend tels qu'ils ne produisent que des rotations générales autour d'axes lixes, on a le théorème des aires, exprimé comme celui-ci par des équations d'où toutes les actions intérieui'es disparaissent encore comme étant toujours deux à deux égales, opposées, et affectées des mêmes multiplicateurs.

Dans notre problème, tous les auteurs, et Cauchy lui-même quand il passe à une application, prennent pour les Sx, Sy, Sz les petits espaces parcourus par les divers points à la fin de l'acte du choc, ou pendant le dernier élément dt de son temps /, — /„. Tous aussi, abstraient on retranchent de ces mouvements finaux, d'une manière au moins implicite, les ébranlements, c'est-à-dire leurs parties vibratoires, en sorte qu'ils les réduisent à ce que Coriolis a appelé les mouvements moyens, ou de solidification, formés par la suite des positions autour desquelles les points des corps heurtant et heurté exécutent des oscillations imperceptibles.

La raison de ce choix des facteurs 5, est, si la matière des deux corps jouit d'une cerfaine résistance comme font les métaux, les bois durs, que les sommes \Sx -)- \Sy -f ISz qui en résultent pour les travaux virtuels des actions moléculaires, même énergiques seront nulles, ou négligeables comme celles qui viennent des forces extérieures, dans là plupart des problèmes et spécialement dans !e nôtre ; en sorte que le second membre de (•/) peut être remplacé par zéro, et le premier, en même temps, ne contient plus que les données et les inconnues principales du problème.

[D] En effet, considérons les actions qui s'exercent entre les molécules de chacun des deux corps en particulier; et supposons un instant que les mouvements moyens ou sans vibrations, dont nous parlons, aient été les mouvements rcel s pendant loute la durée du choc. La fin de l'acte du choc est l'instant où les deux corps cessent de se pousser ou de se comprimer l'un l'autre, et où ils commencent à cheminer de concert en vertu des vitesses alors possédées. Si donc ils sont l'un et l'autre (comme on le suppose ordinairement) de forme ramassée, telle que des sphères, des prismes courts ou autres corps dont les trois dimensions sont du même ordre de grandeur, et s'il n'y a pas eu de glissement de l'un sur la surface de l'autre, ils se mouvront alors ensemble à peu près à la manière d'un corps in-