CHAP. IV. — NOTE DU 3 61. — IMPULSION TRANSVERSALE

une vitesse V, pour exprimer Y équilibre entre la quantité de mouvement

-Vdu commencement de l'acte du choc, et celle de sa fin, prise en siffne

variable. Eu conséquence, et comme, du reste, leur forme, ainsi que leur orientation, n'auront que fort peu clinngé pendant le petit temps du choc, si, à une quelconque de ses époques, on fait éprouver fictivement à leurs molécules ces déplacements de presque solidification de l'époque finale /j, ils ne leur feront presque éprouver (jue des translations et des rotations générales, ne changeant que fort peu ou point les distances entre les molécules propres à chaque corps. Les sommes \8x -\- YSy -f- l^z relatives aux actions entre ces molécules seront, à tout instant, nulles, ou au plus du même ordre que celles qui peuvent venir des forces extérieures, et on pourra les effacer des seconds membres de l'équation (y) ainsi que nous avons dit pour celles-ci.

II y a aussi à considérer les actions, très intenses et réciproques, des molécules de chacun des deux corps sur celles de l'autre, qui sont voisines de leur petite surface de contact apparent. Tous les auteurs les réduisent à deux résultantes opposées normales à cette l'ace, et à deux résultantes tnngentielles si le choc lui a été oblique. Tous regardent comme nuls les moments virtuels des résultantes normales ; ces force«, en elfet, produisent bien un travail réel vu la petite compression mutuelle éprouvée; mais il ne s'agit point ici de poser une

équation de travail elïectif : leurs travaux \§x -\- que nous considérons pendant toute

la durée du choc sont purement virtuels, dus, pour des forces égales et opposées, aux déplacements finaux, qui sont égaux et de même sens. Ces travaux sont donc, ensemble, nuls.

P>esteraient les ti-avaux virtuels dus aux résultantes tangentielles, ou aux frottements : ils sont quelquefois notables et font une partie essentielle de ceux dont Poncelet a tenu compte d'une autre manière pour le calcul des machines, Poisson et M. Résal pour celui du tir et du recul d'un canon. Mais, dans notre question, nous supposons que l'obliquité, si le choc en a une, n'est que faible et ne produit pas de glissement et de frottement. Le second membre de l'équation (y), toujours dans les suppositions faites tout à l'heure, est donc sensiblement zéro.

[E] Rétablissons maintenant ce que ces suppositions ont fait abstraire, c'esl-à-dirc : 1° les vitesses vibratoires ou d'ébranlement ; 2° la forme particulière, à savoir allongée, de notre barre qui reçoit le heurt.

La conclusion sera la même.

En effet, premièrement, les vitesses vibratoires que le choc a engendrées font osciller constamment les intensités X, Y, Z des actions intérieures d'égales quantités de part et d'autre de leurs valeurs moyennes qui répondent aux situations moyennes locales des points entre lesquels elles s'exercent. Les très petits écarts alternatifs de leurs produits \Sx, Yiî//, 7jSz par les déplacements virtuels choisis se compenseront donc avec toute l'approximation que la question comporte, et on aura sensiblement toujours, pour deux corps dont la forme et l'orientation n'auront pas changé d'une manière sensible pendant l'acte du choc, la nullité totale des sommes de moments virtuels Xiîx-, Yô//, ISz des actions mutuelles de leurs molécules.

En second lieu, supposons maintenant que le corps heurté, au lieu d'être, comme l'autre, libre et d'une de ces formes qu'on peut supposer n'avoir que très peu ou point varié, est allongé, mince et flexible, appuyé en deux endroits, et (ju'il ait pu, ainsi, subir quant à son ensemble, pendant l'acte du choc, une certaine déformation (bien plus petite toutefois que celle, encore petite, qui ensuite sera V effet du choc jusqu'à annulation des vitesses).

Le propre d'une pièce mince et relativement longue est de pouvoir se partager transversalement (note du § 28) en un certain nombre de tronçons dont les trois dimensions sont de grandeurs du môme ordre. Celui (jui aura reçu le choc n'aura guère subi qu'une translation avec le corps heurlant : les autres auront éprouvé, outre des translations, des rotations communes à tous leurs points. Comme les actions entre molécules no se font sentir qu'à des dislances en cjuelque sorte infinitésimales, celles qui s'exercent d'un tronçon à l'autre à travers leur face de séparation peuvent être négligées devant celles qui agissent entre toutes les molécules d'un même tronçon. Si donc on multiplie les composantes X, Y, Z de celles-ci par les déplacements ^.c, Sij, Sz presque purement translatoires et rotatoires de l'instant final de l'acte du choc pour les mômes points, on aura toujours des sommes de trinômes Xox + Yiî// + Zo; sensiblement nulles.

On peut donc, dans notre question du choc des barres élastii(uc<, remplacer, connue on

EMPLOI, AUSSI, DIT THÉOHÈMF m: PERTE BRUSOIE DE FORCE VIVE. 381

contraire, en choisissant pour les déplacements virtuels ceux de la fin de cet acte, comme il faut toujours le faire (voir notre sous-note, fin de son n" [E]), pour que le principe des travaux virtuels soit ainsi applicable.

a dit, par zéro le second membre de (y), et, en divisniit tout [lar dt, remplacer aussi Sx, 01/, oz par W|, i^i, ii'i, qui seront des vitesses nunjennca locales, ou sans petites vibrations, de la fin du temps de l'acte du choc, ou du commencement de son effet.

On aura ainsi, pour leurs relations avec les vitesses u,., v,„ «•„ du commencement du choc, où aucune vibration n'était eiiCDre créée, l'équatiim

(0) S[m[u^^—u^)u^-\- m (vq—l\) y, -f- ?h [h'o— h', j «'|] = 0.

Elle exprime, comme nous avons dit en commençant, l'équilibre, posé par le principe des travaux virtuels, avec un choix déterminé des déplacements virtuels ou hypothétiques, entre les quantités de mouvement primitives nnu, »tvo, mir„ traitées comme des forces, et les quantités de mouvement résiducs, prises en signes contraires, — mtii. — mi\, — mwi, traitées comme d'autres forces, ou, si l'on veut plutôt, comme des inerties.

[F.] Cette analyse, en éliminant toutes les forces motrices X, Y, Z, n'annule aucunement les résultats de leur action. Ces résultats, sont, d'une part, le changement des vitesses primitives 2/„, î'o, u'o en les vitesses ultérieures, et aussi translatoires. M|, u,, il\; et, d'autre part, la production de ces vitesses vibratoires que l'équation (S) ne fait que masquer, et dont elle peut même, si on la transforme, déterminer et mesurer Ve'nergie qui n'est perdue, par le fait, que pour certaines composantes de vitesses ou un certain genre de mouvement à savoir, les mouvements visibles ou utiles.

On n'a, pour cette transformation, qu'à remarquer, vu l'identité

, , "o «1 («0 — «.)^ [z] "oK— "i) = T~ 7 ~i — '

et deux autres identités semblables pour les c et les w, que l'équation (à) revient à :

,.. C "o + ^o+«'o Q iq-^vl + ioi r("i-î'o)' , l''i-^'o)' . («'^'.-«'oj'l

(1) bm— ^ bm ^ =bmy ^ -|- ^ 1 -^ J-

C'est une forme moins simple que celle (o) mais plus facile à énoncer et à se rappel r. Elle exprime que le choc brusque ou très bref a fait perdre à l'ensemble du système une certaine quantité de demi-force vive translatoire ou visible, qui s'est changée ou entièrement en force vive vibratoire, ou partie en un potentiel de compression élastique qui par délente en en:: endrera d'autre, et que cette ;5^'//e apparente est égale à la demi-force vive qui serait due aux vitesses perdues ou ^o^z/ers dans le chcc C'est le théorème de Borda, de 1706, cité ci-dessus, auquel Carnot, en 1783 {Essai sur les machines en général, réédité en 1805 sous le titre Principes d'érjuilibrr et de mouvement) a donné à peu prés, pour les corps qu'il supposait invaritibles. cette forme générale, avec une certaine démonstration qui n'est plus admise.

Lagrange, comme on sait, après avoir simplement cité ce théorème dans la Mécanique analytique sans le prouver {^1" partie, section 3). en a donné une démonstration dans le résumé substantiel de mécanique qui occupe le chapitre vni et dernier de son traité des Fonctions analytiques.

« Si, dit-il à peu près, on communique aux corps d'un système, avant les chocs opérés, des vitesses égales et contraires à celles qu'ils auront à la fin de ces chocs, et qui ne changent plus les distances mutuelles des points heurtants et heurtés, il n'y aura pas de changements dans leurs actions mutuelles, ni, par conséquent, dans les diminutions que les forces vives peuvent éprouver. Ces diminutions, causées par les chocs, sont, ainsi, les forces vives qui seraient dues aux vitesses résidues de ces communications hypothétiques. Donc, etc. »

Cette démonstration de Lagrange est digne de sa puissante intuition. Mais elle suppose tacitement plusieurs choses, et elle exigerait, pour qu'on pût s'en contenter, des développements et d'essentielles distinctions. Elle ne peut d'ailleurs s'appliquer à nos barres flexibles, ayant des points d'appui ou d'encastrement.

Le théorème de perte de forces vives qu'exprime l'équation Cç), et on peut en dire autant de celui de dynamique des qnanlilés de mouvement qui se trouve exprimé par celle (o), est peu ou point utile dans le calcul des effets des machines, comme l'ont remarqué Coriolis et Poncelet : il ne fait point connaître les vitesses après le choc; il ne se prèle point d'une

D<S2 CHAI'. IV, — NOTE DU s; 61. — IMPULSION TRANSVERSALE.

Si nous appelons, à cet instant transitoire, final pour l'acte et initial pour

l'effet, V, la vitesse inconnue de la masse -, et v, celle d'un élément quel-

dV conque — de la barre ou du système, élément dont la quantité de mouvement primitive était nulle ; nous aurons pour exprimer la nullité de la somme des produits des quantités de mouvement par les déplacements virtuels, au commencement et à la fin de l'acte du choc, ceux de la fin étant pris en signe contraire :

-V.V.f// — -V..V//i— -i\.v^dt^(}:

g g .ip 'j

,. . \.cU

équation qui peut être écrite, en divisant tout par :

manière sûre à la mise en compte du travail des frottements, et il ne dispense pas ainsi de poser des équations d'équilibre dynamique pour chaque piixe, en éliminant ensuite entre elles leurs actions mutuelles inconnues. {Cours de mécanique appliqué aux maclii- 71CS, de Poncelet, réédition de 1874, quatrième section).

Mais, pour certaines autres questions, et surtout moyennant la supposition très approximative que nous pourrons faire, dans la nôtre, sur les rapports des vitesses des divers points après le choc, à la vitesse de l'un d'entre eux (celui qui a reçu l'impulsion), ce qui réduit les inconnues à une seule, susceptible ainsi d'être dégagée de l'équation (o) ou (Ç). ce théorème, sous sa double forme, peut rendre d'utiles services pratiques.

[G] On voit qu'au lieu de n'être applicable qu'aux corps dénués d'élasticité, comme on l'a souvent présenté, ce théorème convient aussi aux corps élastiques (comme tous le sont), si l'on regarde l'acte de leur choc comme terminé au moment où los parties qui se sont heurtées ont pris la même vitesse, et si on considère que l'énergie élastique alors en réserve, au lieu d'engendrer de notables mouvements de translation comme dans les billes d'ivoire ou dans certains ressorts d'acier, ne produit presque jamais, outre le bruit et les vibrations, que de petits rebonds et autres effets stériles dont on n'a pas à tenir compte.

On voit encore, par la manière dont nous avons cru convenable d'en préciser et généraliser la démonstration, en la présentant au point de vue de la mécanique pliysique ou des corps naturels, qu'on peat employer ce théorème, non pas seulement pour les corps libres et ne changeant pas de forme d'une manière perceptible, mais aussi, comme nous ferons, pour les pièces ou systèmes qui, après le choc et par suite de l'impulsion reçue, prennent des flexions et autres changements 1res sensibles de forme sous l'inlluenco modificatrice de réactions d'appuis ou autres conditions d'assujettissement de quelques-uns de leurs points, ce qui n'avait pas encore été considéré.

Et je crois devoir terminer cette digression en renvoyant à une courte Note sur les perles apparentes de force vive, etc., insérée au Compte rendu de la séance de l'Académie du 18 juillet 1866, mais surtout à un Mémoire lu le 'Ji décembre 18(10 {Journal de mathémaliquna, '2° série, t. XII, p. 2'u de 1867) oii se trouve traité un sujet connexe à celui qui nous occupe ici, et intitulé : Sur le choc longitudinal mutuel de deux han-cs élastiques libres, et sur la proportion de leur force vive qui, malgré une élasticité sujiposée parfaite, se trouve perdue pour la trnnslation ■ultérieure. Je ne sais s'il me sera donné d'achever un travail semblable relatif au cas où l'une des barres est assujettie à son bout non heurté, ce (pii, je le pense, ainsi ([ue je l'ai exprimé à la fin d"une note ultérieure déjà citée ci-dessus (n" 1), insérée au (lompte rendu du 7)0 mars 1868, f. 66, p. tiSO, conduira à une solution pratique, en termes finis et propre à fournir peut être des résultats imprévus, du problème de la résistance ^ivc longitudinale traité en 1823 par Navier et en 1857 par l'oiicelet au moyen de séries masiiuaiil une loi essentielle, que Th. Young présentait en 1806 sans l'avoir nettement déterminée.

CALCUL ÉLÉMENTAIRE DES VITESSES APRÈS LE CHOC d'uN SYSTÈME FLEXIBLE. 5(So

d'où, pour la vitesse inconnue du corps heurtant, ainsi que de l'élément contigu de la barre, à l'instant do la fin de l'acte du choc, ou à l'instant initial de la flexion ou autre déformation qui est son effet dynamique à calculer, la formule

en sorte que si l'on connaît, tout au moins approximativement, los rap-

ports T^ des vitesses Vy des divers points de la barre à celle V, du point

'1 heurté, on obtiendra cette dernière vitesse, et par suite toutes les autres, pour la fin de l'acte du choc, ou le commencement de la flexion qui en dépend et qu'il s'agit de déterminer.

45. Suite. Même expression de la vitesse V^ du point qui a été heurté, obtenue en employant le théorème des pertes de force vive dans les changements brusques de vitesse, au lieu de celui des vitesses virtuelles. — Ce théorème est, avons-nous dit, comme une deuxième forme, ou une spécialisation, du principe rappelé. La demi-force vive avant le choc (n" précédent) est

Elle est, après le choc, vu la signification (/,) du nombre k,

0 V- Éffalons la perte, c'est-à-dire l'excès de - -v sur celte exuiobsion, à la

ö r jry '2,

demi-force vive due aux vitesses brusquement perdues qui sont V — V, pour -, et — j'i pour l'élément —, puisque sa vitesse, primitivement zéro, est devenue v^ ; nous avons

oy. ov^ l'Vn Q(V-V,)^ l>(-V,)^

^ ' (j g ^<J ^ <i ^J i) -^ il -

20V équation qui développée, réduite et divisée par ^^^' donne bien, comme cela

devait être, la même expression {r^) de Vj que la méthode du n" précédent, où l'on a mis en œuvre un théorème dont celui de perte brusque de force vive n'est, en quelque sorte, qu'une transformation spécialisée.

Ce second moyen d'y arriver estnioins direct que l'autre, puisqu'il conduit à une équation de sept termes, (ju'on réduit à trois par des deslruclions et des réunions. Il est, aussi, bien moins général, car, comme l'ont observé Coriolis et surtout Poncelet, il ne permet pas de faire entrer en ligne de

584 ciiAP. IV. — rsOTE du § Gl . — impi-lsion transversale.

compte lo travail du frottement entre une pièce heurtante et une pièce ou un sol qui reçoit le heurt, comme dans le problème des cames si bien traité dans les Leçons de l'École de Metz, ainsi que dans le mémoire de Poisson sur le tir d'une pièce d'artillerie et sur la réaction opposée par le sol aux crosses de l'affût.

Mais, pour nos problèmes actuels, où le froltemenf n'entre pas eu jeu, ce théorème de perte de force vive, dont tout le monde a l'énoncé présent à la mémoire, sera souvent plus commode à mettre en usage, bien qu'il ne soit pas, au total, très difficile de retenir aussi que les vitesses virtuelles à attribuer aux éléments de masse sont les vitesses inconnues de l'instant de In fin du choc, et du commencement de son effet.

46- Calcid r/es coefficients, numériques /''=/( ïf ) !>' moijennes des

carres des rapports des vitesses i\ des éléments dP du système heurté, à celle y^ de l'élément qui a reçu le choc. — 11 faut, pour un pareil calcul, faire une

hypothèse sur ces rapports inconnus -rr- Ils sont, au moment de la fin de

'i l'acte du choc, les mêmes que ceux des petits déplacements simultanés des divers points do la barre au déplacement de l'un d'entre eux, celui qui a été heurté. Notre choix, que juslifieroiit non seulement les résultats conformes à tous ceux du n° 40, mais encore un certain raisonnement indiqué à la fin du n° 50, a été l'hypothèse que ces rapports mutuels des déplacements se

règlent sensiblement de la même manière que lorsque x est petit ou que le

système élastique n'oppose qu'une très faible inertie à la prompte transmission, dans toutes ses parties, du mouvement imprimé à l'une d'elles; ou autrement dit, que ce système ou cette barre prenne instantanément, au moins en moyenne locale quant à la situation de chaque point, et à toute époque de l'acte du choc, ainsi que pendant la flexion qui le suivra, la même forme qu'il prendrait sous des actions statiques exercées au point heurté, et dans la direction du heurt.

La détermination de cette forme est toute faite ci-dessus pour notre barre appuyée aux deux bouts et heurtée au point milieu, car on a trouvé aux n°* 56, 59, et on trouve dans tous les traités de résistance des pièces élastiques, que si, dans l'état de repos, u est le déplacement du point dont l'abscisse est z, et u^ celui du point milieu z- = a, l'on a

expression qui, d'ailleurs, est celle qui évidemment satisfait (n" 5(î), à

Un a donc

Fl.ECHE DYNAMIQUE OUTE.NUE ÉLÉMEMAIUEME.NT ET PRESQUE EXACTE.MEM. 585

d'où pour toute la barre de longueur 2a,

fa, 5; \z--Y(lz l f 1 , ,., -, 1/9 0 1\

^'ous trouvons ainsi, en substituant dans (r^), justement l'expression (oV)

du n" 42 qui a eu pour conséquence celle (p.;) de l'expression de deuxième

approximation de la flèche dynamique; c"est-à-dire précisément cette réduc-

tion aux ^rr que nous avons trouvée, par une suite de calculs tout différents,

être à faire subir à la masse de la barre si Ion veut calculer la vitesse Vj en partageant entre elle et le corps heurtant la quantité de mouvement priini-

tive - V de ce corps.

47. Calcul, par suite, fait élémentairrment, fie la demi-force vive du $ijstènie à la fin de l'acte du clwc^ ou au commencement de sa flexion sensible, et, comme deuxième conséquence, de la flèche dynamique qui sera prise au point heurté. — Cette demi-force vive de la fin du temps imperceptible de l'acte du choc, dans le problème particulier du n^' précédent et dans tous ceux du même genre, sera, vu les signilications (n" 44) de Ypii, k.

Q VI, /' v\ f/P \ ; g i '^ Jp '1 (j ~ 'ig

J ? '1 (I za

et, d'après l'expression générale (r.) N,= p trouvée en appliquant

(qi.s 44^ 45) sQit iç théorème des vitesses virtuelles, soit celui de perte brusque de force vive, celte même demi-force vive sera

Égalons la, conune nous avons fait pour celle- -r du cas extrême, n" 57,

d'une barre dont l'inertie était supposée tout à fait négligeable, au travail de la réaction élastique du système toujours supposé prendre, jusqu'à annulation de la vitesse, une suite de formes comme celles que lui eussent données des

actions statiques, travail que nous avons trouvé exprimé par {y~) jr, -2, où

jr, est le rapport constant d'actions statiques quelconques q' aux flèches /'

qu'elles produisent, nous en tirons

fu=".a=''\'f'j[^ + ''r,)