CHOC LONGITUDINAL. — SOLUTION EN TERMES FINIS

savoir pour - = -, ^, 1, 2, 4. Nous nous sommes pour cela livré à un

travail circonstancié tant numérique que graphique, analogue à celui qui sera décrit aux n"* 52 à 55 de la Note du ^ Gl pour le choc transversal ; et nous en avons rapporté les résultats principaux au n" LV, p. ccxxxv, de l'historique mis en tète de l'édition posthume (18G4) des Leçons de Navier.

Ils donnent a,ssez régulièrement la suite des déplacements du point heurté. Mais quant à ceux que nous avons calculés de quatre autres points de la barre, et, surtout, quant à la connaissance la plus essentielle, celle des dilatations dangereuses ou les plus grandes, lorsque l'on examine les courbes nombreuses et fort sinueuses ayant pour abscisses les temps, et pour ordonnées les déplacements u des points de la barre, courbes qui doivent fournir ces dilatations par los plus grandes inclinaisons de leurs tangentes, on ne peut y démêler aucune loi manifeste, ni y entrevoir l'espérance d'en constater aucune en triplant ou quadruplant le nombre des résultats particuliers de ce travail déjà extrêmement long. Cette difficulté, cette sorte de relative impossibilité lient sans doute à la nécessaire discontinuité affectant, comme nous verrons, la suite des valeurs des dilatations dans le choc longitudinal.

Une autre solution du problème de ce genre de choc était donc à chercher.

5. Solution en termes finis. — Heureusement que cette solution désirable est possible (*).

On sait depuis longtemps intégrer, au moyen de la somme de deux fonctions arbitraires de z-\-o)t, z — at, l'équation différentielle (g) des vibrations longitudinales d'une barre qui vibre seule.

Cauchy et Poisson l'ont appliquée au choc mutuel de deux barres libres; et, dans un mémoire où je discutais et modifiais quelques-unes de leurs conclusions (**), j'ai étendu celte solution à des barres de ^?'OsseMrs e/ de matières différentes, dans le but, comme eux, de répondre à la question posée par Coriolis, celle de la quantité généralement perdue de la force vive translatoire lors de cette collision de deux corps même parfaitement élastiques. La suite des mouvements de leurs parties est fort compliquée, à cause des nombreuses réflexions des ébranlements aux extrémités de l'une comme de l'autre des deux barres.

Mais bientôt j'ai vu que cette grande complication disparaît, et que la solution trouvée devient celle, en termes finis et simples, du problème qui nous occupe ici, si l'on suppose [Compte rendu du 50 mars 1808, p. 650) Vune des deux barres élastiques extrêmement courte ou raide par rapport à l'autre; car celle-ci peut être regardée comme la barre heurtée, et la

(*) Heureusement aussi, hâtons-nous de le dire eu attendant la Note du § 61, que pour le problème du choc transversal ou tendant à fléchir les pièces, la solution donnée par nous (1857) en série trigonométrique, est d'une application bien plus simple et plus satisfaisante que celle du même genre essayée, comme on vient de dire, pour le choc longitudinal.

(") Mémoire lu le 24 décembre 18G6 (Extrait au compte rendu, p. 1108) imprimé en 1867 au Journal de Liouville, p. 257 à 576.

480 Ä . ClIAP. IV. — TIGES MINCES. NOTE DU § CO.

première, comme étant le corps ramassé et aussi rigide qu'on veut qui la heurte et qui lui reste quelques instants uni. En effet, cette supposition rend extrêmement petit le rapport ?• des masses ébranlées en un même temps dans la barre heurtante et dans la barre heurtée , en sorte que les termes

( . ) entrant dans nos formules de 1860, où le nombre très grandi

\i-hrj

est celui des réflexions du son dans la barre heurtante, reviennent alors

à e ^* " , vu que l'exposant i peut être tiré d'équations telles que

Oit — ;: = 2r ^/, et que ( ) esti:= e~ lorsque r tend vers zéro; transformation d'où nous avons pu déduire, tantôt en un, tantôt en deux, tantôt en trois termes alfectés d'exponentielles, la solution simple désirée du problème du choc, par un coi'ps rigide ou ramassé Q, d'une barre libre P. Et nous avons ajouté finalement qu'il en sera de même quand cette barre heurtée P, au lieu d'être libre, sera assujettie au bout non heurté ; ce que nous avons alors vérifié et récemment reproduit avec calculs dans deux articles des Comptes rendus (21 août et 4 septembre 1882, p. 559 et 425). Cette possibilité de changement de formules compliquées et comme incalculables en formules d'un usage facile nous a tellement étonné, dans le premier moment où elle s'est offerte, que nous lui avons fait subir (à notre Note de mars 18C8) trois sortes de vérifications dont l'une établit leur identité avec les expressions en série trigonométrique qui y répondent; ce qui a confirmé leur exactitude et la légitimité des transformations qui y ont conduit. Les formules nouvelles ont sur la formule en série, outre l'avantage de

la facilité des calculs pour toutes les valeurs de - ainsi que de l'abscisse z

et du temps t, celui d'embrasser, pour le premier instant du choc qui précède toute propagation d'ébranlement, cette expression (e) () = ±

— ) =:- que la série trigonométrique {i) paraît impuissante à

fournir, vu qu'elle n'a plus ni convergence ni signification, surtout différentiée en z, l()rs(pie z et t tendent vers zéro.

6. Cas partlcuiier ou extrême de cette solution par exponentielles. — Par une tout autre méthode, dont il avait exposé et développé le principe dans des comnuinicatious à l'Académie, les 2,9 et 16 janvier 1882 {Comptes rendus, p. 55, 71, 127), M. IJoussinesq est arrivé le 10 avril [Comptes rendus, ]>. lO'dlj à une expression revenant à

du dé[)la('eiuent // r^i'éprouvc le poini d'abscisse z de la baiTC de longueur a et de poids P lieurtée lougitudiualement avec une vitesse V par un corps

CHOC LONOmiDIXAL. — SOLUTION EN TEIIMES FINIS. 480 l

Qà son extrémité :: = 0, pour tout temps t moindre que celui -oiiTébran-

lement parvient à son extrémité z^=a; expression qui a été ensuite reconnue

s'étendre jusqu'au temps f = 2- du retour de Tebranlement au point

heurté, et former ainsi le premier terme des formules applicables à des temps quelconques. Dans cette même note d'avril où son auteur commence par supposer le corps étranger Q uni à la barre et soumis à une action F fi) variant rapidement avec le temps, il i-end compte analytiquement de la loi

7)=- de premier instant d'un choc brusque, aperçue par Young. 11 en

étend même la formule à un choc transversal moyennant sa simple multiplication par un certain coefficient numérique variable avec la forme de la section. 11 a trouvé même depuis, pour le choc brusque des plaques avec une grande vitesse, quelque chose d'analogue qui explique certains effets .connus.

7. Vraie raison et introduction la plus directe des termes exponentiels, trouvées par MM. Sébert et Hugoniot, comme résidtant de l'intégration de Véquation différentielle qui exprime la jonction du corps heurtant et de la barre heurtée. — Cette introduction s'est trouvée opérée, un peu après, dans la troisième des quatre r(>marquables communications faites à l'Académie par ces deux savants, l'un colonel, l'autre capitaine de l'Artillerie de marine ("), comme extraits, présentés d'avance, d'un mémoire annoncé et devant offrir une suite théorique à leurs ingénieuses et importantes expériences sur le tir des canons, ainsi que sur les effets qu'en éprouvent les pièces de leurs affûts.

Prenant comme Navier pour origine des coordonnées l'extrémité fixe de la barre heurtée, et supposant d'abord, comme a fait M. Phillips dans un beau mémoire de 1864("), que l'extrémité opposée z = a éprouve, au lieu d'un choc, une action ¥{t) fonction connue du temps, ils font usage, comme lui, de la solution u = (j>[z + ojt)^-^ [z — w /) de l'équation ci-dessus (g)

y— = w^ -^=r- en astreignant les deux fonctions arbitraires », -L à satisfaire

à [u) rr= 0, F (f) = (Et-^I . Puis, désignant comme Poisson et

M. Phillips, par ^ la variable quelconque de ces fonctions à toute époque, ils obtiennent d'abord, d'une manière simple, pour exprimer la suite de

(') Sur les vibrations longitudinales des barres élastiques dont les exti'émités sont soumises à des efforts quelconques (Comptes rendus, ôl juillet, 7, 14, 'il août 1882, pages 213, 278, 538, 582).

(**) Solution de divers problèmes de mécanique, où les conditions imposées aux extrémités des corps sont données par des fonctions du temps (Compte rendu, 15 février 18G4, p. 517, et Joui-nal de Liouville, 1S64).

480 y CIIaP. TV. — TIGES MINCES. — NOTE DU § 60.

leurs dérivées œ, 4^» l'équation • .

„ ,„=;,o=iK^)-p(^)+K^)--]

dont le dernier membre contient, entre crochets, non pas une série indéfinie^ mais un polynôme que l'on convient de borner aux termes pour lesquels les quantités décroissantes Z — a, ^ — 5a.... n'ont pas cessé d'être positives; ce qui donne déjà un type simple et clair des formules successives de vitesses ou de dilatations comme celles (2) à (2"') qu'on verra ci-après, dont chacune se compose de la précédente et de termes additifs provenant de doubles réflexions nouvelles, aux extrémités de la barre, des ébranlements propagés avec la célérité w.

Ensuite, rétablissant le corps Q resté uni à la barre, ou prenant pour la condition à remplir au point 2 = «, eu égard à son inertie,

où ils mettent pour u sa valeur y(« 4- w/) + ■^{a-+-Mt, ils obtiennent :

!«"(« + (ùi) + ro'{a + (ùt) = i'{t) — ii"(rt — (ot) — vS^^a — wf), (J(i)2 (Jto-

C'est de cette équation, considérée comme différentielle linéaire du premier ordre en f' et w/, que ressortent le plus naturellement les termes exponentiels ; car elle a pour intégrale, C étant une constante :

(n) 9'(a -+- 6>0 = Ce""" + c-""//'^' [{{t) - ^"{a - w/) - ^'{a — «i)]« dt ,

qu'ils transforment, au moyen des autres conditions limites ou initiales, en celle-ci, où nous désignons, à peu prés comme a fait M. Phillips, par

ç' K= ^ ]> les valeurs de la fonction ?' pour celles de sa variable comprises

entre n et oa :

Ils partent de là pour obtenir une loi de rccurrence déduisant les valeurs de cp', pour ç entre na et {n-\- 2)a des deux valeurs déjà calculées de la même fonction pour C entre des limites respectivement moindres de 2a et de \a, ce qui donne l'assurance d'une solution complète en exécutant les quadratures

I e"^' f ( ]> qui s'effectuent d'elles-mêmes quand f est constant; en

sorte que l'analyse des deux savants officiers permettra, par exemple, d'embrasser les cas où il conviendra de tenir compte de l'action continuée du poids (hi corps heurtant, comme a fait Poncelet par son complément à la solution en série de Navicr.

Ajoutons que M. Ilugoniot nous a dit de vive voix être déjà parvenu à

CHOC I.ONGITL'niN.U.. SOLUTION COMPI-KTE. 4<S0 k

quelques conséquences générales, telles que : iMa fin du choc ou la séparation des deux corps, qui a heu constamment au temps t= — lorsque la barre lieurtée est libre, ne s'opère, lorsqu'elle est assujettie à un bout, que plus tard, à un instant qui varie suivant le rapport -j- et dont la détermination lui paraît demander encore quelques recherches; 2" la plus grande dilatation ou contraction s'opère généralement au point fixe d'attache de la

barre, et a une grandeur plus que double de celle - assignée par Young pour

Cü

le premier instant.

8. Solution complète (lu problème du choc longitudinal, par M.Boussinesrj. — Réduction simple des deux fondions arbitraires à une seule. — Formule propre à en déterminer les valeurs successives. — Informé par un simple ouï-dire que les deux savants officiers avaient avancé sur cette voie où l'on vient de voir (n*^ 6) qu'il avait fait plusieurs pas, M. Boussinesq nous a envoyé d'une petite localité du Viverais, où il était en septembre ISS^, un travail qui nous a paru si direct et si complet, sur le choc longitudinal, que nous regardons comme opportun d'en rapporter, dans cette Note, une analyse étendue.

Plaçant l'origine ; ^ 0 des coordonnées longitudinales z au point où le corps Q a frappé la barre à l'instant / = 0, et par conséquent, mettant au point z=:a l'autre extrémité soit fixe, soit libre, de celle-ci, il prend de

suite pour 1 integrale de 1 équation [g) y— =: w- ^-^, ou pour 1 expression gène-

raie, au temps quelconque t, du petit déplacement il de la section d'abscisse z :

le signe supérieur étant attribué au second terme lorsque la barre est fixée au bout ; = a, ou lorsqu'on a (m) ,^^ = 0, et le signe inférieur lui étant

donné quand ce bout est libre, afin que (p) donne \r-) =0 quel que

soit t, et /'ayant la même signification dans les deux termes, en sorte que l'on n'a, ensuite, dans tout le cours du calcul, qu'une seule fonction arbitraire /"dont on ait besoin de déterminer les valeurs successives.

Elle doit satisfaire à la condition de jonction avec la barre, au point :; = 0 du corps Q, c'est-à-dire à une équation posée, comme on a fait pour celle (/), en mettant en équilibre la réaction élastique de la barre avec l'inertie de ce corps, ajoutée à une force que nous appellerons ¥'{t) par unité de sa

masse -; ce qui donne. \a E=^pa- et o — — > d'où Ea = — : g (Jfi^ g(i

(7) ^F(/)---+E.-^=0, ou (^____j^F'(0.

480 / ClUr. IV. — TIGES minces. — NOTE DL" § 60.

Celte condilion, il faut le remarquer, n'est à satisfaire que jusqu'au moment où, j)ar suite de ce que 7— s'annulera et changera de signe, l'action E(7^ cessera de s'exercer entre le corps et la barre. Ils se sépareront

alors et le choc sera leraiiné.

Jusque-là, pour déterminer n, substituons-en l'expression (p) dans celte équation de jonction (7); nous aurons, en divisant tout par w- :

On prouve facilement que la fonction f, ainsi quo sa dérivée f, eu mille pour toute valeur nulle ou négative de sa variable {*}; et comme il en est de même de la fonction qu'on a appelée F', une intégration immédiate de tous les termes de cette équation (s) multipliée par d (w/) est possible à partir de U ou / = 0, sans ajouter de constante. Et si nous désignons, en général, à l'instar de Poisson et de M. Phillips, par ^ la variable, quelle qu'elle soit, de la fonction f dont nous cherchons à déterminer les formes successives, ce qui revient, paur ici, à faire &jf = s, nous avons :

f'^'^ + é^f^'^=lK^-[^'^'-'"^-i''^'~'"^}

C'est une équation différentielle en f{K) cl ^ qui, en regardant le deuxième membre comme une fonction déjà connue de Ç, est linéaire du premier ordre et donne, étant intégrée :

(u) rour^>0, ^^^) = e""'i^j^>"|iF(y±[/'(^-2«)-^^A^-2«)]|^/"C.

Or, on peut bien supposer connaître ce qui est dans le second membre, car : 1" en ce qui regarde les fonctions f (C — 2a), /"(ç — 2a), dont les valeurs sont connues pour C = ou-<2a, puisqu'alors elles sont nulles, il suffira, à chacune des applications successives de cette équation, do ne pas

(*) En eJfet comme, au temps <=Oetà tout temps antérieur, le repos n'est pas encore troublé, on a, pour loule valeur nrgnlivp de w/ — :■, ?/=:0; d'où, d'après [p),f\oit — i — 2 (« — ;)J = ±f{uit — ;); équation prouvant que la fonction /' ne peut être qu'une constante pour toute valeur négative cie sa variable, puisqu'on ne change rien, comme on voit, à la valeur absolue de cette fonction en ajoutant à sa variable U — ; une autre quantité négative — 2 (a — î). En appelant c celte constante, l'égalité (ju'on vient d'écrire revient à r = dz c ; ce qui prouve que dans le cas du signe inférieur, qui est le cas do la barre libre, on a nécessairement f = 0; et, quant au cas du signe supérieur ou de la barre iixéc, connue le signe est — dans l'expression générale {p) du déplacement, si on ajoutait celte constante c à chacun des deux /' comme étant arbitrairement prise pour leur valeur initiale, elle s'éliminerait d'clle-niéme; d'où il suit bien qu'il y a lieu de faire nulles toutes les valeurs de la l'onction /', et par suite de sa dérivée /', pour toutes les valeurs négatives ou nulles de sa variable.

CHOC LONGITUDINAL. — SOLUTION COMPLÈTE. 480m

faire croître C de plus de 2a pour que ces deux fonctions continuent indéfiniment à être connues.

2^ En ce qui regarde le terme - F ( - ) , si nous appelons

le très petit intervalle de temps, d'une durée inconnue et généralement inappréciable pendant lequel se produit, à partir de I^^O, l'impulsion to-

taie - V, la fonction F ( - ) nulle pour C = 0, mais. aussilôlaprés, très rapide-

ment variable, toujours dans un même sens, atteindra et conservera désormais

la valeur V quand ^ égalera et dépassera s. Alors cette fonction F ( - jsous

le signe / pourra être réduite à V, sauf dans quelques éléments de temps négligeables, voisins de la limite inférieure de l'intégrale. La formule (ii)

1 /s; \ devient donc, en effectuant l'intégration de 0 à Ç pour ce terme - F - :

^ ^^\- c''^'')±c~'^''j^ >r;[^/"(..2«) lß-2a)y..

9. Application de cette équation fondamentale et promotrice {v). Tableau de formules donnant les valeurs successives de la fonction f et de sa dérivée f. — Pour fixer les idées en faisant cette application, nous supposerons, dans tout ce qui suivra, la vitesse V du corps heurtant positive ou le choc tendant à la compression. Il suffira, pour passer de ce cas à celui d'un choc tendant à l'extension, de changer de signe F, Y,/' et u, ainsi que

les dérivées premières de //, savoir 7— et 7—, exprimant les dilatations et les

c^ et

vitesses des divers tronçons de la barre.

Ceci entendu, comme, pour C ou mI compris entre 0 et 2a, les fonctions f {^ — 2a), /'(C — 2a) ont leur variable négative et sont nulles ainsi qu'on vient de dire, l'expression [v] de /"(Ç) se réduit à son premier terme. Seulement, vu que cette expression ne représente pas tout à fait ce qui se passe dans le laps inappréciable de temps qui s'écoule entre w< = 0 et w/ = c, temps pendant lequel s'engendre avec rapidité la vitesse V, si l'on déduit par différentiation, de ce premier terme de [v], une expression de la dérivée /"'(C), on ne devra la regarder comme applicable qu'entre les limites s et 2a de Oit. Nous aurons donc :

M ,(,= -) = |^!G-rl^); „.sr(.= -) = ^-^^.

Pour pousser plus loin, mettons ^ — 2a à la place de Ç dan.'^ ces expressions {x) de /"(C) et de /' (C). Elles nous donneront ainsi les valeurs

de n C— 2a = "t j , fil — 2a = " j • Si nous regardons la seconde comme

480 ?i GIIAP, ÏV. TIGES MINCES. NOTE DU § 60.

sensiblement applicable pour tout l'intervalle de 0 à 2«, en négligeant ainsi ce en quoi ce qu'elle donne pour /"' (C) entre 0 et s peut différer de la valeur inconnue de la fonction /' dans cette étendue imperceptible, nous aurons, en les mettant dans le second membre de l'équation {v), une formule qui donnera /"(C) pour les valeurs de K — 2a comprises entre G et 2«, ou, ce qui revient au même, pour les valeurs de C comprises entre 2f/ et Aa. Nous aurons, par conséquent, promu ou fait progresser de 2a l'étendue des valeurs de Ç, pour lesquelles nous cherchons à connaître celles de f{^).

Mais il ne faudra pas oublier, en effectuant l'intégration après cette substitution, que les termes sous le signe /, exprimant ainsi /"(Ç — 2a) et ^■' (^ — 2a), n existent qu'à partir de Ç = 2a, parce que ceux (.r) de f{^) et /''(Ç),d'où ils viennent, n existent quà partir de î; = 0; de sorte que tant que 'C, n'atteint pas 2a, ces termes doivent être remplacés par zéro. La limite inférieure de V intégration sera donc 2a. Effectuant, en conséquence, entre 2a et ?, ces intégrations dans la deuxième partie de l'expression générale ou fondamentale {v), nous obtenons, vu que la première partie ne change pas,

En différentiant par rapport à ?, nous aurons, pour le /'' (C) correspondant :

ï.-5î±ÏA-2£i^'V-^-

Or, on peut remarquer qu'en y faisant ? = 2aqui est la limite inférieure

de la variable, l'on aura, pour /''(2o),dz- de plus qu'en faisant de même

/ 2a\ ç = 2a dans l'expression (;r) de f I î; = j . Cette différence tient à ce que,

tandis que les fonctions f{l) varient constamment avec continuité, sans aucun bond ou saut, leurs dérivées f (Ç) changent comme brusquement de valeur toutes les fois que leur variable ^ vient de passer par une grandeur multiple exacte de 2a. C'est ce que nous marquerons au tableau ci-après de formules [z) à (;'^), en écrivant 2a + e au lieu de 2a pour la limite inférieure de /' (ï) dans la formule (i"), et faisant dt' même pour celles qui suivront. Cela évitera toute méprise dans l'application de ces formules à leurs jonctions les unes avec les autres.

Pour nous élever de / ( ï = ,^ 1 a / ( j: = . i , nous operei'ons comme nous

avons fait de fU=:''^ \ à fU = ^ \, Nous mettrons!; — 2a au lieu de C

dans les expressions {z") de fiç^ jet/'K j regardées, la seconde

aussi bien que la première, comme donnant d'une manière suffisamment approchée f'{K) dans l'étendue entière de 2a à 4a. Il résultera, de cette