IDENTITÉ DES RÉSULTATS APPROCHÉS, TIRÉS DES DEUX MÉTHODES

par b-\-bi et développant :

, (i-fMn*'

Or celle-ci est précisément ce que nous avons trouvé d'une tout autre manière au n° 40, A". (*).

5" (Exemple de cas où la pièce doit être traitée com.me composée de plusieurs parties, et exemple, aussi, de l'emploi toujours facile du théorème de perte brusque de force vive.) Barre henrlée au milieu et qui dépasse de part et d'autre les appuis, de deux portions notables et égales de sa longueur. — Soient P le poids et 2fl la longueur de la partie entre les deux

appuis, a' les longueurs qui dépassent, et P' = — Pleursdeuxpoidsréunis.

A la fin de l'acte du choc du corps 0 avec une vitesse V, ou lorsque, comme au n» 44, Vj représente la vitesse du point heurté et v^ celle de l'élément f/P de la partie entre les appuis qui est à la distance : de l'un d'eux, si l'on appelle i'/ la vitesse, en sens opposé, de l'élément d¥' d'une des deux parties extérieures, situé à la distance z' du même appui, ou aura, les rapports mutuels des déplacements étant supposés se régler comme dans un état dedéfonnation statique (n" 40) où les parties extérieures seront restées droites :

En prenant pour les déplacements virtuels, comme aux n"^ 46, 47, ceux de la fin du choc pendant un instant dt, c'est-à-dire \idt, i\dl, v^dt altribua-

bles aux masses -, — , — ? l'égalité des travaux virtuels des quantités de

9 9 9 mouvement du commencement et de la fin de l'acte du choc donne

Nous serions aussi arrivés à celte équation, sans aucune préoccupation du choix des déplacements virtuels (comme nous avons observé à la fin du n°4oj, en posant celle du théorème très connu de perte brusque de force

(") Cette expression (Cg) de Ä a les valeurs suivantes, selon le rapport p . à la longueur

b -{- bi de la bai-re, de la distance du point de heurt à l'extrémité la plus voisine :

si , / , = 0,1. 0,-2. 0,25, 0,5, 0,4, 0,5,

o + bi

on a k= '2,805, 1,011, 0,774. 0.04-2, 0,518, 0,4857 = ^^-

On voit que le coefficient k du diviseur correctif (n" 40), 1 + ä ^j n'est pas toujours plus

petit que l'unité. Il est évident nièine que si Ton avait b = 0, l> serait infini, car alors le choc seiait suppoité et amorti par un des deux appuis.

590 CIIAP. IV, KOTE DU § Gl. IMPULSION TRANSVERSALE.

vive. Elle nous eût donné, en effaçant partout le dénominateur '■Ig :

OU OV- — OV^ - Q (V-^ — 2 VV, 4- Vp =-. 2 ÇvlcW + 2 Çv^hlV ,

qui, en réduisant et divisant par 2Vp donne bien la même chose que (g^).

V dt Si, dans {g^) on met pour v,, i'/ leurs valeurs (fj et si on divise par — *— on a

où comme

Loo ' 4 Vp / J Q

expression dont nous avons obtenu aussi le dénominateur d'une autre manière à savoir, après une solution transcendante du problème, qu'il serait peu utile de rapporter ici, et après avoir tiré en deuxième approximation, comme dans les autres problèmes, la valeur nio du paramètre m qui entre dans le premier terme de la série ^ qui fournit // dans cette solution.

6° (Exemple de pièce non prismatique). Barre ponée aux deux bouts et heurtée au milieu, à section transversale rectangulaire ayant une largeur constante et une Jtauteur variable réglée de manière à offrir longitudinalement la forme d'égale résistance à un effort statique qui agirait au point du choc et dans sa direction. — Soit toujours 2« sa longueur ; soient b la largeur constante de la section transversale, h sa hauteur ou épaisseur à la distance z d'un des appuis, c cette hauteur au milieu ou pour :, = a.

On sait qu'il doit y avoir, pour l'égal risque de rupture partout dans l'état statique, la relation parabolique suivante entre l'abscisse -ï et l'épaisseur h

(in) — =constante= —

Et, en effet, comme le moment de flexion \{a) du n" 2], M = El ^a pour

valeui", à la distance 2 du point d'appui le plus voisin, le pioduit ^^^ i de ce

Q' bras de levier 3 par la réaction quelconque -^ de l'appui, et comme la fibre

la plus tendue y éprouve une dilatation c = - -pr-^= ^ ^, on tire, vu

APPLICATION A FNE BARRE DE FORME d'ÉGAI.E RÉSISTANCE STATIOFE. 501

!:=—:' la dilatation v2

en sorte qu'il faut, pour que cotte dilatation dangereuse soit égale partout à une même limite donnée, que le rapport ^, soit le même pour toutes les sections, ce qui doiuie bien la relation connue (tg).

L'équation différentielle générale de l'équilibre d'un élément de la barre du n" 0

[{(!') reproduite] El ^. ) + ^ 7^ = 0,

j • X . . b¥ bc' I zvi ^ p I

devient, en conséquence, vu I = 7^ = — ^ I - 1-' et 1 — = -^

__ bh

^ abc

=^^:r- ( - V , VU que le moment d'inertie de la section milieu ;■ = a, est

(^»' -s[Gyii]+^'G)'S=»'