SI T

Dans l'état statique, cette équation réduite à -r-, ( :.î — - j= 0 et intégrée de manière à avoir, d'après les conditions (e) du n" .",

donne pour l'équatio:) en u et :: de la fibre moyenne statiquement fléchie.

L'équation des travaux virtuels de la quantité de mouvement primitive

-V et des quantités de mouvement à l'instant où finit l'acte du choc, savoir

- \\ et — i\, en prenant pour déplacements virtuels ceux Ay/f et Vidt du

, , ,. . , dt

même instant, sera, comme au n" 44, en divisant tous les termes par — :

(4) üvv,=Qv;+ /;.;rf|.=v;[Q + i.j;(^)'*].

)92 CHAP. IV. KOTE DU § Cl. — IMPULSION TRANSVERSALE.

Remplaçons les rapports rr' des vitesses des divers éléments f/P à celle V, 'i

,,,,., . , . /, N ?/ • . . , • ^^P '^^hhdz-

de 1 élément heurte, par le rapport (/tj — qui leur est egal; puis — par -j—j—

=z — ( - Vj (l:., parce que la barre se compose de deux portions de longueur

a et de volume ^ abc, nous avons :

29 ^ L'intégrale calculée a pour valeur -7= a^ . L'expression (r^) du n° 44 est

donc, pour ce cas de heurt d'une barre ayant, sous largeur constante, la coupe en double parabole donnant ce qu'on appelle l'égale résistance statique à une charge au milieu :

K) - v, = p OM /.■ = ^- (•)

(*) Cette forme jiaral>olit|iie donnerait zéro pour l'épaisseur /i de la pièce à ses exirémilés. Elle a donc besoin, dans l'exécution, comme je l'ai indiqué en 1857 dans un Cours, et en 1845 dans un mémoire, d'èU'c modifiée dans la proportion que donne, vers ses extrémités, une théorie de la rupture par çilissement, ou comme on a dit depuis, par cisaillement.

Soit e l'épaisseur, ou be. la section qu'il faudra donner à la barre pour qu'elle ne rompe

point de celte manière là sous les plus grands efforts tranchants exercés par les appuis et

5EI qui sont les moitiés de sa réaction élastique centrale q = ;p^, f^ au moment de la plus g:rande

flèche f^. Cette épaisseur e devra être telle qu'on ait (vu que le glissement maximum sur

la section est -. du glissement moyen) 9 ■777-= la constante Tq des n" 8, 12 et 15 de la Note

du § 57. On ajoutera pour cela, à la barre parabolique, vers ses extrémités, deux prismes de

sa matière, de hauteur horizontale h et ayant pour bases des triangles rectangles à hypo-

thénuses courbes, ces triangles ayant des côtés verticaux ^ e, et des côtés horizontaux — a.

ba e~ Le volume de ces deux prismes ensemble sera -^ • — a, et leur poids sera égal à P nuiltiplié

par le rapport de ce petit volume à -abc. L'abscisse î de leur centre de gravité sera tt; "Ta '^•

En supposant, ce qui est suffisamment approché, que leur niasse soit concentrée à ce centre, l'addition de ces deux prismes de matière vers chaque extrémité ajoutera au second membre

de l'équation des travaux virtuels (/cl un terme Vi; ô ( ■^, — ) — 2 ( -^^ — ) * - — dont l'a-

nalogue, facile à calculer, peut avoir quelques influence dans le problème de la barre d'égale résistance encastrée à un bout et heurtée à l'autre. Mais, dans notre problème actuel de barre appuyée aux deux extrémités, précisément tout aui)rès desquelles se trouve faite

l'addition de matière, cette addition n'augmenterait le coeflicieul (»y). /i = — que d'une

fraction de l'ordre df ( - ) <;l négligeable.

CHOC DE LA BARRE I)'É(7ALE RÉSISTA-NCE, A COUPE PARAliOLIQLE. 595

Nous avons trouvé le même dénominateur biuùuie, dit correctif de la première approximation, en opérant de manière à obtenir la solution rigoureuse du problème posé, c'est-à-dire en faisant, dans l'équation aux dérivées partielles [j^], comme aux n"^ 4, etc.

» = 7 Z A —; sin h B cos — ;

d'où pour déterminer la fonction Z de ;:, celte équation

à intégrer de manière que et qu'on ait enfin

bien que l'équation (oj puisse être amenée en faisant -='(,- à la forme

plus simple T71 = 10 »<^ C-Z, et être même réduite, en faisant ensuite

tX«

elle ne peut être intégrée qu'en série. On pourrait par exemple se servir, à cet effet, d'un procédé proposé par M. Liouville, en 1858, dans un mémoire n paraissant avoir remplacé celui que, l'année précédente, il avait préparé en commun avec Sturm ('*] ; procédé que Sturrn a indiqué aussi à la 4S«(n'' 614) des leçons de son Cours d'aaalijse publié en 1839. Mais on obtient une série plus convergente par une application simple des coefficients indéterminés, qui étend à cette équation linéaire (rj du quatrième ordre, pour obtenir du même coup les quatre intégrales particulières dont on a besoin, le procédé employé par Euler pour les deux qu'exigeait l'intégration de l'équation du second ordre -r^^ -f- gx'"?/=: (j {***). La valeur de Z

(') « Sur la théorie des équations tlilTérentielies linéaires, etc. y> Journal de Mathématiques, tome III. Mémoire qui a servi de texte à des leçons faites au collège de France.

(*') Il n'en a paru qu'un extrait, au lonie II du même journal, 1857, ou au tome IV des Comptes rendus de l'Académie, 8 niui 1857, p. 675, sous ce titre : « Sur le développement des lonctions eu séries dont les différents termes sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle, etc. »

("") Calcul différentiel et int. de Lacroix, n° 061,

594 CHAr. IV. — xNOTEDU § Gl. — IMPULSION TRANSVERSALE.

ayant été tirée aussi del équation (/'g), transformée de K), donne, comme à l'ordinaire (n" 7), si l'on détermine trois de ses coefficients de manière à satisfaire aux trois conditions limites ip^) et si on la substitue dans la quatrième (f/s), donne, dis-je, l'équation propre à fournir toutes les valeurs du paramètre m ["). Qu'il nous suffise, sans donner ici le développement de cette solution, de dire que l'équation en m ainsi obtenue, et naturellement toute développée suivant les puissances de m, est

f, 7 \ Pr 1-' /5 6.8 i\

0 = '"^+ -5ÏÏÎX8+ oTTsT../'^^ '"^ + •••• + d""îô +''"^^

ou

5 P 'Iln^\ 9 P ^ 7 (J "" 189/"" 4 (j '

prouvant qu'on a, en première approximation, pour ^ lort petit, m*=z j^ -;

9 p mais, comme seconde approximation, en mettant ^ -pour m' dans le troisième terme de la parenthèse :

(«s) '"^ — iill p '

En sorte qu'on a 1,=: j^ ,ou 1 H- 7:77: pour le diviseur curredif des valeurs

de première approximation ; ce qui est exactement ce que nous avons trouvé

par remploi du principe des travaux virtuels, ap-pliqué (n° 44) aux quantités de mouvement avant et après l'acte du choc :

50. Deux luis simples donnant, avec une grande approximation, la durée périodique et V amplitude de l'oscillation principale des barres heurtées. — Leur explication et leur généralisation pour un système élastique quelconque.

D'après la formule simple et usuelle du n" M :

\[x.) reproduite] /;,= \J ~ --J-=. on /• = f^( ^^ V --

(') Pciiir résoudre ainsi notre équation 7^ = a;*Z, M. Boussincsq ma indicjuc d'y faire

Z= A ï^ + A .-c"'^'^'4- A,.«""^'- 4- + A „.(■'' ■*'*'", ce qui doiuie pour déterminer tous

les coehicients A comme uiullipies du prciMicr A^ la relation A,, — A„( divisé par (a | G«) (a -|- 6// —\) (a -(- 0« — '2) [a. + •'>/' — .")) ; a Plant un ilrs noudu'cs qui satisfont à ec (0; — 1) (a — 2) (k — 5) =- 0. c'est-à-dire ayant la valcnr 0. ou 1, ou 2, ou Ti. Liela donne de snito, comme on voit, pour Z, les quatre intéffralcs .particuliùies dont la sonnnc, nuiltiplire par quatre constantes dans lesquelles ,\o se fond, fournit l'inléijirale générale désirée^

DEUX LOIS SIMPLES POLIl TOUT SYSTÈME ÉLASTIQUE HEURTÉ. o95

qui nous a donné pour la flèche dynamique /"^ dds résultats sensiblement aussi exacts que la formule transcendante, et, d'après la formule du n" 48 :

[(.1) reproduite] T = 2r. \J ^1 \/ 1 + /^ ^ '

d'accord, à la même approximation, avec celle T =^-1t.^— (ii"^ iO et 40

comparés) donnant le temps périodique de la m.^\\\Q vibration principale ànwi l'amplitude a sensiblement la valeur qui vient d'être écrite pour f^, l'on voit que : Pour même flèche slaliqae f^ qui serait produite par la simple pression du poids Q, et pour même vitesse V de son choc, le carre' du temps de la période de cette vibration, et l'inverse du carré de son amplitude, sont sensible-

p ment proportionnels à l'unité plus le rapport - des poids heurté et heurtant,

multiplié par la moyenne générale k ^ j l^\ —des carrés des rapports

des déplacements statiques des divers points du système heurté, à celui du point qui reçoit le choc.

Ce sont les deux lois simples de la résistance rive des solides dont M. Boussinesq, dans un mémoire des 7 et 14 décembre 1874 {Compte rendu, p. lôii et 1407) déjà ciié, a donné une explication analytique et une généralisation pour tout système élastique P heurté par un corps Q.

Il s'est fondé pour cela sur la considération, déjà indiquée au n*^ 8 de la Note finaledu §28, du potentiel d'élasticité $ pour prouver qu'en substituant,

p dans le calcul du coefficient k du rapport-' les rapports d'équilibre ou

d'état statique rr à ceux qu'on a dans l'état de mouvement pour les défor-

mations produites par la vibration principale ou répondant à la plus grande valeur jn^ du paramétre ni des formules transcendantes, on ne peut com-

mettre que des erreurs de l'ordre de (-j , sans influence si -est petit. Il

montre ensuite que quand le rapport -n'est pas petit, si les expressions

ainsi trouvées soit pour m^* et par conséquent T-, soit pour f-, sont affectées d'une certaine erreur à leur numérateur, elles le sont d'une erreur de même sens au dénominateur; ce qui explique comment nous avons pu trouver que les formules simples, ainsi construites, continuent de donner des

P résultats pratiques presque exacts, même quand - excède beaucoup l'unité.

51. Suite de remploi de la méthode élémentaire de deuxième approcimation. Application à un cas d'impulsion graduée combinant son effet avec celui d une impulsion brusque. — Ce cas est celui des W^ 25 et 55, d'une barre horizontale appuyée aux deux bouts et heurtée verticalement au milieu par un coips

nOG CHAP. IV. — >OTK l)i; § 01. — impulsion ÏHAISSVtRSALE.

qui continue ensuite d'agir sur elle après le choc par l'impulsion graduée

et tranquille de son poids Q déjà uni à la barre.

Pour avoir, à ce degré d'approximation (qui ne donne, avons-nous dit, que

la vibr.ition principale), la suite des valeurs du déplacement {ii)~^a=^'t(a ^^

point milieu [en abstrayant, encore pour simplifier, ce qui vient du poids

propre de la barre, et qui, pour z = a, est donné par le premier terme

de (p,^) ituge Soi], Jious n'avons qu'à poser, comme au n» 48, une équation

q' de. quantités de travail de la réaction élastique — jr, u^^, et des inerties de

la masse heurtante - ainsi que des éléments — de la barre, en y joignant, 9 9

ici, le travail Q -^dt du poids Q. Cela se réduit à mettre, au second

membre de l'équation [ij^) de ce n" 48, Q au lieu de zéro; cette même équation en écrivant, dans son second terme, le rapport de Q à la flèche

statique /g au lieu de^ auquel il équivaut, devient, après avoir divisé tout

par - ,

Une première intégrale s'en obtient, après avoir multiplié par c)n^^, en déterminant la constante de manière que pour i:=0, temps de la fin de l'acte

iii V du choc et du commencement de son efiet, on ait -^ = V, = r,; et

l'on obtient ensuite, pour seconde intégrale, la constante étant prise telle qu'on ait «^ = 0 pour ^ = 0,

Si le corps, d'un poids Q, a été posé sans vitesse, on a V = 0, /jj=0,ct celte formule du déplacement vibratoire se réduit à son second terme, dont le maximum a lieu pour le cosinus = — 1, ce qui donne l'expression

de la flèche de mise en charge, double de la flèche statique ou de repos, obtenue autrement au n" 55. Et l'on trouvera (connue on a fait à ce même n") en égalant à zéro la dérivée, par rapport au temps t, de l'expression [ti^), que son maximum, ou la flèche complète f^ de flexion, est

FLÈCHE TOTALE DFE A DEUX IMPULSIONS, l'uNE RlîUSQUE, l'aUTEIR (.nADUÉE. .^07

Cette expression {v^) peut d'ailleurs être obtenue directement et sans intégration d'équation diflérentielle si, sans s'occuper des oscillations, on pose l'équation des forces vives et du travail depuis l'instant où les vitesses du corps heurtant et de l'élément dV sont ^\ et r,, jusqu'à l'instant où ces vitesses s'annulent, et où le fléplacement du point heurté a acquis sa plus grande valeur f^, car cette équation est

qui devient, en remplaçant le second terme par P -J. j (tt' j -p-:=/iP L.

et, ensuite, dans les deux premiers termes, Y; par sa valeur I i j/. P I »

(J puis divisant tout par ^'

équation du second degré en Z'^, qui, résolue, donne bien l'expression (i-g), de même forme, avons-nous dit à la fui du n» 25, que celle qui a été donnée par Poncelet pour l'allongement d'une barre verticale de faible masse, sous l'action du choc et ensuite de la pesanteur d'un corps qui l'a heurtée longitudiiialemcnt (*).

52. Flexion et réaistance iViine poutre horizontale sous l'action d'une CHARGE EN MOUVEMENT {comme problème d'impulsion graduée ne pouvant être résolu que par des méthodes d'approximation). — Équations générales du problème. — Première approximation où, les inerties sont négligées. — Autre approximation oii l'on compte l'inertie de la charge mobile en négligeant celle de la poutre ainsi que les effets du poids de ses parties. — Ce problème a beaucoup occupé les savants, les ingénieurs et les expérimentateurs depuis

(*) On peut même teiiii^ compte ici du travail de l'abaissement des poids des éléments de la barre. L'abaissement d'un élément d\> aura été celui f^ du point heurté multiplié par le

rapport que nous avons appelé ^i supposé être sensiblement le même (jue pour les flexions

statique? dues à une pression au milieu. Le travail total dû à ses abaissements sera donc

I f/[> ^i /■ = P/" r — — -• Il faut l'ajouter au premier membre de l'équation (arg), ce qui

est la même chose que remplacer son troisième terme Q/"^ par | Q + I' I -^ ~)'^t- l'evenant

à I 0 + - P ) /"t. quand on a -'-! = ^ - — j^ ^ comme dans le présent problème.