CHAP. IV. — NOTE DU § 61 . — DIPUI.SION TRANSVERSALE
le commencement des travaux de la commission anglaise sur les fers, de 1846 0.
Les équations générales complètes, posées pour la première fois par M. Phillips en 1855 (**)> sont les suivantes. Soient
2a la longueur d'une poutre horizontale AAj que nous supposerons appuyée aux deux extrèmiiés A, Aj;
P son poids, y compris celui de sa charge permanente et uniformément réjiarlif ;
Q celui d'une charge, telle qu'une locomotive, réduite à un point, qui la parcourt de A en Aj, avec une vitesse conslnnte V, estimée horizontalement;
x^\t et 2a — x = '2a — \t les distances où la charge Q se trouve être de A et de Aj à l'époque marquée par le temps t;
z et 2i les abscisses de points des deux parties de longueurs x et 2o — x, mesurées à partir de A et de A,, par conséquent comptées en deux sens opposés;
u et Mj les dépressions ou les déplacements verticaux, au temps t, de ces points ;
u' et u\, leurs valeurs statiques ci-après ;
y=^{ii)^^ le déplacement vertical du point où se trouve la charge Q au
temps t; f~fi la flèche statique (i<),^^ = («,). ^^ qu'on a au repos quand la
charge Q est au milieu.
D'après les n"' 2 et 3 ci-dessus, où l'on doit prendre l'équation générale d'équilibre dynamique {d) p. 495 avec El constant, g = f/ (comme au n° 25), et les conditions de limite et de raccordement (e), (/"), [g], les équations devant fournir u, u^ seront les suivantes [z-^, {a^, (b^).
Dans celles [Zg), nous avons pu, au heu de ëy— , -j^, écrire V- 7—-^, ^ Y~i*
en remplaçant simplement dt par y*
Mais, dans la dernière des (b^) tirée de (g) du n° 5 et exprimant l'équilibre, à tout instant, entre les réactions élastiques transversales à l'endroit où porte la charge mobile, et son inertie jointe ici à son poids propre Q, cette
inertie a pour expression jrA {^')z=yt ^' ^^ désigne une différentielle
complète du déplacement vertical du poids Q, tant en raison de ce que le point de la poutre où il portait au commencement de dt s'est affaissé, que parce que ce poids porte, à la On de dt, sur un autre point, éloigné de \dt
(*) RnpoH of thc Commissioners appointr.d In inquire inlo Ihc appHcation ofiron lo Bailwaii-Struclurcs, F,ondoii 4849. Voir appendice B, notes des pages 188 et suivantes et surtout p. 107 : « Tiieoreticnl inquisition ol Trnjeclory ».
(") « Calcul de la résistance des poutres droites telles que les ponis, etc., sous l'action d'une charge en mouvement ». Annnfes des Mines, tome VII, 1855.
ACTION d'une CH.VRr.I-; VOVAGEUSK. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES. 590
du premier; en sorte qu'on a, les 6^' caractérisant les différentielles partielles,
<lu ehl Du o'Z ou Pu j
dF~W^ Izft ^" [pzft ^ W7'
dx expression qui, en remplaçant dt par -^ donne bien le trinôme entre parenthèses, multiplié par V% du second membre de la dernière condition de raccordement {hg). On a ainsi, les iudices désignant des valeurs particulières
de z^ z^,
FI— — — — — — — —— FF^— — — — — I! £!!fi-
(tu)
l/2a— .-c \ ■^ y :i \ 'i J In — x
Vu les conditions (èg) de raccordement en des points variables avec le temps, le problème parait n'être pas résoluble exactement de manière à obtenir les parties vibraloires des déplacements ii, u^ et à satisfaire à des conditions initiales données quelconques.
Mais on peut, par divers procédés, obtenir approximativement les siluations moyennes autour desquelles les points font d'imperceptibles oscillations que l'on abstrait dans les calculs, sauf à arbitrer ensuite, faute de mieux, leur part d'influence dans la pratique quand il s'agit de calculer les résistances.
La première approximation est celle qui donne les valeurs u', u\ de ji, î/, répondant à une marche infiniment lente de la charge. On les obtient en effaçant des deux équations différentielles (zg) et de la dernière condition [b^)
les termes affectés de V^ provenant des ^— ■ , et exprimant les inerties ou forces
centrifuges des éléments de la poutre et de la charge mobile Q. Une première double intégration en i, z^, en déterminant les quatre constantes de manière à satisfaire aux deux dernières (r/g) ainsi qu'aux deux dernières [b^], fournit, ainsi qu'il est aisé de le vérifier :
Pi' M 2« El
COO CHAP. IV, — >üTE DU § Gl. DirULSIO.N TRANSVERSALE.
Et il convient de remarquer qu'on peut aussi établir directement ces deux formules; car les réactions de bas en baut des deux appuis A et A, calculées en posant l'équilibre de rotation du système autour de A, et autour de A sont :
et si l'on pose ensuite ces équations d'équilibre, successivement autour des centres des sections d'abscisses ;; et z^, des actions élastiques dont les premiers membres des (c^) expriment les moments, avec ces deux réactions (c'g)
Vz ?z dont les bras de levier sont z, z,, et avec les poids ^, 7.^' des portions de
^ ^2a 'za '^
poutre entre ces centres et les appuis A, A^; ces poids agissant en sens opposés avec des bras de levier moyens qui sont égaux aux moitiés ^' ^ des
longueurs de ces parties, l'on obtient bien, sans intégration, et d'une manière élémentaire connue, ces formules [0^] donnant, dans l'état statique, les valeurs des moments dits fléchixscnits aux deux points de la poutre dont les abscisses sont c- et z^.
En faisant une seconde double intégration et déterminant les constantes de manière à satisfaire aux quatre conditions non encore employées, savoir les deux premières tant de {a^) que de (bg\ , on a les formules suivantes, ainsi qu'il est encore facile de le vérifier par substitution dans toutes les équations du problème, momentanément débarrassées des termes dynamiques ou affectés de V- :
, „ 2rt — a; ,,, „^ ., ^^ SaH — iaz'^ + z*
lL>r/EI '' ' ' ' ' 48aEI
dont la seconde redonne la première si l'on y met 2a — x pour ,r et z pour z^ ; et qui, l'une et l'autre, donnent, pour la flèche statique centrale f\, l'expression connue
M. le professeur Willis, de l'université de Cambridge, membre de la commission citée, de 1840, le premier qui se soit occupé de la (|uestiün ac^tuelle, ayant, pour simplifier, abstrait le poids de la poutre, a écrit tout d'abord, en le tirant des Leçons de Navier (édition de 1855, fin du n" ô.VJ) pour le déplacement statique du point où la charge Q est posée, l'expression suivante, idenliiiue avec celle {d^} de ii' (piand on y fait.r= ;et P=:0,
(h) y = ^^,2a.r xr-,
ClIAIiOE VOYAGEUSE. — l'UEMIÈHES APPUOSIMATIONS, GOl
coiriiîie donnant l'équation de la Irajecloirc que cette charge parcourrait avec une vitesse infiniment petite; puis il a observé que pour tenir compte d'une
vitesse finie V, il faut, au poids 0 de la charge, ajouter son inertie — ~ 777
ou, ce qui revient au même, la force centrifuge — Q — t4 qu'engendre son • ° g (Lc-
mouvement sur cette trajectoire dont le rayon de courbure est — y^; et
il en a conclu qu'on aura une deuxième approximation des valeurs de ij eu X si l'on résout l'équation différentielle suivante dans le troisième membre de laquelle /"^ est la (lèche centrale (ej quand P est négligé :
M. Stokes, son ami, associé du collège de Pembroke, aujourd'hui correspondant de l'Institut de France, fît, en 1849, de la discussion de cette équation diifèientielle, la matière d'un mémoire (*) où il lui donne d'abord la forme plus simple
ih) ?r -r4 = 1 en faisant x = --, y = -^
en sorte qu'elle se trouve n'être affectée que d'une seule conslanle :
ih)
ß 5(/Ei ga
M. Stokes résolut numériquement cette équation de plusieurs manières selon la grandeur du nombre -; d'abord par des séries, puis par une inté-
grale exacte en termes finis dont il aperçut qu'elle était suseeptiljle, et il
dressa, des résultats, deux tableaux (tables V et Vl du Report, i>. 199-200) où
- reçut successivement les valeurs -r-, 4, 2, r, puis ^, ^, -» r-r et enfin -iri fi ■ ■ 5 5 0 9 0 IJ Iv
et M. Willis en tira neuf épures de la trajectoire de la charge. Nous avons dû mentionner ici ce grand travail, afin de faire remarquer que le défaut prononcé de symétrie des courbes par rapport à leur ordonnée à égale distance
des deux appuis n'a lieu que pour des valeurs de - plus grandes que j^ et
par conséquent hors de toute application aux poutres des ponts, vu que le
rapport ^ de lein- fièche statique centrale à leur longueur ne varie guère
qu entre ^^jt; et ökt (**) en sorte que - est toujours ])ien plus petit que —
('} Lu à la Société de Cambridge, le 2 mai 1849.
('■) Même Repoif. appendice B. note de la p. 197, etc. Eridnice Deflection of'f/irders, |i.2(i7.
602 CHAP. IV. — NOTE DU 8 61. — l.MPULSIO>' TRANSVERSALE.
et même que ^ dans la pratique.
L'approximation des ordonnées y (ou u pour z = x) de la trajectoire, qu'il est ici question d'avoir en abstrayant le poids et l'inertie de la poutre, peut s'obtenir au même degré sous une forme générale et simple, sans intégration, par une mélliodebien connue de substitutions successives qui, ici, consistera
d~ii à mettre à la place de -p, dans l'équation ((/g), sa valeur déduite de la diffé-
rentiation de (/j). Cette différentiation donne
/ • \ ^ " il-y C>V- , . „ , , ,, „. 1 (j«.r — '■lu- — 5.1--
" (j ex- ^oqEl^ ' ß a-
d'où
^ •^' -' brtLt \ [i a- ]
qui donne une courbe symétrique par rapport à l'ordonnée du milieu, car en y faisant a; = a + ^', l'abscisse nouvelle x' ne s'y trouve plus qu'au carré. Le premier des deux facteurs de (A,,) a sa plus grande valeur pour ^ = a ; il en est de même du second. On a donc pour f^ , en appelant ainsi la plus grande flèche dynamique produite par le passage de la charge roulante
On pourrait obtenir, en apparence, des approximations plus grandes en mettant pour — dans (f/j) sa valeur tirée de l'expression (Jg) de î/, plus approchée que celle (/g); et en mettant ensuite pour-r^, dans (f/g), sa valeur
tirée de la nouvelle expression de y ainsi construite, et ainsi de suite. 11 en résulterait pour yy une série ordonnée suivant les puissances de (x — x-)et par conséquent de (2a,r — .r-) - donnant toujours des valeurs de y symétriquement distribuées ; d'où, comme l'a trouvé M. Stokes, en faisant
ß-- ß-i ' [ir. ß4 ' ß.
Mais outre qu'une pareille série devient toujours divergente à partir d'un
certain terme, rien ne dit qu'en bornant même la parenthèse aux trois
12 5 termes \ -\ h .^^ où la divergence ne se fait jamais sentir, l'on aurait
une plus grande approximation quen se le.nanl aux deux premiers 1 + r«
CH
ARGE VOYAG., SOL. OU ON NÉGLIGE LE POIDS ET l'iNEKTIE DE LA TOUTRE. 605
En effet, d'après l'expression (/g) qni définit -, son carré est affecté de ce-
/•' lui Li du rapport de la flèche à la longueur de la demi-poutre, carre qui
dépend de ceux des proportions des dilatations des fibres, c'est-à-dire de
carrés sur la suppression desquels sont fondés la linéarité supposée de tontes
les formules de la Ihéorie de l'élasticité, et le calcul des effets composés au
moyen de l'addition pure et simple des effets composants. La plus grande
approximation espérée ici en ajoutant les puissances de - serait donc illu-
soire et pourrait même, éventuellement, être trompeuse, ou aussi bien capable d'augmenter les petites erreurs que de les atténuer.
Aussi M. Stokes lui-même, à la fin de l'Addition faite à son mémoire de 1849 par suite des documents à lui fournis par M. Willis sur la petitesse de
— , reconnaît que, dans les cas de la -pratique, la série peut être réduite a
Ce qu'il y a d'essentiel est de connaître le plus grand moment fléchissant
= — El -^-^ dont dépend la plus grande courbure — j— ^ des fibres, et, par
suite, la plus grande dilatation de celles qui sont le plus tendues, et le plus grand danger qu'elles ne rompent ou s'énervent. Appelons
M el M
les grandeurs de ce moment dans l'état statique, où la charge n'a qu'une marche extrêmement lente, et dans l'état dynamique où elle parcourt les poutres avec une vitesse notable V. Comme, dans le premier cas, la flexion de la poutre (toujours si son poids est abstrait ainsi qu'on fait provisoirement ici) entre le premier appui et le lieu du poids Q, dépend de la réaction
Q — -. — - de cet appui ; et, comme le plus grand bras de levier de cette
force est r, on a
Pour avoir le même moment dans l'état dynamique, il suffit d'augmenter le poids roulant Q de son inertie ou force centrifuge, c'est-à-dire de le remplacer par Q ( 1 -T-^ 1 ; ce qui donne, en mettant (/g) pour le second
terme entre parenthèses :
2û — X /, , 1 6ax — 2a"- — 5a-
