CHAP. IV. >OTE DU § 01. — I.MI'I I.SION TRANSVERSALE

dont la plus grande valeur a lieu, comme pour (ky) ou la flèche, au point x = a, d'où

Max. M^=:(Max.jg(^l + i)

Il y a ainsi (toujours en négligeant le poids de la poutre), le même rapport 1 à 4 H- - entre les plus grands moments fléchissants dynamique et statique qu'entre la flèche dynamique et la flèche statique de flexion (*).

55. Solution du même problème de la charge roulante ou voyageuse, en tenant compte de lapesanteur et de Vinertie de la poutre ainsi t/ue de la charqe fixe qu elle supporte sur toute sa longueur. — C'est à M. Phillips qu'on doit la prise en considération analytique de ces deux éléments essentiels.

Pour y arriver, il cherche à satisfaire aux équations posées complètes

[z^], (flg), (ftg) en égalant leurs deux inconnues r« et Uy à des séries indéfinies

où les puissances entières des ahscisses z, z^ ont, pour coefficients, des

fonctions indéterminées du temps t ou de Vf =:.r' facilement réductibles à

quatre d'entre elles, et il développe à leur tour celles-ci suivant les puis-

sauces de la constante, toujours petite. - — rrr , qui affecte les -77-- dans les

laghi cJt^

équations (2^), ou plutôt [comme on voit plus loin à ses formules (60) à (60)] suivant les puissances du produit de cette constante par QV-a-. Cela lui permet de faire dépendre les coefficients, fonctions du temps, d'un seul d'entre eux (appelé h^ dépendant lui-même d'une équation simplement différentielle du second ordre. Il en obtient, par approximations successives, une intégrale : et le résultat de cette œuvre de sagacité et de persé-

(*) Il convient d'avertir d'une erreur qu'on peut être porté à commettre et qui donnerait

\ entre Mj, et M^ un l'apport moindre que 1 + -• Elle consiste, dans l'évaluation de la force

centril'upe qu'il faut ajouter au poids Q, à prendre pour le rayon de courbure p dans son

expression - —, celui, de la poiUrc fléchie. L'inverse -de ce rayon, pour x =: a est dcter-

miné par — = le moment - r? de la réaction ^ d'un des deux appuis, s'exercant avec un bras de levier n ; d'où, pour la force centrifuge, si on l'évalue ainsi,

.7 p ^ iVyEI " 4 p ce qui donnerait —2 ^14- --au lieu de! -l

Cette erreur se trouve à l'article L)/Z?/r«tr /tu mouvniienl sur lurluirr/e. des « Leçons de mécanique pratique» (Résisfntice des vuilcridiix, n° fi.M) de la 2» édilioi: 185, et n" 451 {\q la 3% 18(12) de Morin qui, voulant en faire l'évaluation d'ime manière tout à fait élémentaire, a supposé que la charge roulante parcourait la poutre ayant la forme que lui ferait prendre cette même charge po^éo au milieu, tandis que, parle fait, celte forme changea cha(|iie instant et (pie la charge parcourt la trajectoire dont la forme est donnée en priMuière approximation par l'équation (/'g) de M. Willis, que l'auteur des Leçons citées voulait se dispenser d'élabiii-.

CHARGE VOYAGEUSE. MISE EiV COMPTE, SIMPLEMENT, DE TOUTES LES INERTIES, G05

vérante hardiesse est d'arriver, après des calculs étendus, à des expressions

des deux inconnues u, Ui se composant chacune de sa partie statique, celle

que nous avons appelée {d^} u' ou u\, et de parties dynamiques affectées

4 20aVprécisément delà constante {ig) --= ^^ de M. Stokes. Même, vu la peli-

tesse de cette constante dans toutes les applications, M. Phillips ne conserve que les termes où elle entre à la première puissance.

D'après cela, il est évident qu'on peut simplifier beaucoup la solution de M. Phillips en faisant porter, sur les inconnues u, u^ elles-mêmes, la méthode d'approximations par substitutions qu'il a employée pour obtenir un des coefficients (celui h^) des séries, c'est-à-dire en posant de prime abord comme dans d'autres problèmes ci-dessus (n'^^ 25 et suivants) u=^u' -f- U, «j = M/H-li', u' et u\ étant les parties statiques déjà calculées {(1^) qui offrent une première approximation ou la portion la plus grande de u ou u^ ; et, dans cette recherche d'une deuxième approximation, négliger ce qui sera de l'ordre de grandeur des carrés des parties dynamiques U, Uj,saufà passer de la même manière à une troisième si l'on s'aperçoit que ce que l'on a négligé ainsi était notable. Il est évident aussi que, dans Cette substitution des binômes, il est loisible d'affecter les seconds termes U, Vi de tel coefficient numérique qu'on veut, fonction des données, si l'on voit qu'il en puisse résulter des simplifications dans les caiculs ultérieurs. Ce coefficient devra naturellement contenir V- et Q d'où dépend la partie dynamique, et il est

facile de voir que le nombre - qui s'est présenté dans les premières et inconi-

r piétés tentatives de solution (n" précédent) sera, pour ce coefficient tout facultatif, un choix convenable.

Posons donc

Ü et U| étant des fonctions de z, z^ ainsi que du temps t ou dex = \t^ fonctions à déterminer de telle manière que les binômes ijjg) mis pour u et ii^ satisfassent à toutes les équations du problème, à ce degré d'approximation dont nous parlons.

Comme les (r/g) u', u\ ont été tirées de toutes les équations (:^g), [a^), {h^ moins les termes en V- affectant les seconds membres non nuls, tout ce qui proviendra de w' et de u\ dans celte substitution disparaîtra des premiers

membres, où il ne restera ainsi que des termes en U, \]^ affectés de-; et les

trois seconds membres seront ce qu'ils sont dans les deux [z-^] et dans la deuxième [bg], excepté qu'au lieu de u, u^, il y aura u', ii\ puisque, connue on vient de dire, l'on néglige, dans les termes dynamiques ou affectés de V^ que ces trois membres constituent, les parties dynamiques de u, u^,

qu'expriment- U, - Ui. Cela reviendra, comme on peut voir, à supprimer

606 CIÎAP. IV. NOTE DU 8 61. DIPULSION TRANSVERSALE.

les (-] quand on aura remplacé

PVi 1 .'■■ QV-^ 1 5

Toutes les équations ayant alors été divisées par-, les trois seconds membres dont nous parlons seront respectivement :