CM

Mettant, dans ces mêmes membres, potn^ //', u\ leurs expressions trouvées (rfg), puis, faisant z =.r dans celle {h^. on a, pour déterminer les nouvelles inconnues Ü, U,, les équations :

Les deux (ry^), intégrées deux fois, donnent, C et Ci étant deux constantes, ou plutôt deux fonctions de x-=^ \t,

^•'U 5P C-la — x) /;- \ f9--H, 3P.r /z^ ^^U 5P(2rt — .r) /;■• \ ^i'-^U, 5Px-/ä'

^«^^ «rt'El

A' \ ^^-U, 5Px- /z; \

En substituant ces dernières dérivées, spécialisées pour 2 = ^, 3,= 2« — ,;;, dans la troisième condition de raccordement (Sg), et en substituant les deux premières dans celles (^J,on obtient, après réduction, les deux équations

(•ni) ^ + G — ^"^ ^ "' + c, , (2« —.r)C-\-xC^——'-2ax{'-2a—x)-h ^(Crt.c- ôx^ — 'la-jt

d'où l'on tire facilement C, C,.

Nous pourrions aller plus loin et tirer des [Vg), par deux nouvelles inlé^

grations,— .■^, puis, finalement, U, U, en déterminant les nouvelles constantes au moyen des deux premières équations de condition, tant de (/-g) que de (sj. ()]i obtiendrait ainsi sans difficulté les déplaoemenls (/>;,) it, //,»

CIIAUGE VOYAGEUSE. RÉSULTAT COMPLET. TEHME DU A l'lNERTIE DE LA POUTRE. 607

OU les équations, pour toul instant t-^'^., des deux parties de la poutre fléchie, ainsi que celle y= (w).^ ^= (Wj). ,^j. de la trajectoire de la charge

raoliile.

Mais les formes de ces courhes ont peu d'intérêt ; et ce qu'il importe de connaître, comme l'observe M. Phillips, c'est la plus grande valeur du moment fléchissant dynamique

11 suffit de l'avoir pour la première partie de la poutre, car celui qui serait relatif à la seconde paitie s'en déduirait en changeant ^en 2a — x, et il ne sera même pas nécessaire de le considérer, comme on va voir. Ce moment — El -y-, s'obtiendra simplement en ajoutant sa partie statique (Cg),

qui donne — El -r^, à la première expression (t'j) de -, - multipliée par — El. 11 en résulte :

,, t^,^-n 0 ''2(1 — .r / . [ 6ax — 5a* — 2«- M = — hl-7r-=z — z 1 ■

l'ia — :; 1 2« — .r 10a. j- — 4.c- — z-

Les parties de cette expression où :; affecte 0, qui n'est lui même affecté que d'une fonction de x, ont leur maximum lorsque ^ a sa plus grande va-

leur qui est x. Alors la partie principale affectée de Q est ;^— ^ — dont

le maximum a lieu pour./- = a. Ue même la partie principale affectée de P,

p-(2a — 2) qui est- -^ -^ a son maximum pour z = a. Comme les autres parties,

affectées de -, leur sont toujours très inférieures, on ne changerait que très

peu, en y ayant égard, les valeurs de x et de z, convenant au maximum de l'ensemble, et cela n'aurait qu'une influence du second ordre de petitesse, ou insensible, sur la valeur du maximum lui-même. On peut donc (comme a fait M. Pliillips) faire z = x =:= a, ou prendre

OÙ l'on a

5f/hl

Et l'on peut s'y tenir sans passer à une approximation ultérieure, possible de la même manière, comme on a dit, en calculant par deux intégrations des (Dj,) les valeurs de ii, iii auxquelles on ajouterait de nouvelles parties

608 CHAI'. iV. — .NOTE DU § 61. — IMl'l LSIO.N 'luAiNSVERSALK.

dynamiques- Ü,, -^'- dùtoriiiinables comme on vient de le laire pour U, LV

Ce calcul compliqué n'ajouterait en effet que des termes en i-j ne donnant

qu'un surcroît illusoire d'approximation comiue nous avons dit au numéro précédent après avoir posé la série (/g).

L'expression trouvée (29) diffère par son second terme de celle que M. Phillips adopte dans son chapitre III intitulé Conséquences pratiques, car il ne met, pour ce second terme, que

Cette différence vient de ce que, dans la vue de simpliîler des résultats dont la forme est fort complexe, il a supprimé plusieurs termes des expressions trouvées pour les déplacements, sans s'apercevoir que deux d'entre

\ eux étaient du même ordre de grandeur que ceux en - qu'il conserve (*).

(') Ainsi, dans le mémoire de M. Phillips où y, x. Si, l, M sont respeclivemenl ce qne

nous appelons u, z, x, 2a, El, l'expression (64), page 25, du déplacement y, a pour ses trois

premiers termes

(..) („+,j.,+ (^/. + ,/j...^-^__.Sou- = — ^OU==^;^^^j.

et OÙ a, h, c, d sont quatre fonctions du ti-mps t. en sorte qu'on a

<^' ■'"=;^=-f ('--)• "=-SW('--)(--)-

Or l'auteur, dans le chapitre III, Coiisc(ßiciicc.< praliqucs, no conserve (form. 71, p. 54), au

lieu de (a) que

(y) ax + bx^

en supprimant ainsi tout ce qui est affecté de la quantité — . ce qui réduit la partie de la

courbure — ttÀ provenant de ces termes de («), à <ûx^

Il manque, conséiiuummcnt, à l'expression de cette courbure de la poutre, vu — = ^q .

une partie

Or, cette partie ainsi soustraite n'est nullement négli^^eable ; car quand on la spécilie comme fait M. Phillips et connne nous faisons aussi, pour x = \l = -^ , ou pour l'abscisse du milieu de la poulre, afin d'en avoir le maximum, on a, vu les valeurs (ß) (pii viennent d èlre données pour <l et pour „ ^ >

— . -^77— = avec nos notations -rrr, • zrr,» ou ß = -., ..■ • C'est précisément ce qu'il faut ajouter à la seconde parenthèse de l'expression (7ö) do la conr-

jjm-c — ■' dans le mémoire de M. Phillips, page 55, ou ce (lu'il faut ajouter, en nuiliipliant

dx'^ par Ll, à rcxi)ressiün [z'^) que nous venons d'écrire pour (prelle soit d'accord avec notre

i'-u expression complète (^9) du maximum du moment (léclnstant — LI y.y

MÊME SOLUTION COMPLÈTE, ODTEM'E PAU l NE MÉIHODE KLÉMENTAIRK. 600

La solution de .M. ['hillip.s, où il est facile de voir que les coefficients indéteriTiinés appelés «,, />,, c,, d^ remplacent nos constantes d'intégration, est donc complète dans les limites de l'approximation qu'elle comporte et qui suffit ; mais ce qu'il en a tiré dan? son dernier chapitre a besoin d'être rectifié parla restitution de termes qu'une préoccupation de simplification l'a porté à effacer.

54. Slêine solution complète du problème de la charge roulante, obtenue aussi exactement par une méthode élémentaire, sans position et intégration d'équations différentielles. — La méthode en question, dont j'ai ou l'occasion de communiquerle résultat à M. Phillips dans une lettre du 12.") janvier 1875, est 1res propre à mettre en évidence la raison de la différence qu'offre l'expression (s'g) avec ce qui y répond dans la nôtre {z^), et à montrer qu'elle tient précisément à la mise en compte, dans celle-ci, de l'inertie des éléments de la poutre qui se trouve omise dans celle-là. L'idée de cette méthode est venue aussi à M. Bresse qui, sous le nom de « théorie simp'ifiée », l'a exposée le premier, et d'une manière très claire, au n*' 57 de l'édition de 188U de son Cours; mais, en abstrayant, comme il le dit lui-même (p. 159, note) <( les forces d'inertie de la poutre », en sorte que son emploi semble exiger,

conlinue-t-il, « que le rapport --soit petit ». Cette restriction n'a plus de

raison d'être en tenant compte de Telement en question (l'inertie de la poutre), ce à quoi se prête sans difficulté, comme on va voir, la méthode ou tîiéorie fort simple dont il s'agit.

On peut, en en faisant usage, obtenir les déplacements u, u^, ou les flèches, etc., tout comme avec l'autre méthode. Bornons nous à en tirer les

Cl} r 2

valeurs des moments fléchissants — El ,— ;, — El - — !•*

Soit toujours M^. et soient M', M" les valeurs qu'aurait le premier de ces deux moments sous les actions respectives 1° des efforts statiques, 'l" de l'inertie ou force centrifuge de la charge roulante -^, 3° de l'inertie des éléments des deux parties de la poutre. Le moment dynamique total sera, par superposition, \ = M^ - M' + M".

Or l'' M n'est aulre chose que l'expression [c^) — EI-^— du n° 32, sus-

ceptible, avons-nous dit, d'être posée directement et sans intégration, vu

que le second membre est la somme des moments, autour du centre de la

section d'abscisses, de la réaction Q — ^^ — ^ -f - du premier appui et du

ppoids — ;y- de la partie de poutre entre l'appui et ce centre agissant avec

un bras de levier moyen J^- Donc (page 599),

(>|0 ClIAP. IV. — NOTK DU ß 01. — IMPULSION TfiANSVERSALK.

2" M' sera ce qu'on a en mettant dans le preniiertenne Q ^^^1 — ^2 de

— El ^,, on [aj an lieu du poids Q, son inertie ou sa force centrifuge. Or,

sans recourir au trinôme différentiel de la dernière condition [bg], on peut

prendre, pour cette force, — ^- ^j^,' tj étant l'ordonnée de la trajectoire

parcourue par la cliar^fe Q. l/êqualion de cette trajectoire, tirée, en première approximation, de l'expression (r/g) de u' page 600, où l'on fait u' = y, :; = ,r, est la suivante (plus complète que celle (/";,) construite par M. Willis ea abstrayant la llexion due au poids do la poutre) :

Tirant 7^ et substituant, on a, eu égard à ce que représente (/g)-, pour la seconde partie du moment,

5» En appelant, pour un instant, ith et i^dzy, les inerties des éléments de longueurs di et dzy des deux parties de la poutre, on a i(/< = — y— -tt;'

t,(]z, = -7 — ^ou Ion peut simplement iaire c ^'= -vr^ puisque les

'■lag ct^ >'

deux dérivées secondes sont celles de déplacements de points ayant les

abscisses fixes 2 et «j; et l'on peut aussi, dans ces expressions qui se trou-

pys 1

veroiit affectées de— rrr et par conséquent de-' remplacer //, //, par leurs

valeui'S (f/g) n\ v\ de première approximation. On aura ainsi

Ces forces verticales, supposées agir seules sur la poutre, détermineront, de la part de son premier et de son second appui, des réactions aussi verticales. L'intensité de la premièie, si on l'appelle ,'R,, s'obtiendra en posant l'équilibre de rotation de la poutre autour de l'appui opposé. Comme les bras de levier de di, ?>/:-, '>/-, sont respectivement iV/, 'la — t-, et ;,, on au l'a

{du:) '

d'où 'Jl=--\^^,^,A'if'-:r){\a~3').

yiÎME SüLUriO.N AI.GKI5H1ÜLE. OARACTÈISES DK SES CI>Q PARTIES. 1511

Posons laainteiiant. coinine nous avons lait pour obtenir directeuienl les moments (Cg) et comme on fuit constamment clans la théorie classique de la flexion des pièces droites, l'égalité du moment, ici iM", des forces élastiques à travers la section d'abscisse z, à la somme des moments, autour de son centre, de la réaction ih ayant le bras de levier s, et de toutes les forces idz', s'exerçant sur les points d'abscisses c-'<^3 avec des bras de levier ;: — ;;'; nous aurons, vu la valeur (<?j„) de idz en y mettant z' pnur .:■, et la valeur f/,„) de ü\,

En ajoutant (ajo) M^, {b^,) M', et (ej,j) M", on retrouve (//g) M^. auquel on était arrivé par des intégrations d'équations.

Les deux premières parties M^ et W ont leur maximum par rapport à ^ pour la plus grande valeur de ^ qui est ,r, et, en mettant ainsi ,r pour z, le maximum en .v de ces deux j;arlies du moment }\^ a lieu pour x = a.

Quant à la troisième partie (cjj M", si, pour avoir son maximum en :ï. on égale à zéro sa différentielle par rapport à cette variable, on trouve

^ = i ' r- ' ]■' qui. substitué, donne M" =^^7-^(2a— ,r) (4a.r — x-]'^. \ o y 0,3 Iba- ' ' '

dont la différentielle égalée à zéro donne A{iax — x^-)l {'5a — x) [a — x) = 0. La seule valeur de x qu'on puisse tirer de celte équation, et qui soit dans

les limites de la longueur de la poutre, est.f= «. d'où z =r"' T ^' Y- =a, donnant à son tour

\ Va

On a. en les réunissant,

et les cinq parties de cette expression, relatives à l'instant ^ = " où la charo-e Q passe au milieu de la poutre, ont ces divers caractères :

Que ^a est le moment statique dû à la charge isolée Q ou à chacune des

reactions -y que lui opposent les appuis ;

yue -j est le moment statique dû au poids de la poutre et de sa charge

612 CHAP. IV. — >ori: du i^ 01. — charge voyageuse.

permanonle, ou l'excès du moiiu'iit ^-ya de la réaction -^ de chaque appui

sur celui - - du nioineut du poids - d'une demi-barre ;

■ Que ^ - est le moment de la partie de l'inertie centrifuge de la charge 0

qui a élé engendrée par l'incurvation de la jioutre sous cette charge isolée;

„ ?a 5 1 QV^ Pf/- . , .• , r- .• j , . ,

Que -r- T- = 77F7 est la partie de I niertie de la même charge rou-

A A p g Hhl ^ °

laute Q qui a été engendrée par l'incurvation due au poids pi'opre P de la

poutre et de sa charge permanente;

Pa 1 1

Enfin, que-;y ^ - est la partie du moment total M^, qui ei^t due à ^inertie

de la poutre et de ses divers éléments rais en mouvement par ses flexions dues au passage de la charge Q.

La formule (/'iJ ou (îg). que contient d'une manière implicite le mémoire de M. Phillips, ne borne donc point son application, comme on parait l'avoir cru jusqu'ici, au cas où le poids P de la poutre avec sa surcharge iîxe est petit par rapport au poids mobile Q. Nulle part, dans notre double calcul, il n'a été fait acception de la grandeur de leur rapport, et nous pensons que cette formule peut s'appliquer jusqu'à des grandeiu's du poids P de la pouti'e sensiblement supérieures à celles du poids mobile Q.

54 {bia). Termes périodiques à ajouter aux expressions algébriques ci-dessus des déplacements et courbures, afin détenir compte, par apjiro .rimât ion, des mouvements vibratoires, et de la condition d'immobilité initiale. — Recherches de M. Stokes. — Il n'a point échappé à M. Phillips, dont nous venons d'exposer l'ingénieuse solution, en en modifiant la forme et en en complétant la conclusion, que quelque chose y manquait, savoir, de satisfaire à la condition de nullité de vitesse de la pouti'e à l'instant initial t = {) ou ,i: = \t = 0, où la charge mobile y ari'ive. C'est ce qu'effectivement l'on ajterçoit, rien qu'en examinant les formules (//g) de j)reaiiére approximation des déplacements des points; foi'mules ne dil'féranl de celles de deuxième

approximation [(w) ci après] que par une addition de term(>s affectés -, qui

ne changent rien à ce qu'on peut conclure de cet examen. A cet instant f = 0, comme l'observe M. Phillips, la seconde partie de la ])outre, celle dont les déplacements sont ?/, (ui u\. comprend la poutre entière : leui' expression qui est la deuxième formule {d^). se réduit bien, connue cela doit être, si l'on y fait x ou t = 0, ä son deuxième terme leprésenlant l'état où était la poutre, flécliie alors par son seul jioids propre; mais en la dilïérentiant après avoir reni])lacé ,r par \t. elle donne

\ot/i = o l'ial'A

MFSE EN COMPTE DES CONUITIO.NS IMTEVLES. 613

tandis qu'on devi-ait avoir cette vitesse =0; en sorte que l'expression (f/,)

même avec les termes qu'y ajouteront les {«>) ci-après , ne donne qu'une

sorte de solution particulière relative à un cas idéal où Ton aurait choisi des

vitesses initiales telles que (a).

Pour obtenir un aperçu du degré de l'influence que peut avoir, sur le

résultat, cette supposition tacite de vitesses initiales (a), M. Phillips calcule

quels déplacements auraient éprouvés, au bout du temps /, les éléments de la

barre appuyée 2a, si, sans supporter aucune charge, elle eût été abandonnée

à elle-même après que des vitesses (a), changées de signe, leur eussent été

imprimées au temps t = 0. Les équations capables de donner ces petits

déplacements que nous appellerons v, sont la deuxième (îg) en ôtant le

P terme — ;^; les quatre {a^), et une dernière, spécifiant la vitesse initiale,

Pa'"

c'est-à-dire, en faisant (comme au n" 4) ;i— jtj-= --, les équations

(It- (W

%r "• (ë),„ = "• - (ji), =„ = '•«^P'-^'^^i«" (')■

Elles sont satisfaites, i désignant tous les nombres entiers positifs, par

i'= > A. T--sin-7— sm-TT-,

si les A . satisfont à

> A.sm-;T- = — -nT-TTT(4a-: — ^'j-

jL^ i '•)n 1 '•'/■; <

2a ~ \2aEl On en tire par le procédé connu d'élimination consistant à multiplier par

,/5sin— et à intégrer tous les termes de 0 à 2a, ce qui donne, dans le pre-

mier membre, seulement A . | (h sin- -^r- = A «,

' 'Jo 2a '

\ = — — i \a' idz sm -r ^-dz sni 5- = — 1 -^rûïï *

'• 12a^EI\ J 2a J 2a J i-U

D'où, en substituant et mettant pour - sa valeur, la série très convergente :

'^»90fl2V /Tfp' / TZ -H i . 2-; . A-H 1 . 3-^ . 9::-^

Oli CHAI'. IV. .NOTE DU j/ (»j.

Cil AUGE VOYAGEUSE.

Ce résultat porte à inférer, bien (ju'indirectement, que la condition initiale omise dans les solutions algébriques ci-dessus serait remplie par une addition de termes périodiques, et même , 1res approximativement, d'un seul, car le premier terme de la série qu'on vient d'écrire l'emporte beaucoup sur les autres affectés de fractions ±- = — ^-r, vt^, — .,.^, On

peut même déjà conclure, comme a fait M. Pbillips, que ces termes additifs seront beaucoup moindres que les termes algébriques principaux; mais rien ne dit qu'ils soient pour cela négligeables, car ils peuvent égaler et même

excéder ceux en - qui évaluent les inerties, et dont nous tenons compte.

Quels seront ces nouveaux termes? Un pareil aperçu ne peut nous en instruire; c'est donc le cas d'exposer une ingénieuse analyse donnée en 18411 par M. Stokes, dans un autre but, qui était d'évaluer approximativement l'influence de l'inertie de la poutre dont il n'apercevait pas, alors, que la mise en compte pouvait s'opérer aussi comme nous venons de faire aux deux numéros précédents; mais analyse où l'état initial est pris en considération, et précisément, au moyen de termes périodiques qui peuvent nous fournir ce dont nous clierchons ici à déterminer une valeur approchée.

« En considérant 0. dit M. Stokes (dans une Deuriemc addition à son Mémoire cité, lu à la Société de Cambridge), « les résultats d'expériences récentes où M. Willis a fait ressortir la notable influence des inerties, j'ai été induit à tenter une solution approchée oh il soil tenu compte de V inertie de la poutre ». négligée jusque-là ; et, continue-t-il, «j'ai trouvé que si on remplace chacune des forces agissant quelque part sur la poutre par une force uniformément distribuée sur toute sa longueur, et d'intensité telle {of such na aniounl) qu'elle produise la même flexion moyenne que celle-ci, ce qui, évidemment, ne peut occasionner une grande erreur matérielle, on obtient, pour déterminer les déplacements, une équation différentielle admettant une intégration en termes finis. »

Pour atteindre, par cet expédient, le but ainsi indiqué, qui n'était donc pas (comme on l'a cru), celui de traiter uniquement un certain cas extrême dont nous parlerons, M. Stokes, considérant que le poids propre P de la poutr(! est déjà uniformément diürihiir. fait provisoirement abstraction des déplacements qui lui sont dus. saufà les ajouter plus tard, et il prend pour inconnue la moyenne générale, à une époque quelconque t.

<"'' '-rj

:\dz

des déplacements verticaux, appelés ici u, cpii sont produits par toutes les autres forces en jeu, savoir : 1° la charge mobile Q, -" son inertie et H" celles des divers éléments de masse de la poutre. Pour arriver à construire une équation où celle inconnue \>- soil cngagécj

SOLUTION DE M. STOKES, roni! RF.Ml'I.FIi LES CONniTlONS IMTIALES. OIT)

M. Slokos commence par détenninei' et comparer ensoml)le. en général. (leur moyennes :

des déplacements quelconques qui seraient produits statiquement aux points d'abscisse :; de notre poutre de longueur 2a, savoir : la première. \x\ par une force F' agissant isolément en un point particulier dont nous appellerons X l'abscisse z; la seconde, p.", par une force F" uniformément distribuée sur toute sa longueur 2«. Si d'abord nous appelons respectivement, pour abi'éger, \]'.\}[ ce qui multiplie (J dans les premières parties des expressions statiques citées {dg) de u[.u\ nous avons (en nous servant de leurs secondes parties pour l'expression de ij").

D'où, en mettant pour U',U' ce qu'ils représentent, effectuant et comparant, l'on déduit ces deux expressions générales, exemptes de toute hypothèse d'approximation, et conséquences exactes des formules (r/„) ainsi que des définitions générales de :j/,!j.",F',F" :

[ , 8a''.r — 4fl.r- + .r'' " = V'' ""' •

) •' 48aEl * '■' i:.El'

don. SI [1 =z\}.', la relation r :=o. r-r~, 1' •

iUa'

Il résulte non moins rigoureusement de l'expression de ij.". que si on appelle F la force uniformément répartie capable de produire dans la poutre des déplacements u ayant (a') jj. pour moyenne, l'on a

M. Stokes l'égale, conformément au principe général de superposition des petits déplacements élastiques produils par des actions simultanées, à la somme des forces verticales qui, si elles étaient aussi réparties d'une manière uniforme, produiraient les mêmes déplacements moyens, respective-

0 rf-v ment : 1" Que le poids 0 plus son inertie — ^ -p appliqués au point d'abscisse X dont nous appelons y le déplacement particul'or u ; 2" Que les inerties — -—(h-— des divers éléments d'abscisses z et de longueur (h, oui

zag al- ^

éprouvent les déplacements u. jusqu'ici inconnus, dus à la fois aux trois espèces de forces spécifiées.

D'après la dernière des trois formules (y), si l'on fait, pour abréger,

,. ^Sa''.r — ia.r^ H- ./•''• ,, ^Sa'z — Aaz''-^-z''

U) o r-—, = Aj et de même O t——, = Z,

fîlofl r.llAP. IV. — NOTK l)V ^ 01. — r.H\Rf;E VOYACF.USE.

il suffira de miilliplior respectivement par X et par Z res forces Q — ' -jp,

et (h — agissant isolément comme faisait V, pour avoir les forces uni-

'ing dt'

formément réparties, capables de produire les mêmes déplacements moyens

que chacune d'elles. On â. en égalant leur somme à la force (o) capable de

produire le même déplacement moyen total qui leur est dû, l'équation

Cette équation est rigoureuse comme les précédentes; mais les déplacements verticaux appelés ii et y aux divers points d'abscisses z et .r sont, nous avons dit, inconnus.

C'est ici que, pour y suppléer avec une certaine approximation regardée

comme pouvant suffire. M. Stokes, conformément à son hypothèse ci-dessus.

remplace ces déplacements par ce qu'ils seraient si la poutre fléchissait sous

15E1 la force totale (o) — ^-jj- uniformément l'épartie sur sa longueur entière 2a.

Cette supposition donne, toujours d'après les deuxièmes parties des formules statiques déjà invoquées (r/g).

,, loEI 8rt"'2 — Aaz^'-^-z'' i v ^ v

d.r Substituant dans (?) et remplaçant df par —, le deuxième terme du second

membre de (ç) devient, vu la valenr (s) de Z, et en effectuant l'intégration :

en sorte que cette équation (c) est, en divisant par P,

15E1 15ü V^ (Py. ..Q,Yl ^'^^'•^^\

M. Stokes remarque qu'elle se simplifie beaucoup et s'intègre facilement dans le cas où ^^ est très petit. Alors, en effet, l'aspect comparatif des deux membres montre que \>. est (ht même ordre dt. petitesse que ce rapport. Le terme en -j-f qui, dans le second, se trouve multiplié par j^, peut donc être effacé comme ne fournissant ainsi ù l'éciualion (|u'un terme très petit

T!:KMES PKRIODIQIES FOIRMS PAU I.A SOLUTION STOKES. (iJ5^

du second ordre. Cette suppression, qui rovient à négUger l'inertie de la charge roulante, réduit l'équation à

(■"•) -7-^, + - = T^-TT-f - , SI on fait ^^ —TTT- = r\

où r est une pclite ligne donnée aussi par

c'est-à-dire que - est la constante (/J des formules ci-dessus; et /'( est. d'après les secondes parties des ((/g), la flèclie statique u ou »1, pour î on Zi = a, due au seul poids P de la poutre et de sa charge permanente.

M. Slokes tire de l'équation (/.), C et C étant deux constantes, l'intégrale

^ ' r r I0LI \ dr- d.r'

qu'il est facile de vérifier par substitution, car X n'étant que du quatrième degré en x, ses dérivées paires sont nulles au-dessus de la quatrième.

Pour déterminer C,C', l'on considère que pour x ^ Y/ = 0 , c'est-à-dire an moment où la charge mobile arrive sur la poutre, la flexion iji est nulle; et elle l'est aussi, ou elle n'est qu'infiniment petite du second ordre, quand la charge n'y a encore parcouru qu'un espace dx infiniment petit du premier ordre. Faisons donc successivement

nous pourrons tirer C et C et les substituer. Enfin, rappelons-nous que toute cette analyse, basée sur une substitution d;ms(:j, aux valeurs incoimues de u

I tFI

et V, de ce qu'elles seraient sous le seul empire de la force j. distribuée

d'une manière uniforme, a été faite sans tenir compte du poids propre P de

la poutre, seule force qui soit distribuée de cette nianière-là. Complétons-la

en ajoutant à \). la flexion moyenne —r-, que ce poids produit d'après la

seconde fy); nous aurons la flexion moyenne totale. En l'appelant Ui, nous obtenons :

Pa'' ^ Va? „8a''.r — hax' -\- x'" ^ Oa? r- ^ax — x-

■' 15EI ■ loEI ^ 48«E1 ' 4EIa^ a'

, Of*T- '''/j -n M -r~\r . x'

~'~Frr '>-7 1— cos- — 1+.)— -sm- OKlL ft rj ^ a- Ja r

où l'on peut mettre partout Y/ pour x.

nirx" niiAT'. IV. — A'OTF. nr ^ 01. — ciivrcf, voYAnErsT:.

On voit que ce sont l)ien les termes multipliés par cos-, sin- qui serrent

à satisfaire aux conditions initiales.

Une fois calculée cette moyenne généiale, |j.,. des déplacements contemporains qui se produisent d'un bout à l'autre de la poutre au temps t = ~,

l'on a. d'après (o), (toujours dans Thypothese faite couune approximation sur la loi de leurs distributions à cbaque instant), la valeur suivante du déplacement individuel n du point quelconque d'abscisse z^ sous l'empire de toutes les forces enjeu, y compris le poids propre P :

„ ^ SaF'z — iaz'^ -+- z'*

2a ^yia) ~^V:>a) J"

Et. en faisant z = x. ?/ = ?/. l'on a pour l'ordonnée ou l'équation appi'orbée de la trajectoire de la charge roulante Q :

.. ^ 8r/'.r — Aa.r' -+- ,r ■ (o) . //=,,X = ,,o- —^ .

En faisant l'épure de cette courbe, qui est simplement algébrique, et du huitième degré lorsque dans li-i on fait r = 0 revenant à V- =: 0. M. Stokes a remarqué qu'elle ne s'éloigne que peu do la courbe du quatrième degré, ayant aussi ses tangentes horizontales aux extrémités, qui représente ecacleinenl, d'après (Q et [d^), la trajectoire poiu' une marche inhuiiuent lente de la charge mobile.

En rétablissant les termes en r. et en écrivant -t au lieu de -, comme

le cosinus et le sinus (|ui rendent périodique une portion des valeurs des déplacements ?/. et qui ondulent la trajectoire de la charge Q, ne changent

pas de valeurs en augmentant t de 2-^^ secondes, l'on a

(.) Période d'oscillation = 2.^=2.^3^^^ (où [1 = ^;

période dont la durée est indépendante, connue l'observe M. Stokes, de la grandeur du {»oids Q de la charge dont le passage provoque les oscillations; et qui est la mêm(> que si Q était= 0, ou que si la poutre, un instant fléchie, était abandonnée ù (>lle-nuMue ou vibrait seule, auquel cas on aurait

-; — I — = 0, résolue par iji:=G cos- + C sm — dx^ r^ r r

11 en résulte, si on nomme n le nonihrr de ijiiarlF. de périade que les oscil-

GÉNÉRALISATION nF, LA SOLUTION DE M. STOKKS. 01,")^/

Intions acoomplissont pendant le temps -rr mis pnr la charge Q à parcourir la poutre :

M. Stokes a calculé (Table A du Report of tlie Convnissionnerii, p. '211) les ordonnées de la trajectoire (o) pour diverses valeurs n=i, 2, â, i, 5, (î,

S, 10, 12, in, 2c , de ce nombre, et pour vingt valeurs du rapport — de

l'abscisse à la longueur totale ; et il en a déduit les épures de ces courbes. Elles composent la figure 2 du Mémoire de Cambridge et la figure B de la planche 10 du Report, où M. Willis a inséré une longue analyse de ce beau Mémoire composé à sa demande. Les courbes )?=:1, 2, ô, 4 ne sont nullement symétriques, on le conçoit, par rapport à l'ordonnée du milieu. La courbe n = :x. ou r=:0, Y- = 0, est celle de la marche infiniment lente de la charge.

M {tel'). Extension de cette anahji^e à des vrdeiirs quelconques du rapport des poids P, Q de la poutre el de la charge roulante. — Bien que M. Slokes

n'ait intégré l'équation ii),que pour le cas de ^ très petit, où elle se léduit

à (■/.), il semble pressentir que toutes ces considérations et conséquences

sont applicables aussi lorsque Q et P ont des valeurs à peu près égales, ce

qui est, comme le dit M. Willis, le cas de presque toutes les applications.

Nous avons aussi cette opinion. Nous pensons même que l'équation de

M. Stokes peut être intégrée aussi simplement et avec à peu prés autant

d'approximation pour toutes les valeurs pratiques de ce rapport de Q à P,

sous une seule condition (conforme encore à toutes les données pratiques et

que M. Stokes parait exiger lui-même pour le cas qu'il traite), à savoir que

1 2QaVla fraction -= . , - soit assez petite pour qu'on puisse négliger tous les

termes où elle entre au carré.

Effectivement, le terme — r^ de l'équation (;), terme qui vient de

celui - -r-^ de 1 équation (;), cesse d embarrasser et peut être conserve si

g de- 1 . / r

l'on remplace l'ordonnée y de la trajectoire par sa valeur de première approximation. On pourrait prendre pour telle l'expression du huitième degré (o) y = iJijX en faisant r = 0 et en faisant aussi P = 0, puisqu'il ne s'agit ici que des effets indépendants du poids propre dont il peut n'être fait compte qu'après le calcul de ix. Mais on peut faire mieux; car les erreurs seront évidemment atténuées, et on aura une approximatiun plus grande et plus

015 e CHAP. IV. — >nïE du § 01. — charge voyageuse.

sûre si, pour la valeur de y répondant à Y-=^0, l'on revient de la fiction M=r!j.Z à la réalité, c'est- à dire si l'on fait simplement (expression /j de M. \Yillis, p. fiOOl :

W y = iT;7r['-^'''-^)"

liaj-l

valeur parfaitement exacte de cette ordonnée dans la première approximation où la marche du poids mobile est supposée infiniment lente; et dont on tire, pour passer à la deuxième approximation :

^ ' (It- g (Ix- ugavA 8 a-

Cette expression mise pour jy, dans l'équation (t), ou écrite dans celle

(t) au lieu de r— - qu'on y avait fictivement substitué, cbange ces deux

(j dx'

équations, vu la Videur (/.) de r-, en la suivante :

f/-a u Ocv' X, . ,, ^-/. 1 •>û'î^ — ''"••3^' — 2a-

'^> dx' ' r' J5E1 r-' ' ' ' \ ß n-

L'on tire de cette équation (?) une intégrale toute pareille à celle (>) de r équation (•/.) de M. Stokes, sauf (|ue la parenthèse, bien que Xi soit du

sixième degré en x, se réduira en supprimant les termes en r' et r" comme affectés de (-•) et (-) à X, — ^''~T^'' l^inôme dans le second ternie du-

. , iP\, . i quel on peut supprimer toute la jjaitie de -pi *ïi" ^ ö P^"'" '«i^lt-ur; car

?^-- se trouverait affecté du carré de -.

En déterminant, de la nièine manièr-e qu'on a fait, les constantes C,G',

c'est-à-dire par iji et 7-=*^ pour .r = 0, on tiouve C nul ou supprimable

Vacomme affecté de r', d'où, en ajoutant jFrr, comme ci-dessus, la solution

Pa-' Ver Qrr /v .<i'^ \ ,.Cmx—7yx^ — '2a

ihU ' • 'jr)KI 15KIV 'Z'^' P «'

Ua' / , '•1 ,ï)-\r . X Vv\V — r+-:. -sm-

SOLUTIONS THILLFPS ET STOKF.S flOMÜlM' KS. 015/"

expression genyral(3qiii, d après (;), étant muitiplife par / = o.

donnera toujours, vu l'hypothèse primitive, les valeurs, pour tous les points de la poutre, des déplacements ii qu'ils éprouvent au temps ^ = recette expression (•/) de !J.|, que nouspensons pouvoir être étendue à toutesles valeurs pratiques du rapport de 0 à P, n'a fait, pour en devenir capable, qu'a-

jouter comme on voit, à celle (v), deux termes affectésdc -= ^-^ ,., , savoir le

terme — - dans ce qui affecte le sinus, et le troisième terme de la première parenthèse.

Dans le second terme de cette même; parenthèse, remplaçons le -— par

'^ if< r — {— 4 '■^3?- o/'"

sa valeur 5. — - — r-^—, — ~ — ; puis, dans ce même terme, et dans celui — loa' a-

de la seconde parenthèse, mettons à la place de — sa valeur (-/.') ^rr^--.-; ^ ^ a' %)2 Q p

ces termes, multipliés par Q qui est hors des parenthèses, ne seront plus

affectés que de P, et aussi de -; et nous avons en multipliant, d'après (k),

v-i par Z pour avoir le déplacement vertical ii du point de la section d'abscisse z :

^ Sr/^s — iaz''+z''lOa' S'U-'x — 4o,r'-{-.r'' /. 1 ßf'^^ — ^^^' — 2a-\

Iba' (OKI ha' \ fi a- /

Fa"' /. 1 loo '■lav — a:-\

6EI\ pJ^p'lUo'î^El

r . XI -sin- , a r \

où l'on peut faire r ^ Y< afin d'avoir le déplacement en fonction de l'ab-

scisse z amsi que du temps t entre / = Ü et f = — .

De celte expression qui donnera l'équation de la trajectoire de la charge

mobile en faisant u = y, 2 = ,r, on tirerait, comme M. Stokes a fait de

celle (v), des conséquences tant numériques que graphiques qui seraient

analogues à celles de la figure 2 de son Mémoire de Cambridge ou de la

figure B de la pkincbe 10 du Report, et qui en seraient peu différentes, vu

1 bax — or- — 2a- , , -. ,. , 2 , que le terme H -, de ta première ligne et le terme de

la seconde ligne ont peu d'inlluence quand - est petit. Mais cette petitesse

supposée de 7 et la non-petitesse de ^ excluent les suppositions des valeurs i, 2, o, A, 5, G, 8 et même 10 à donner au nombre (p) n de quarts de période

filSf/ CHAP. IV. — KOTE DU § 01. — CHARfiE VOYAGEUSE.

d'oscillations do la partie périodique de ('^j u. car on a environ n = 20 pour ß = 50, p = 1 , et n = 9 pour p = 1 2, j^ =-.

Or les trajectoires de l'épure citée sont toutes symétriques par rapport à leur ordonnée milieu z. = a, passé w = 0 ; et il en est de même des courbes de la figure .") de Cambridge ou C du Report qui donnent, non plus les trajectoires, mais, comme ordonnées, les grandeurs successives que prend la flècbe de courbure au milieu de la poutre, lorsque la charge mobile se trouve aux dislances de Textrémité z=0 que désignent les abscisses.

D'où l'on peut déjà inférer, en excluant tout au plus les poutres de pontceaux étroits, ou les rails (dont les sections se règlent plutôt par des expériences que par des calculs), que les plus grandes flexions ont lieu sensiblement, dans les conditions ordinaires, au milieu des: jwutres au moment où la charge y passe; et la forme des courbes fait présumer qu'il en est à peu près de même pour la plus grande courbure éprouvée.

34 {qualer). Conclurions pratiques. — Avant de les tirer de ces formules, revenons, pour les leur comparer, à celles que fournit pour u. u^ l'analyse du n° h7>.

Si l'on met en œuvre le procédé que nous avons indiqué au bas de la page G0<), mais que nous n'avons alors, pagetiOT, employé que pour le calcul de la dérivée seconde de u en z et du moment de tlexion (j/g), on trouve les expressions suivantes ayant leur première ligne identique avec chaque expression ((/„) de première approximation, et dont la seconde, celle (w'), peut être déduite de la première en changeant :; en z^ et x en 2a — .r :

, , ^zCf^a-x — 6a.r--l-.r) — ;;''(2«— .r) N«''^ — 4(7^-" -f-i'

M î^ = 0 Tô-j?! \^

.l2aEl ' 48at;i

f -^^ ( — 1 6a''.r H- fiOa'-x- — C)2a\r H- Vmx" — 7)x^)

(4a'' — i\a-x H- 12ax- — ô.r^)

4a-EI \ ^ P^ (|ç),Sa\rH- iSOa'.r^ — 680alr' +270aa:'^ — oT^x')

Pv' P:"'

^ -TTT ( — 1 Oa^.r H- Oo.r^ — 2.r-') -|- -r- (2a — x) .