I - oU

z.,{ia^x — x-')-z}r 8a^^, — 4a^^ + ^^

48a El

^ ( 8a\r + 24a V- — \ Oalr- — 6a.r* + n.r-')

l 1 . 1^ + ^' (2alr - ßax'- + 3,r') 4- t^ ( — ^a'-^' — 5«^- + 2.r')

+ ^. (1 1 2a\rH-240^/^r^— I G(la-^*-— 60a.r^+r.oa;'')+ -^ 1 2 1(1 ciU '

CONCLUSIONS PIJATIQL'ES EN AYA.M KGAIiD AU.V CONDITIONS IMIIALES. () 1 5 /i

Ces foniuiles (dont la première, difiérentiée deux fois en :;. redonne idenliqnemeiil celle {ijg) d'où (c,,) trouvées autrement pour le moment de llexiou)

satisfont en effet, à cela près de termes aff(>ctés de ( - i que l'on néglige, à

toutes les équalions (Cg), (og), {b,j) posées, p. 59i), pour la solution supposée

algébrique du problème; et la seconde, relative à la deuxième partie de

poutre comprenant la poutre enlièie lorsque x=iSl=^Q, satisfait aussi

alors à la condition de nullité des déplacements dyndini(jues, mais non pas.

comme nous avons dit, à celle de nullité des vitesses initiales.

La formule nouvelle (f) a. de plus que celles-ci, le terme périodi(jue

affecté de sin - = sin — qui a servi à satisfaire à la condition initiale de r r

vitesse nulle pour 1 = 0. Comme cette partie péi'iodicjue du mouvement

vertical de cliaque point de la poutre a zéro pour moyenne, on comprend

(jue la partie algébrique de u. dans (f), ne doit pas différer beaucoup de

ce que donne la formule (w) ou (w') pour ce déplacement.

On le reconnaît, en effet, si on applicjue les formules (w) el (■l). par exemple

au déplacement du point central i = a pour l'instant x=:a. l=^y> on la

charge mobile y passe; car on trouve pour la /lèche dijnamique /^ y relative:

Par (»,. /•„=,„U„, =j-ï^l+^)+3^((l+25 -); ,,Jd ,, ,■ l'J-') Ony. , i\ lA'a-l, 155 1\

\ iibblL^V fV ^'^ ßj« ''

La partie algébrique résultant de (•I>) donne ainsi, pour la portion de flèche attribuable à l'action de la charge mobile 0. les -^ de ce que donne

1 Jo

('jj), ou -p: seulement de moms; et la diminution est bien moindre en ce

qui vient du poids propre P, car elle ne porte que sur la petite fraction -■

Mais il en est autrement pour les valeurs du plus grand moment de flexion ; car on trouve

/ n.f^'"\ Oa/, 1\ Va/. 5 1\

, , ]„ , -5n /. 1\ Vaf , 155 1\

015/ CIIAP. IV. — .NOTE DU § (il. — IMPULSION l'Ait CHARGE VÜYAGELSE.

L'expression provenant de (■l) n'attribue an premier terme de la partie algébrique ou non alternative de ce moment de llexion, si sin - est nul, que

les — de la valeui' donnée par l'expression provenant de (m); et elle diminue aussi la valeur du second terme.

Or on conçoit que les formules (w), résultats des calculs d'approximation successive du n" 55, correctement exercés sur des formes algébriques, et opérés sans substituer, aux modes particuliers et réels de flexion, un mode uniforme et fictif, néritent plus de confiance que la partie algébrique de la

125 5 formule ('^). Les coefficients numériques tels que j^, ^ sont, dans celle-ci,

évidemment dus à celle fiction destinée à pouvoir obtenir les compléments périodiques. 11 ne faut pas, à l'obtention plus ou moins approchée de ces termes accessoires, sacrifier, et en moins, les termes principaux des solutions.

Aous pensons donc définitivement que ce qu'il y a de mieux à faire, c'est de superposer ou ajouter, à la solution (o)) dont M. Phillips a été l'initiateur (et qui, bien appliquée, tient compte de toutes les inerties), la partie périodique de l'ingénieuse et hardie solution de M. Stokes, modifiée et complétée, comme nous l'avons fait, par des termes en - la rendant applicable à

toutes les valeurs usuelles du rapport du poids de la charge mobile et de la poutre.

Et notre conclusion est :

1" Que si l'on veut avoir les déplacements de tous les points de la poutre, ou les équations en ii,ai et z,Zi de la forme courbe qu'elle affecte aux divers

instants marqués par t^~^ ou pour les diverses situations, d'abscisses .r,

de la charge mobile Q qui la parcourt, il faut, aux expressions ?/,», données par (w), (w'), ajouter la partie périodique de ('^), savoir :

(tO

la \2(^// v2a

(}«■•/, '-^\ 1 ''>2 51V' <1KÎ\ W"^ß 105 iSKI

r . X -sm-, a r

2° Que si l'on veut avoii" on // et x l'équation de la trajectoire que parcourt la charge mobile 0, l'on n'a qu'à faire u:= i/, z = x dans l'expression ainsi établie de u ou des déplacements de la première partie de la poutre.

5» Que si l'on se borne à avoir la (Irclie di/naniique, ou la dépressiim du milieu de la poutre à l'inslant où la charge y ])asse, il laut prendre, en conséquence :

Qa'f, ]\ 5lVr 25aT /, 2\ 55 IHr . a

// """ V 252 (T [^ ~ V o78 'r/KI '

CONCLUSIOiNS l'RATlQUKS K.\ AYAM' KGAUD Al V COM)ITI()-NS LMTIALKS, 0 1 0 /

4" Et si, ce qui a plus d'intérêt pratique, on vont avoir la valeur approchée du plus grand moment de fiexion —El 77^7,. ou celle de la plus grande

courbure — 7— y afin d'établir la condition de non-rupture en lui imposant une limite, il convient de prendre :

où Ton pourrait faire généralement sin-=: — 1, alin d'attribuer au second

terme son maximum.

5" Qu'il convient de ne plus dire, comme à une époque où . la question n'avait pas encore été suffisamment étudiée, que les solutions telles que ('»)

P et (■>) ne conviennent qu'à deux cas extrêmes; celle-là pour -r très petit, et

celle-ci pour - très grand, ni que M. Stokes n'a eu d'aulre intention, en

1849, que de traiter ce dernier cas. Le but primitif de l'éminent correspondant de l'Institut a été, comme l'exprime notre citation ci-dessus, de « tenir compte de l'inertie de*la poutre >> ; ce but s'est trouvé atteint six ans après, en 18ào, d'une autre manière, et sans changement hypothétique du mode de distribution des déplacements le long de la poutre, par des formules algébriques telles que (w); mais son beau et hardi travail a eu le précieux effet de fournir une évaluation approchée et suifisante de cette partie périodique ou oscillatoire des mouvements que la solnlion algébrique de 18üo était réduite à négliger; évaluation que nous croyons avoir montré être facile a étendre à tous les rapports habituels des poids P.Q de la poutre et de la charge mobile qu'elle supporte pendant son trajet.

55 Suite. Mise en compte, pour la flexion du pont, de V action du train qui ^'avance à la suite de la locomotive. — Les wagons disséminés que la locomotive remorque doivent produire bien moins d'effets de flexion et de courbure que ce lourd engin concentré à chaque inslant en un seul endroit. Il convient cependant d'évaluer ce qui peut résulter de leur pression et de leur mouvement. C'est ce qu'a fait en 1860, d'une manière intelligente et remarquable, M. Renaudot, aujourd'hui ingénieur en chef des ponts et chaus sées, dans un Mémoire intitulé Élude de Vinfluence des charges en mouvement sur la résistance des ponts métalliques à poutres droites, et inséi'é aux Annales des ponts et chaussées, mars 1861, p. 145-1204.

blO CIIAP. IV. — .NOTi; 1)U ^ (il. — IMI'ULSIO.N l'Ail CIIAliGL VOYAGEUSK.

Si, par unité de lougiieur. on a p=r:~ pour le poids de la poutre avec

sa charge permanente, et ;/ pour celui du train qui y est supposé engagé d'une longueur a: = \t au bout du tem|)s t, les équations de M. Uenaudot, propres à fournir les déplacements verticaux u de la partie de longueur .r et n^ de la partie de longueur 2a — .r de la poutre, aux points ayant des abscisses z-, Sj à paitir de leurs extrémités respectives, reviennent aux suivantes, faciles à déduire de celles (Z)^) et (/;,,),

oz{ ^ g cJx-'

car M. Renaudot reconnaît (à sa note A, p. VMM que le terme 2;— 7— doit

entrer aussi bien que les doux autres dans la parenthèse de la première équation, comme partie essentielle de la dérivée seconde complète, par rapport au temps ^Voy. ci-dessus, n" 52] du déplacement de tout point de la charge mobile, bien qu'il ait [à sa page loi, éq. (2)], en vue de simplification, retranché ce terme, jugé par lui peu influent.

Mais la présence de ce terme du trinôme différentiel ne rend pas plus dilïicile la solution simplifiée, que nous avons trouvée en opérant comme il a été fait, au n" 55, pouj- le cas de la charge roulante isolée, à savoir : 1° en déterminant d'abord, comme première approximation, les valeurs u' , u[. ce qui s'opère, soit d'une manière élémentaire, comme il a été fait pour les formules [d,^] du n° 52. soit en résolvant les équations ((/,„) dans la supposition de Y infiniment petit, ou en effaçant les termes en V- de ces équations et de la dernière (/g), ce qui donne :

2" en substituant ensuite dans les termes de (g^f^) en V- restitués, ces valeurs n', n[, de première approximation du u, u^ et en intégrant de nouveau avec les conditions particulières (r/g), (/;„) du n° 52. Le résultat obtenu a été le même que celui qu'on trouve en opérant aussi, comme au n" 54, par un procédé élémentaire de calcul de l'inertie des éléments de la pouti'e. Nous sommes ainsi ariivè, en nous bornant, ce qui suffit, à deux intégrations des

(^,0) par rappoit à :-, à une expression générale de 7— et par suite du

moment fléchissant, dont la plus grande valeur, qui a lieu au point milieu

MISE EN CDMl'TE DE l'aCTIO.N DU TltAIN SLIH LE PONT. 617

z = a quand le train est arrivé à 0(xuper toute la longueur 'ia de la poutre, est

ce qui donne 1 + jr — pour le rapport entre la courbure maximum dynamique et la courbure maximum statique (*).

(*) M. Renaudot a trouvé [p. 171 form. (45) de son mémoire] '——- a- I 1 + r o> ) ? ou

pour la proportion de l'excédant de tension (comme il l'exprime) de la fibre la plus tendue

2 8 10 dû aux inerties centrifuges, les ^ : ^=— de ce que nous trouvons-

Malgré la faiblesse de cette différence, je crois devoir donner ici, pour prouver que l'expression (//,y) est juste, le détail de celles dont je l'ai déduite et que tout le monde pourra vérilier par de faciles substitutions. Si on lait, pour abréger,

ix) ;r- = \, — • = Z, -J- = Z. , avec ' — — - = -,

les expressions générales ou applicables à tous les points, sont :

— El f.~=z2a"-p (l — lA + tap' \U\ — ^A l-~'lA + '

(6)( +(-5+^^-^^-^)^'^+(-^î+^)''^''+ro] '

Or il est facile de vérifier, après deux différentiations, qu'elles satisfont à tout, à cela'

près de terires en ( -, j négligeables comme étant toujours de second ordre de petitesse

dans la pratique; à savoir aux deux équations du quatrième ordre ^,(/io), ainsi qu'aux conditions d'extrémités ou de raccordement, qui sont les deux dernières («g) et les deux dernières (fcg.)

du n° 32 modifiées en mettant, vu (a), 2rtX, 2flZ, 2aZ, pour x, z, z, et . .,„ . pour -rrr- Quant

* '^ ;/ö-ß jEl

au maximum de la première (ß) on l'aura, à cela près de quantités très petites aussi d'ordre

supérieur en y mettant les valeurs X = 1, Z = ^ qui annulent les dérivées en X et Z de sa

partie principale et de beaucoup la plus influente 'ia-p (Z — Z-) + iap' [(2X — X^) Z — Z-] ;

c'est-à-dire en prenant pour le lieu et le temps de ce maximum, .c =. la, z-^^ a, comme a

fait aussi M. Ren^iudot.

Au reste, il termine avec raison son Élude en concluant, après avoir donné pour

2 p'a-\^ 1 -h ;: — jTj- des chiffres relatifs à divers ponts métalliques, et qui excèdent peu l'unité, que

cette espèce d'impulsion graduée n'a, sur les courbures et sur le danger de rupture, qu'une influence pre?(iuG insiynifiaiile.

018 CIIAP. IV. .NOTE IjU s; 0 I . l.Ml'iri.SIO.N THAlNSVKltSALi:.

Il sera facile, d'apn^ès ces doubles manières de résoudre le problème, comme on vient de voir, du moment flécliissant quand il n'y a que les wajions pesant p' par mèlre courant, et (n"" üo, h'i) quand il n'y a que leur remorqueur pesant Q, de déterminer l'expression de ce même moinent lorsque le train est complet, ou composé de ces deux éléments, en tenant compte du

poids P et de sa charge permanente. Cette expression du moment — El -7-^

se composera de la partie principale, ou statique, c'est-à-dire de l'une des deux suivantes :

(î.o - ^A — - pour V = 0 = y> -— +/>' ^ j- + (j -r, ^^

O-.o) ^ - El — pour V ^^^=p — ^ +y/ — + 0 ;

et de deux parties dynamiques affectées respectivement des petites fractions que nous avons appelées-, — , dont on aura négligé le produit comme les

carrés. Tirer de celte expression complète, fonction compliquée de 2 ou de Zj et de l'abscisse ^ = V^ de la tète du train, en égalant à zéro ses différentielles par rapport à ces deux variables, leurs valeurs donnant le maximum, serait aussi impossible qu'inutile. 11 suffit de chercher ces deux abscisses xe\.z ou 2j pour le plus grand des deux maxima des parties^ statiques [i^^, Oin) , car celles qui répondraient au maximum absolu de l'expression com-

pléte du moment n'en différeraient que de quanlilôs alfectées de-' — ' ou

du premier ordre de pctites-se; et la valeur (jui en résultera pour le maximum cherché ne différera du vrai maximum que de quantités petites du second ordre, etsansinlluence,

En égalant à zéro les différentielles par ra]jportà.x et par rapport à jet s, des expressions statiques (ii„) et (^k,), la seconde ne fournit rien qui ait rapport à la question. La première, en écartant la racine i r= 0 ne donnant qu'un minimum, fouiiiit pour valeurs donnant son maximum :

P' L '■■^pa 2 0;-f;y)«J

d'accord avec les solutions x = 2«, ; = a, Irouvées tout à l'heure quand on avait (J = 0. Mais la valeur [k^^] trouvée ainsi pour l'absci-sse .r de la tète du train se trouve en défaut si '■la est petit en sorte que Q excède !2a/>' ; et, de toute manière, le résultat de la recherche analyti()ue du point de maximum a besoin d'être contrôlé et même su[)plèé par des tâtonnements numéri(|ues toujours faciles. Les valeurs de .1: et de :• élant trouvées, leursuhslitulion dauïsla formule (/jo), complétée par raildiliundi' la partie dynaniii|ue,

CHARGE ROULANTE. SOLITIO.N DE M. BRESSE POLR UNE CERTAINE SUrPOSITION. 610

donnera le plus grand moment et les conditions de résistance de la poutre au passage du train (*).

(*) Nous renvoyons au mémoire de 18,"),") de M. Phillips pour le cas où la poutre supportant le passage de la cliarj,'e mobile Q est cncnsirrc aux extrémités au lieu d'y être simplement posée, en recommandant de réparer une inexactitude de la seconde parenllièse de sa formule (70), que M. Bresse a signalée dans son Cours, et de la modifier aussi en ayant soin de conserver, dans le calcul de ce résultat linal, tous les termes des expressions (46), (47), etc., page 20, des dépressions appelées y, sans en négliger une partie comme il a été fait ainsi que nous avons dit, lorsque la formule ((54) p. 25 relative à la poutre posée a été réduite à celle (71) de la p. ôi. Au reste, il n'arrive jamais, comme en général l'a observé Poncelet après Vical, que les encastrements de poutres produisent leur effet entier, et il est bon de n'y point compter surtout quand il y a, comme dans le cas présent, des mouvements alternatifs qui en détruisent bientôt presque tout l'effet. (Voir l'édition annotée des Leçons de Kavier, § (> de l'appendice I).

Nous renvoyons de même au Cours très répandu et estimé de M. P)resse, pour la solution complète, par une intégration exacte, alors possible et effectuée d'une manière simple, du problème où le train, occupant toute la longueur du pont et se renouvelant d'une manière continue, serait arrivé à sa vitesse V graduellement, en sorte que la poutre aurait acquis sans impulsion sensible une forme d'équilibre qu'elle conserve sous l'action constante de sa charge fixe 2yw, et des poids ainsi que des foices centrifuges des éléments p'dz de sa charge mobile. Qu'il nous suffise d'exprimer ici que si it désigne, comme ci-dessus, la dépression éprouvée par la poutre au-dessous de l'horizontale, à son point qui est à ladistance i du premier de ses deux appuis, la solution du problème dépend évidemment (n"' 52 et suivants) de l'équalion simplement différentielle

équation du second ordre en-^r;^ , qui donne pour cette inconnue, multipliée par — El, en l'intégrant de manière qu'elle s'annule aux deux points extrêmes ; = 0 et ; = 2a,

(,3) El|^ = (;,H-;/)a2ß'

r:Vr

; -, étant = — rr-

Ce moment llécliissant a son maximum pour z=^a ou au milieu de la poutre, d'où IV Max. de (- El gj) ^^"^"^ «^.Oß'/— U - 1 V

On tire facilement de cette formule transcendante une expression algébrique approchée, de

même forme que celle (/*jo) ci-dessus. On n'a qu'à remplacer cos V/ö/ P^"" son développe-

1 1 \ ment 1 — -— ; -\- ^„-^ -jr, — et qu'à effectuer la division de 1 par ce polynôme, ce qui

donne, après réduction, et en effaçant finalement, comme ci-dessus, les termes affectés de

Max. du mora' fléchissant f — El ^| = • ■ a- M -| — y ^, )

Celte expression aurait pu s'obtenir aussi par le procédé d'approximations successives que nous avons appliqué ci-dessus à des questions plus compli(iuées. iJ'après cette curieuse analyse dont M. Bresse n eu l'idée, un voit que l;i jiroporlion dans

620 CHAP. IV. NOTE DU ß 01. IMPULSION TRANSVERSALE,

56. Confinnation de VanaUße ci-desms par r expérience. — Xous avons déjà cilé au n° u!2 (sous-nolc) l'enquête sur les fers, oi'donnée par le gouvernement anglais en 1840 à la suite de graves accidents de ponts ou viaducs métalliques, et le célèbre Rapport de 1849. Nous n'analyserons pas les habiles expéiiences de M. Willis sur des barres d acier qu'il a soumises à la pression d'une charge roulante, en mesurant soigneusement les flexions produites, et nous ne reproduirons pas ici ce que nous avons eu l'occasion de dire en 1804 (dernière édition des Leçons de Kavier, n" LVIl, pagf s ccxi et ccxiv de VHistoriqne) sur les effets de l'application de cette ingénieuse balance d'inertie, à levier en équilibie sous deux poids toujours égaux mais variables à volonté; levier dont il faisait conmiuniquer, par une bielle mince, l'une des deux extrémités avec le milieu de la barre en expérience, afin, sans dugmenler aucunement sa masse ni sa raideur, d'accroître à volonté son inertie dans la vue d'apprécier expérHuentalement l'iiilluence de cette force que l'on croy;iit, alors, impossible à faire entrer Ihéuriqucnient dans le calcul.

Les courtes et minces barres sur lesquelles ces expériences de charges mobiles ont porté sont trop éloignées des données pi'atiqnes relatives aux poutres des ponts pour que les résultats observés soient capables de confirmer ou d'infirmer les formules (ir* 52 à 55 où la constante appelée - est

supposée toujours très petite) que nous avons calculées ci-dessus.

11 en est autrement des expériences de flexion par impulsion brusque. In

laquelle le mouveiiieiit de lu charge 2p'a, ou son inertie centrifuge conslante en chaque endroit, augmente le plus grand moment statique (p-{-p')a -, n'est que les

de la proportion •- -, . donnée par notre analyse, form. (/',o). Mais le savant ingéniour-pro-

lesseur (aujourd'hui membre de la seclion de mécanique de l'Académie) reconnaissait, avec sa modeste et judicieuse réserve, dès l'édition de 1859 de son Cours, que les choses se passent un peu autrement que ce que suppose la solution présentée par lui ; car la poutre, successivement pressée par le train qui s'y avance avec la viles-sc tout acquise V, s'allaisse en outrepassant la situation stable que l'énoncé indique, et que déliiiit l'équation (ß), réduction de la première (</,„) ci-dessus, et qui exprime seulement l'équilibie entre l'élasticité de la poutre et des forces toutes constantes, tant de pesanteur que dineriie.

Mais cette solution offre l'avantage de fournir, pour un cas extrême et intéressant, une solution complètement rigoureuse et applicable à toutes les grandeurs de la constante \ VU' \'^

-=^ — ^r ' 3insi que celui non moins utile de faire apparailie cette conslante de ß' ^Ll ^ ''

prime abord, d'une manière explicite; mettant ainsi on lumière le rôle esscniiel qu'elle remplit dans tous les problèmes de ce génie, et l'ournissaut par la forme du résultat, si ou le réduit, comme nous avons fuit, à être simplement approché, une sorte de vérilicationc des résultats de même forme obtenus dniis les problèines plus complexes où tout ce que représentent les diver^^ termes des écpiatioiis dilférenlielles. entre en jeu et en ligne de 'vOiiipte.

C0?<FIRMATr01N, PAR I.'eXI'ÉIMEN'CE, DES SOLUTIONS DES l'ROIÎI.ÈMES DIMPULSION. 6"2 l

très grand nombre de ces expériences intelligemment dirigées, surloul par M. Eaton Hodgkinson (*), ont été relatives au choc de barres de fer appuyées aux deux bouts sur de petits louleaux (pour éviter les résistances dues aux frottements), et heurtées au milieu, horizontalement, par un boulet suspendu à la manière d'un pendule, ce qui permettait, au moyen du inesurage des cordes des arcs de chute, d'avoir exactement les vitesses d'impulsion, qui sont proportionnelles à ces cordes géométriques. Les flèches de flexion, vu la difficulté plus grande de leur juste mesure, étaient fixées d'avance, et de divers nombres exacts de demi-pouces ou de quarts de pouce; et l'habile physicien cherchait, par tâtonnement, les cordes des arcs de chute du boulet qui étaient capables de les produire. Quelques expériences de choc vertical furent faites aussi enmesiu'ani les flèches au moyen de petites chevilles s'enfonçant dans de l'argile ; quelques-unes aussi ont eu lieu en attachant à la barre, pour recevoir le coup, une très petite masse de plomb dont il est facile de tenir compte dans le calcul, fait comme au n" 42 ci-dessus.

Tredgold avait, antérieurement, remarqué que la flèche dynamique calculée comme faisait Young, en négligenut l'inertie de la barre, ou par la formule que nous avons appelée de première approximation (n"* 5(3, 57) était constamment plus forte que Ihs flèches réellement prises, et il l'avait attribué, avec raison, à ce que la vitesse V du heurt se partageait, avant la flexion, entre le corps heurtant Q et le corps heurté P. Il supposait donc

cette vitesse réduite à Y ^ '^ , comme dans le choc des masses libres.

Mais M. Hodgkinson observait, non moins judicieusement, que cette réduction était trop forte, vu que la barre élastique, qui a deux points fixes, ne doit pas compter pour sa masse entière dans un pareil partage. El prenant la moyenne des résultats de toutes ses expériences de mesurage de flèches et de vitesses, il concluait qu'elles se trouvaient très approximativement représentées lorsqu'on réduit dans cette formule de Tredgold la barre aux 0,47 de son poids P, et il proposait, en conséquence, d'évaluer la vitesse Vj que possède le point heurté au premier instant où la flexion s'opère, par

une formule Vj = j-r^ ; puis, de calculer la grandeur qui en résulte

pourla flèche, jusqu'à extinction de cette vitesse, comme Young faisait avec la vitesse V entière (n"* 36, 57 ci-dessus).

Nous aurions pu nous en tenir ä ce résultat remarquable de .M. Hodgkinson, et y voir une bien suffisante confirmation expérimentale, non seulement de notre procédé élémentaire d'évaluation des flèches, fondé sur l'emploi du théorème des travaux virtuels ou de celui de perte brusque de force vive, mais même de toute notre application ci-dessus de l'analyse aux différences partielles à la théorie de l'élasticité, qui nous a fait arriver à des

(*) Report of ihe Commissionfirs, etc. Voyez surtout l'appendice 4, page 4. Fonnul/c of résistance of bars In fuui-onlal inipacis.

622 CIIAI». IV. — NOTK DU § 61. — 1MPLI,SI0N TRANSVERSALE.

résultats sensiblement idenliques. Nous avons en effet trouvé analytique-

ment, pour le coefficient numérique /i dont il convient d'affecter j:^ dans la

formule Vj = jj

nombre intermédiaire entre ceux, très proches, 0,47 que M. llodgkinson a

trouvé comme moyenne d'observations et ^ =0,50, qu'il propose d'adopter.

Nous nous sommes imposé d'aller plus loin. Nous avons refait, expérience par expérience, les calculs auxquels a dû se livrer M. llodgkinson. Mais, comme il a été reconnu depuis longtemps, par Wertheim et par d'autres, que le mesurage dynamique des modules d'élasticité E, au moyen des sons que rendent les tiges vibrant longitudinalement ou transversalement (sans les corps qui les ont mises en mouvement), donnent des résultats constamment un peu plus forts que les mesurages par des allongements ou flexions au repos (ce que Duhamel expliquait par la chaleur que les mouvements vibratoires dégagent), nous ne nous en sommes pas rapporté, dans nos comparaisons des expériences avec les formules, aux mesurages statiques, préalablement opérés, de E, par M. llodgkinson; mais nous avons pensé que ce qu'il y avait de mieux à faire était de déduire les valeurs de ce module E des expériences mêmes du choc, en y appliquant les formules à ai)précier; et cela n'est point une pétition de principes si l'on a soin de comparer les résultats de pareils calculs faits pour les barres de longueurs ou grosseurs différentes, ainsi que pour des vitesses variées, et surtout pour des valeurs

p fort différentes les unes des autres du rapport r. des poids heurté et heurtant.

Les formules dont nous nous sommes servi pour déduire ainsi les coefficients E de 67 expériences de choc horizontal, dont oO pour une distance de 15 pieds et demi (4'", 56*^) entre les appuis, et 57 pour une portée moitié, moindre, ont été celles du 5" du n° 4î) ci-dessus, où il est tenu compte de l'inertie des deux parties de barre dépassant les appuis, et qui faisaient en-

vironjjdc leur intervalle. Les diverses valeurs des modules dynamiques

d'élasticité E, ainsi calciilées au moyen de ces 67 expériences, des vitesses

p deheuitde 1 à 15 pieds anglais par seconde, et d s rapports- variant de

0,21 à 2,5 et même à 4,1), n'ont pas offert entre elles des différences très sensiblement plus grandes que les différences inévitables trouvées entre les résultatsd'expériences stali(pies comparées les unes aux aulri's, quoique les valeurs dynamiques de K dépendent des carres des flèches qui sont l'élénient le plus diflicile à bien mesurer, tandis que les valeiu's statiques du

CONCLUSION ])K CF.TTK ïriÉOlilK ni: LA liÉSISTANCF: VIVK OC DYNAMlgllK. 625

même coefficient ne dépendent que de sa première puissance dans les formules. On ne peut rien inférer non plus qui y soit contraire, des anomalies offertes par les résultats de quatre des neuf expériences faites de choc vertical, car les parties persistantes considéral)l"S que les flèches y ont acquises prouvent que dans ces quatre expériences finales, ce qu'on appelle la limite d'élasticité avait été fort dépassée, en sorte que nos formules ne doivent naturellement pas en représenter les résultats.

Ce'a prouve suffisamment que dans nos formules ci-dessus, même approximatives (de deuxième approximation), les données variables, à savoir les longueurs, les dimensions transversales, et les rapports de la masse heurtée à la masse heurtante, se trouvent engagées comme elles doivent l'être pour la représentation des faits acquis; en sorte qu'elles peuvent être regardées comme pouvant fournir la prévision des autres faits d'une manière suffisante, ce qui est le but de toute formule de mécau'que appliquée.

57 . Conclusion de cette théorie de la résistance vive on dynamique des solides. Flèches et flexions produites par les impuhions. Plus grandes courbures qu elles font prendre aux pièces dynamiquement fléchies, et conditions de la stabilité de leur cohésion (*). — Occupons -nous d'abord des llexions produites par des impulsions brusques.

D'aprè« tout ce qui précède, lors(jue, dans les problèmes de choc des pièces ou des systèmes élastiques, il ne s'agira d'obtenir (ce qui déjà est important en pratique) que la flèche, ou le plus grand des déplacements du point heurté, produit surtout par la vibration principale ou de plus longue

(*) Résistance aux impulsions longitudinales . — ryotre analyse qui précède n'est relative qu'aux pièces sollicitées Iranscersalcmcnt par des impulsions. Nous avons l'ait aussi, sur les impulsions s'exerçant dans le sens de la longueur des barres, un long travail, tant analytique que numérique et graphique, dont de courts extraits ont été publiés au Bulletin de In Société philomatique (5 nov. 1853 et 21 janv. 1854) et aux Comptes rendus (10 avril et 5 juillet 1865, p. 75'^ et 53) et aussi au n° LY de {'Historique, en tête de l'édition annotée, 18(54. des Leçons de Kavier. Ce que nous avons dit aux n"" 3(>, 37 et 44, 45 ci-dessus pour les méthodes de première et de deuxième approximation est appliirable à la recherche de leurs extensions dynamiques. Mais les corrections des résultats de première approximation par

un diviseur binôme qui, ici, est 1 -)- - - puisqu on trouve /. =-, conduisent à des résultats

moins appprochés que pour le choc transversal, et. ainsi que nous l'avons dit dans une sous-note du n" 1 ci-dessus, des recherches ultérieures, dont nous croyons avoir posé la base à l'article cité des Comp'.es rendus du 50 mars 1868, nous paraissent nécessaires pour résoudre d'une manière satisfaisante la partie essentielle du problème, celle de la jylus grande dilatation dynamique, sur laquelle Young a présente une vue intuitive destinée peut-être à recevoir analytiquement sa confirmation, en appliquant la méthode dont j'ai l'ait usage dans mon Mémoire de 18(57 /Journal de Liouville) accompagné de diagrammes représentatiis, sur le choc longitudinal mutuel de deux barres libres. Torsions dynamiquement produites. — 11 n'est pas besoin de montrer que le même

genre de calcul et de correction, par des diviseurs tels que 1/ [-^ k~' le no:Tibre k ayant

/* / V \ - dV toujours une expression / / — 1—77-. des résultats de première approximation, s'applique-

rait à la recherche des tensions d'une tige de poids P par le choc qu'une masse de poids Q imprimerait au levier dont la rotation la lait tordie.

(524 t.ii.vr. IV. — >OTF. Dil § 61. — IM^uI.slo^ tuansyersale.

période, ainsi que la forme ai)i)rocliéc oumoijenne prise en même temps par le système, animé d'autres vibrations d'une période bien plus courte et imperceptibles que l'on abstrait, il suffira généralement de se servir de la méthode décrite, dite de seconde approximation, fondée sur le théorème des travaux virtuels appliqué aux quantités de mouvement du commencement et de la fin de cet acte du choc, qui précède le temps de son effet, la déformation produite. On emploiera ce théorème en prenant pour vitesses'virtuelles les vitesses inconnues delà fin de cet acte ou du commencement de cet effet ; ou encore, ce qui donne le même résultat, en se servant du théorème connu de perte brusque de force vive ; calcul revenant simplement

(n- 46, Al) à diviser par i/l + /.■ ^ la valeur Y ^'h. [n" o7, form. (/,)] que

donnerait pour cette tlèche dynamique /^ la méthode connue, de première approximation (/^ étant la flèche statique) obtenue quand on néglige l'inertie du système heurté; et /.• = f (^^\ V ^ P X \j) '^^ ^'^^"* la somme, divisée par le poids P du système heurté, des produits de ses éléments tW par les carrés dès rapports qu'il y aurait entre leurs divers déplacements et celui du point heurté, si le système se déformait comme sous une action statique exercée à ce point dans la direction du heurt. Le temps du qufut de période de vibration principale, au bout duquel cette flèche est formée,

s'obtient à la fois, et est '- il 1 + h - , ou est le temps qu on trouverait

en première approximation, multiplié pari/ 1 + A'^-

Quant à la forme que prend alors le système moyennement ou en abstrayant les vibrations secondaires, et de bien plus courte période, elle est approximativement celle qu'il prendrait sous un effort statique lui donnant, si on l'appliquait au point heurté, la flèche dynamique /^ obtenue comme

on vient de dire.

Cette détermination approchée des flèches dynamiques s'appliquera non seulement aux pièces isolées, mais même aux assemblages, tels que ceux de lames superposées composant les ressorts de wagons, etc. (ainsi que je m'en suis assuré par des calculs faciles qui ne pourraient trouver place dans cette Note déjà longue) on tels que ces poutres dites franiex, qui sont composées d'une suite de triangles dont les côtés s'étendent ou se compriment sans fléchir.

Elle peut facilement être introduite dans les Cours de Mécanique industrielle de tous les degrés; et il convient de l'y siibslitner à la méthode de première approximation qui y est enseignée aujourd'hui; car lorsqu'il s'agira de calculer les valeurs de /. = p / (^ j tlW comme les rapports^