I.Soâ

valeurs qui, multipliées par la demi-épaisseur de la pièce donneront, comme on sait, la proportion de la dilatation qu'éprouve sa fibre la plus tendue, et à laquelle une limite doit être imposée pour assurer sa non-énervalion ou la stabilité de la cohésion de sa matière (A'ole du § 7û, n" 7, pay^e rjG!2).

On représenterait d'une manière suffisamment approchée ces divers résultats si. en appelante« les valeurs telles que (/,n) —,/'(, de la courbure,

SUITK DK l.A CONCLUSION. RECHEKCIIES A KAlftK. 627

données par le premier terme de la série 2, on prenait

Mais pour construire une formule empirique, utile et sûre, du coefficient qui, en affectant Co- donnerait ainsi les plus grandes courbures dynamiques, il faudra un plus grand nombre et une plus grande variété de calculs complets que nous n'en avons fait au n" oi ; et nous regrettons que le temps nous manque pour exécuter nous-mêmes ces calculs utiles.

Plusieurs questions, du reste, se présentent, dont l'analyse ne peut encore tirer, des faits actuellement connus, une solution suffisante.

1'^ Doit-on (comme ont fait les auteurs qui ont traité les problèmes de ré.

sistance vive par première approximation) regarder la limite -rr(n° 7 de la

Note du § 57, p 266) des dilatations statiques ou permanentes non dangereuses des fibres, comme s'appliquant aux dilatations dynamiques ne durant qu'une fraction df^ seconde, et qu'un même cboc ne produit qu'une seule fois dans toute leur grandeur; ou bien peut-on, sans péril, en adopter une moins élevée.

2° Doit-on, dans le calcul (numérique ou graphique) de la plus grande courbure, ajouter, comme nous avons fait au n" 34, à ce qui vient de la vibration principale et visible, donnée parle premier terme, en m^, du E, ce que fournissent passagèrement les vibrations secondaires, tertiaires, etc., représentées par les autres termes, et dont la durée périodique est incomparablement plus petite ; ou bien peut-on négliger, comme sans danger, les surcroîts de dilatations de fibres qu'elles produisent par instants; ce qui

reviendrait à s'en tenir aux valeurs (/lo) de [ — ,— | , en les affectant, tout

\ "•"'/mai.

au plus, de coefficients de sécurité ou de précaution, étrangers au calcul des vibrations accessoires?

5" Y a-t-il, de la part des vibrations élastiques de peu de durée et d'amplitude, et vu le seul fait de leur fréquente répétition, une sorte particulière de danger, comme serait celui do détruire le nerf du fer forgé ou laminé, en le disposant, comme le feraient de fortes vibrations calorifiques ou une sorte de fusion, à revenir de l'état fibreux ou à particules entrelacées, à l'état cristallin ou grenu?

Des expériences, dont il est difficile de tracer le programme, mais où pourra jouer un rôle essentiel le mesurage de ces déformations persistantes regardées comme annonçant des commencements d'énervation et de désagrégation, seront nécessaires pour renseigner là-dessus la théorie qui devra, quels qu'on soient los résultats, se bien garder d'abdiquer son rôle et de renoncer aux considérations et patients calculs dont nous avons, à l'instar de nos maîtres, lâché de donner quelques spécimens.

(j98 r,HAP. IV. — TIGES MINCES.

g 62. — Vibrations tournantes.

Les vibrations tournantes ont, avec les vibrations longitudinales, une telle analogie, qu'il suffira d'en dire quelques mois. Si l'on admet qu'aucune force n'agisse sur l'intérieur de la lige, l'équation différentielle qui définit à chaque instant la position de la section transversale est, d'après le §59, page 475, équation (218 rf) :

où ^- doit être déterminé, suivant la forme du contour des sections, comme il a été dit à la Note de celte page.

Cette équation différentielle ne se distingue de celle des vibrations

longitudinales qu'en ce que le coefficient -r; ^, y remplace le coefficient -r;« Par cette considération on peut, sans autre modification, se cjh

servir des formules établies dans le § 60, pourvu que l'on donne à la quantité désignée par a la valeur

La série des nombres de vibrations est

pour le cas où los deux extrémités de la tige sont fixes. Elle est au contraire

Tta OTî-a Ott«

pour le cas ou l'une des deux extrémités est libre.

Assurément, dans ce cas, on ne peut plus considérer ces nombres comme représentant des sons, mais leur signification, en ce qui concerne les vibrations isolées, et tout ce qui a été dit précédemment sur la position des nœuds, demeure absolument le même, sans modification.

n Cette équation différentielle revient ;i celle — ^ 7rt= ôTtr que j'ni donnée dans une \ ^ ^ p \\ (jx- c'i-

nolcdu 15 janvier 1840, sur 1rs vibralioitslouriianlrs, insérée à la pnjjeO!) du tome XXVIII des

Con(7^<esr«K/MS, car ona ladensité/5=i-. le moment d'inertie polaire //. = (/*-)- x*)ç; et

G(/.i, où iJ.\ est une qnanlilé moindre que // pour toute autre fonne de section que le cercle, sifjnilie la même cliose (pic ce que Clebscli appelle ï^~-a.

>; 05. — TENSIONS A l/l.\ri':iUKLU DES TIGES. 629.

l 63. — Tensions à l'intérieur de la tige.

Les tensions qui se produisent à rinléricur d'un c-orps ayant une section transversale très petite ont déjà été déterminées dans ce qui précède; mais, en raison de l'importance des applications, il peut être utile de le rappeler tout spécialement ici Ç).

Dans une tranche quelconque d'un tel corps, il n'existe à proprement parler que les tensions t^., t^., t.,, les autres étant d'un ordre supérieur de petitesse. De ces trois tensions, les deux premières agissent : V sur la section transversale de la tige, parallèlement à ses deux axes principaux; et 2" parallèlement à l'axe de la tige sur les sections longitudinales que déterminent des plans passant par cet axe et par chacun des axes principaux de la section transversale. D'après les équations (176 a), § 48, p. 411, ces trois tensions ont les valeurs suivantes, dérivées de celles (65), § 25, page 150, en y faisant 6^ 0 [70 a, §24, p. 156] et où nous remplaçons la fonction Q par sa valeur (178 a), page 415, Q = bß^ 4- hß^ + bß,, ou (68 a), page 155 avec 6 = 0:

>..=^\K^-h [,|V(g- 3,)|j- (| - o)*,..+4t + ^ §+*, ti-

ou bien, en remplaçant les coeflicients a, «^ «,, b^ par leurs valeurs

(178), a= j^, a^ = — g^; (môme g 48; page 415) en fonction

des composantes A, B, C ainsi que des couples A', B', C de forces, et de ce qui dépend des dimensions transversales de la tige,

Gi CV SB,. AT .y-' /E ^ \ir- fß, . EUG'/ ^BÄ B r 7/ä /E . \.i-' [B.,

^^=G-.)p(-^-ä)-;;^hi+(G-'%-T7

Bf/E \ êB,

G "^Fy-T-:

Ç) Oïl a vu. aux Notes du cominencemeiU et de la iiu du g 37, (lue la détermination des lensions intérieures n'importe que loisqu'eJle peut conduire a celle des plus grandes dilatations. Car c'est en limitant celles-ci que L^'ctablissent les vraies conditions de résistance permanente à la rupture.

650 CH\r. IV. — TIGES MrSCES.

Rappelons-nous maintenant que la fonction B^, est du second ordre de petitesse; que B^, B^ sont du tioisièuie ; que leurs quolients différentiels sont respectivement d'un ordre inférieur d'une unité, et que •/., A, - sont du premier ordre ainsi que ./•, >/, :. Il résulte que C, du

même ordre que B' est très petit devant R':^, : que .r', //', xz, xy, sont

très petits devant .7% //, etc. I.e système se réduit alors, en négligeant les termes d'ordre supérieur de petitesse, à

cB

ex

Ces termes sont en général les seuls à conserver. En certains points particuliers seulement, où la courbure de la tige change très rapidement, et dont il a été déjà fait mention au g 49, on devra, de plus, conserver les termes dépendant de A et de B. Au contraire, pour des tiges qui demeurent à peu prés rectilignes, il pourra être nécessaire de conserver, dans l'expression de t,., le terme dépendant de C lorsque la tige sera soumise à une tension longitudinale relativement importante. On écrira alors

Si on remplace les moments A', B', C par leurs valeurs tirées de

(187) en fonction de r,, ]\^, v ou (§ 54) des inverses - > — des rayons de

codfbure et de l'angle - de torsion ou de rotation relative des sections.

rapporté à l'unité de leur distance, on a :

Les deux dernières tensions disparaissent, comme on voit, avec la torsion.

te>siol>s a l'imérieur des tiges. 651

Dans leccis rie la flexion simple, il ne reste donc, en général, dans rintérieur de la lige, que la tension longitudinale t.,. Cette tension se

compose de deux parties, l'uiu! - provenant de la force longitudinale

C, et qui est commune à tous les points de la section transversale ; et l'autre

^.9i pj/

qui disparait sur l'axe longitudinal delà tige pour croître en allant vers la périphérie de la section, mais suivant des proportions dilTérentesdans les diverses dircclions. La tension la plus grande se trouve donc sur la périphérie de la section transversale, en un point qu'il serait facile de déterminer au moyen de cette formule.

Si, en particulier, la tige reste presque droite, et si l'on désigne par u, Ü, les petits déplacements des points de la ligne des centres de gravité dans des sens parallèles aux axes x, y, on a, d'après le § 54, formules (:208f/), p. 450,

1 L'ii

et par suite :

formule applicable à la flexion des tiges minces, et qui se transforme en la formule usuelle, lorsque l'on considère isolément l'î/ne des deux flexions m, v.