CHAPITRE V

§ 64. — Principes généraux de la théorie des plaques minces.

La théorie d'une plaque élastique mince (*) s'établit de la même manière que celle d'une tige mince, que nous venons de développer (§§47 à 50). Nous partirons, ici encore, de celle considération fondamentale que, pour l'équilibre intérieur des éléments, on peut négliger les forces extérieures, telles que la pesanteur, agissant sur l'intérieur de la plaque. Nous exprimerons d'abord les conditions de continuité de ces éléments en portions Unies, mais très petites, dans lesquelles la plaque sera supposée partagée ; puis, en déterminant les conditions de Vèquilibre extérieur de chacun d'eux, nous arriverons aux équations l'équilibre de la plaque entière.

Imaginons, dans l'espace, trois axes de coordonnées x\ y', z-', placés de telle manière que, dans sa position primitive, la surface médiane d'une plaque donnée coïncide avec le plan x' \j' . Soient «, 6, les coordonnées x! , y d'un poinL de cette surface médiane. Par ce point, considéré comme origine d'autres coordonnées x, y, z, menons un système d'axes des a?, y, z, parallèles aux premiers, et qui sera employé seulement pour les points voisins de (a, b). Supposons ensuite l'axe des x de ce second système invariablement lié avec un élément de la ligne matérielle menée par le point (a, b) parallèlement à l'axe

(') Les équations exactes pour les petits déplacements et les petites vibrations des plaques mince sont été données eu premier lieu par Kirchlioff dans le Journal de Grelle, tome40. l'ius lard, à la suite d'une remarque qu'il lit (Journal de Grelle, (. \LVI) au sujet de la méthode employée par Gehring dans sa disserlalion inaugiu-ale (thèse de doctorat) de (njualioiùlm; differenlialibus quihus (rquilibriiim et moins Unninœ crislallinœ drfiniunlur (Berlin). Kirclihol'i étendit ces équations aux corps cristallins (non isotropes). On n'a pas encore traité. jus(iu'à présent, les courbures ou les llexions finies de ces corps (Note de CIcbsch).

M. Kirclihotl, au mémoire cité du t. XL de Grelle, qui est (1(! lSiS-l<sr)0, et dont un extrait a paru au Complc loidu de Paris (17 ilécendiro 184!), p. 7.^"») partait (i(> la supposition, déjà faite par Navier en iStiO, (jue les lignes matérielles primitivement normales aux faces de la plaf|uo leur restent normales. M. Gehring, sou élève, s'est passé de cette hypothèse en opérant comme on va voir.

§ 64. — l'LAQUfcS MI.NCES. l'IlLNClPES GK.NEÜALX. 655

des x\ de telle sorte qu'après une flexion ou déformation quelconque de la plaque, cet axe des x suive la ligne ainsi tracée, supposée faire partie du corps. Supposons de même le plan j- xj invariablement lié avec l'élément matériel de la surface médiane, de manière que ce plan puisse bien glisser dans le plan de l'élément, mais sans cesser de coïncider avec lui. Menons alors, par le point a h, dans la surface médiane, avant tout déplacement, deux éléments de ligne da, dh, parallèles aux axes des x', y'. Après une déformation quelconque, le système des axes des coordonnées x, y, z devra s'être déplacé de telle sorte que l'axe des x coïncide toujours avec l'élément matériel da, et que l'axe des z soit toujours perpendiculaire au plan matériel de da, db.

Dans ce système de coordonnées mobiles, soient maintenant a-, y, z les coordonnées primitives d'un point situé très près du point [j/ =a, y' =6), en sorte que x -{- a, y -^ b, z soient les coordonnées primitives x', y', z' de ce nouveau point dans l'espace, ou par rapport au premier système d'axes. Après les déplacements, le point {a, b) aura, par rapport aux axes fixes, des coordonnées que nous appellerons ^, y;, 'Ç. Le système des axes x, y, z s'est déplacé en même temps comme il est dit ci-dessus, et le point qui, dans ce système, avait primitivement les coordonnées x, y, z, y a maintenant des coordonnées que nous appellerons

lU.

Considérons d'abord ce qui se passe dans l'élément de la plaque qui est voisin du point {x'=a, y' = b) devenu [x' ^"z . y' =^r,, -•'=:':).

La relation du système mobile des x, y, z après le déplacement, avec le système fixe des x' , y z' s'exprime au moyen des équations suivantes pareilles à celles (179. c) du § 49, page 417, attendu que I, •/], l sont les coordonnées de la situation nouvelle de l'origine des X, y, z '.

!x'z=\-^ a, (./• + II) + a^ (// + v) 4- a (^ 4- ii')> y' = r.-\-'^j, {x 4- m) + ^, ( ^ -f- 11 1 -h ;i (; + w) , i' = C 4- Yi i-c 4- u) 4- ï. (y 4- v) 4- r fc; + ic).

Dans ces équations, x', y', z' désignent les coordonnées, pnr rapport aux axes fixes, du point (r, y, z) après son déplacement et a, ß, Y> X,,...,. sont les cosiims des angles formés avec les axes fixes

des x', y', z' par les'axes .r, 7, z déplacés, en sorte qu'on a

Oj = cos {.v,x') , ßj = cos {x,y'), yj == cos (.r,i'). a, = cos(î/,.c'), ?2=<ios(j/,?/'), Y3 = C0S(//,^'),

a = COS (-,.*'')' [i = c"s (s,?/'), r =^ cos (^,3')-

Entre ces neuf cosinus existent les relations (181) et (182)

Les ^, y;, ;; doivent être, comme ces neuf cosinus, considérés comme des fonctions de

qui étaient les coordonnées [)rimitives x ij de l'origine des coordonnées du système x, y, z se mouvant avec les éléments de la plaque. Le problème de la déformation de la plaque sera entièrement résolu si l'on détermine, pour tous les éléments, ces diverses quantités, ç, r^, ç, a, ß, Y, a^,.... en fonction de 0 et h.

Dans le déplacement, l'élément linéaire da a subi une légère dilatation ; et il est devenu, par exemple

da (1 + î) )

^ il'

t^ étant une très pelite fraction; de môme (Ih est devenu

r//Wl-r-ï^;i

?j^ étant aussi' une très pelile fraction numérique, ("es deux éléments de ligne qui, primitivement, étaient perpendiculaires l'un à l'autre, ne le sont plus, en général, après le déplacement, et ils font entre eux un angle

g désignant uji angle liés petit qui est ce que nous avons appelé jusqu'ici un glissement. Nous pouvons exprimer de deux manières dilférentes la position des extrémités de ces éléments linéaires. Le premier élément après le déplacement, coïncide toujours avec l'axe des x, en vertu de la défmition même de la direction de cet axe mobile. Ses projections sur les axes fixes des x\ ?/, z' sont donc respcctivemeni :

(232a) a,r/a(H-?J, |i,r/« ( I 4- c^J , y^rfrMl 4-c^>

l 64. — GOOHDO>NLtS A ülUGINES DIVERSES ET MOBILES 655

L'autre élément db^ en vertu de la définition adoptée pour la direction du plan mobile x y, est resté dans ce i)lan. Pour avoir ses projections sur les x', \J , z', nous coinniencerons par le projeter sur l'axe des '/ dont il s'écarte de l'angle ^ , et nous projetterons, sur les trois

ab

axes fixes x', y' z\ la ligne brisée formée par les deux côtés du triangle rectangle dont cet élément dh est l'Iiypothénuse. Si nous considérons que, vu la petitesse de l'angle g dont s'est rétréci l'angle primi-

ab

tivement droit de da et de dh, on peut poser cos g = 1 , et sin g == g ,

ub ab ob

les deux côtés de l'angle droit de ce triangle rectangle sont db {[ -\- d^) etg^^ db (l + i^^). Le premier, qui est parallèle à l'axe

des */, l'ait avec les axes fixes des angles dont les cosinus sont a,, p.^, v^: le second, parallèle à l'axe des x, forme, avec les mêmes axes, des angles dont les cosinus sont a^, !i^, \\. Les sommes des projections de ces deux côtés sur chacun des axes fixes seront égales aux projections de l'élément sur les mêmes axes x', y', z' . Ces sommes sont respectivement :

Mais nous pouvons aussi considérer les extrémités de ces éléments comme origines de nouveaux systèmes de coordonnées analogues aux .r, y, i, et correspondan t, non plus au point {«, 6), mais à des points voisins qui auraient pour coordonnées

l'un a H- da , b,

l'autre a, b-\-db.

Comme le point dont les coordonnées primitives étaient a, b par rapport aux axes fixes, a pour coordonnées actuelles;, r,, 'C, celles de ces nouveaux points par rapport aux mêmes axes fixes sont

'.-r-'-r^da .

et les projections, sur les axes fixes des x', y\ ;*', des lignes joignant le point {q, y;, s) avec ces points, c'est-à-dire les projections des éléments da, dh déplacés, sont respectivement

oç , ex, , ok ,

y^ da , y=r- da, „— da ,

oa C'a c)a

OiZ ' ''■ -^

•^7 db , ^rj- db , -ô^dh.

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er, , v; -h 7— da , oa

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; -f- TT db , ob