CHOC LONGITUDINAL. — SOLUTION COMPLETE
substitution, des valeurs do /'K — 'ia=^^ 1 et /"' K — -fl = Q ), qui,
étant substituées à leur tour dans la seconde pai'tie du deuxième membre de la promotrice (v), donneront, pour le premier membre, la valeur de /"(Ç) pour i; — 2a entre 2a et 4a, et, par conséquent, pour ■; entre 4a et 6a, ou ce
que nous appelons /"(!:=: . j. 11 faudra, encore ici, ne pas oublier que les
quantités /''(^ — 2a), f{x, — 2a) sous le signe /, n'existent que depuis K — 2a=:2a et, par conséquent, depuis ^ = 4a. Les intégrations par rapport à ':: ne devront donc être effectuées qu'entre 4a et ?.
Nous obtiendrons ainsi l'expression (-'") de /'[:;= . j; d'où, en diffé-
rentiant, celle de f (ï), que nous exprimerons ne convenir exactement que de 4a H- £ à 6a, ou n'être point applicable pour :; = 4a ; vu qu'elle excéderait de ±-, d'après ce que nous venons de dire et comme on le vérifierait
Cl)
immédiatement, la vraie valeur de /''(4a) obtenue en faisant ç=4a dans celle f (^ ^ j qui précède.
Nous obtiendrons de la même manière fi ^^ \ et sa dérivée, ce qui
nous suffira généralement, comme on verra, sans pousser plus loin. D'où ce tableau, en tête duquel nous mettons les valeurs de f{0) et f (s) pour embrasser ce que Young a trouvé et que nous avons démontré ci-dessus pour l'effet produit dans le premier élément du temps qui suit le choc, et qui s'applique aussi bien à la barre libre qu'à la barre assujettie :
(Z) /•(!;= 0 ou <0)=:0, f(? = s)=-; {^') f f
PC
^=2a) =[l'expression(.'),enJ;,de/Jrt:|'^[-l-f (^l-l-2^^j T^^^J, •(^^^"V [l'expression [z'), en Ç^def] ±: Vl-2^^=^) c~<^^~;
==[lexpr.(.")]±-[l-4Q-^ + 2^-,(^-^j Je « :
Ort
4ö-fs
PÇ-éaj
Q fl
480p CIIAP. IV. — Tir.ES MINCES. — KOTE DU § CO.
Ces formules, cii y fnisanl r = .,;/, fournissent, par leur substitution dans ip) u = f{o}t — 2)zî=/'(w/-f-< — 2a), la solution du problème des états successifs de la barre tant qu'elle reste unie au corps qui l'a heurtée.
10. Dilatations ou contractions. Instants où elles deviennenlniiUes àV extrémité heurtée et oii, par coméquent, le choc se termine. — Nous avons à déterminer, au moyen de ces formules : 1» quels sont les instants, variables, comme on va voir, avec le rapport ^ des poids heurtant et heurlé, où
cessera l'union de la bane avec le corps heurtant, et où le choc, comme on dit, finira; 2" quels auront été les plus grands déplacements du point heurté ; 5" quelles auront été, surtout, les plus grandes valeurs de la con-
du traction ou de la dilatation ■^, jusqu'à cet mstant et même un peu après ;
et, par conséquent, quelles seront les conditions, aussi variables avec le rapport de Q à P, à poser pour assurer la conservation de la contexturo et de la cohésion de la matière, qui exige que cette déformation ne dépasse pas une certaine limite dépendant de sa nature propre.
La réponse à la première de ces ti-ois questions, celle de la séparation des deux corps heurtant et heurté, se trouvera dans une détermination de l'instant du changement de signe, à leur point de jonction :s = 0, de la dérivée
— , ou ce fini revient au même, de l'action mutuelle ( Eff-^r 1 des deux
corps; car si le corps Q, ayant pressé ou tiré la barre, cesse de le faire, il n'y a plus de raison pour qu'il lui reste uni, ne lui ayant été que juxtaposé ci non soudé ; en sorte que l'instant de la fin du choc sera doimé par
— t*„ = — (^ ) =0. Tirons donc des i%), (:s'), (i") les valeurs cor-
respondantes de la dilatation
expression où nous ne conservons que le signe supérieur du second terme, vu que nous nous occupons spécialement du cas où la barre est fixée ou assuji'llic au bout non heurté (*) ; nous aurons ces équations où C pourrait être couvenableuient remplacé par w/, et dont les premiers membres sont, comme les derniers, des (|uantités positives :
(*) Dans le cas de liberté des deux bouts de la barre heurtée, il faut prendre les signes inférieurs dans les expressions à double signe, et on a, par conséquent, — 3 = /"' (ç) — /"(ç — 2c/). Los expressions (rt,), («,),.... de — ?o seront les mêmes tjue dans le cas examiné d'assujettissement du bout non heurté; et comme elles sont toutes deux de même signe, on voit que la séparation n'aura toujours pas lieu entre le début w/ = 0 et l'instant utt = la où l'ébranlement aura parcouru la barre aller et retour. Mais on aura pour {(i[\ particularisé en faisant Ç = w<=^2r/4-£ et donnant le signe — au second ferme, qui sera alors
r 2(1 + g - c ^ " , puis en négligeant - devant I
— ?„(pour w< = 'J« + £)=V6- ^\{
CHOC LONGITUDINAL. — SOLUTION COMPLÈTE. 480 q
{«.) . Au début:- 00= (fl) =n^=^)=^-
SP? — Sa^ ""
:[lexpress.on(«J]+-e Q'|2-10--^ +8^-(^-^j -K"^) J ^*
1° L'expression {a^) n'offre autre chose qu'une nouvelle confirmation du théorème ou de l'intuition de Th. Young relative à l'effet de début, ou du premier instant du choc.
On voit du reste que : 2° Dans le premier intervalle, à savoir de f = 0
2rt à f = — , le signe de — t)^ reste constamment le même, et ce signe est celui
de V. Aucune séparation n'a donc lieu dans cet intervalle-là, ou pendant le temps qui s'écoule entre le premier instant du choc et l'instant où l'ébranlement, c'est-à-dire la tête de son onde élastique, est revenu à l'extrémité heurtée z=:0 après s'être réfléchi à l'extrémité non heurtée z = a.
û^Bien que le facteur entre crochets de la o^ expresssion, ( a^ ), décroisse
constamment de sa première valeur qui est 1 H- 2 ( 1 -je '■! , répon-
dant à i; = 2« + a, à la dernière 1 + 2 M — ^ (i) ^ '^ il "c s'annule et ne
Comme le signe de cette quantilé est toujours contraire à celui de (r/'J que — c'o avait dans tout l'intervalle précédent, u>t de 0 ou £ à 2a, ou voit que, si la barre hetu-tée est libre, la séparation a toujours lieu immédiatement après l'instant t=^— où. l'ébranlement a parcouru une fois aller et retour la longueur de la barre ; résultat auquel nous étions arrivé d'une autre manière en 1866 dans notre mémoire sur le choc de deux barres, n° 11, page 555.
(*] Ces valeurs de — Dni multipliées par --—5 satisfont, en les retranchant des -^r^ tirés de (p) et des (;) à (3'^), à la condition (7) d'extrémité ^ = 0, avec zéro pour second membre.
50 tc7\
480 r CIIAPIV. — TIGES MINCES. — .\OTE DU § 60.
change de signe avant que C atteigne sa deuxième limite Aa qu'autant
que l'on a
Écrivons 2 ( 2 p: — lie *-' > 1 celte inégalité; prenons les logarithmes
(vulgaires) des deux membres et traitons-là, en mettant = au lieu de >,
comme une équation à résoudre numériquement. jNous en tirerons 2-
= 1,15710; d'où la condition suivante de séparation, entre les temps /= — ,
/ = — , où le son a parcouru deux fois et quatre fois la longueur de la barre;
(cj ^j = 0,578595, d'où p =1,7585.
4° Si, au contraire, la masse heurtante Q est > 1 ,7283 P, ou si P <0, 5786 Q, le choc ne se termine qu'après le temps / =4-. Considérons donc l'expression suivante (a j"), qui est celle de la dilatation— ?„ dans l'intervalle de w?= Aa + t à w/ — Oa ; nous aurons la condition pour qu'elle change de signe dans ce laps de temps, ou pour que le choc se termine avant le temps
tz= — , si nous exprimons que celte expression devienne négative en y faisant
V '-- U=^(ja ; ce qui donne, en divisant par ~ e~^ " > facteur toujours positif:
2P En remplaçant < par =, elle donne —=1 0,4818; d'où la condition
pour que la fui du choc ait bien lieu entre les instants I = — et — -
(a'AIc conclusion est exacte, bien que l'équation transcendante qui donne
2P (r/j) avec =au lieu do ■< puisse avoir d'autres racines que — = 0,4818.
En effet , comme l'observe M. Boussinescj dans une discussion circonstanciée, la première jku lie l-l-2( 1 — ' " j e '*' de l'expression [a^), débariassée du facteur -e~, diminue évidenunent sans cesse ({uand Ç :=: w<
