CINÉMATIQUE DES ÉLÉMENTS DES PLAQUES

indépendantes, a, b, au lieu de la seule variable s. Nous déduirons d'abord facilement, des relations (252) les systèmes suivants, où nous avons introduit des notations nouvelles r^ r,, r^, s^, s^, % :

t'«. , p (Pi

- c a la ca

ca c'a c'a

c^a ' la l a

ca ca c a

1 ri 1 il'/ ' * 1 '^ /

t«î L ft <^P2,^ *^^2 A

t'a , „ ^P , c^Y rt

Fb^^rb^'Tb=^'

'>■ t, — h ß -? — rt -c-

ta ca ' oa

r Cri (~

'i ^. + 1^1 T-. + Yi r-

^Yi

'^T^ + ^Iô +^î6) = '-

'' Ib^^' Ib^ '' Ib

c Cr, (^

^'- hb^'' ib^^'- ib

Nous pouvons encore remarquer que, d'après ce que nous avons dit sur la double manière d'exprimer les projections des éléments Jrt, àh, les quotients différentiels des coordonnées x\ y', z' d'un point déplacé doivent être les mêmes par rapport à a, b que par rapport à X, y. En effet, dans sa position primitive, un point du corps a les coordonnées x -\- a^ y -\-b, z\ donc x , y' , z peuvent être considérées comme fonctions de ces trois grandeurs; et il doit par conséquent être indifférent de différentier x\ y', z' par rapport à x ou par rapport à a, par rapport à ?/ ou par rapport à b.

Si nous faisons ces deux différentiations comme nous avons fait celles du § 49, c'est-à-dire si nous différentions u, v, w, ^, r„ ^ et les

cosinus a, '^ par rapport à « et à b, mais u, v, w seulement par

rapport ä x el h y, vu que ç, y;, ^ et les neuf cosinus ont les mêmes valeurs pour chaque élément da db de la plaque, et si nous égalons les résultats des deux différentiations soit de x\ soit de ij, soit de z' [form. 251] ainsi faites, nous obtenons six égaillés qui en fournissent facilement six autres plus simples en ajoutant ensemble soit les

058 CHAP. V. — PLAQUES MINCKS.

trois premières, soit les trois dernières multipliées par a^, ßj, Yj, et faisant de même après des mulliplicalions par œ^, ß^, v^puis par a, ,3,v,

et ayant égard aux six expressions (253) de ~, -rj, encore analogiquement à ce que nous avons fait au § 49 relativement à la tige. Ces six dernières égalités, analogues aux formules (186) page 420, sont : .

ÛU ou , / , s -, , , ■^

-,!-- , y ^^' OV , , , V , . V

^ ") \ Yx^lki'^ '"' ^" "^ "'^ "~ ''° (^ + ") • IF "^ IvT "*" ''- ^'"^ "^ "^ — ''i (y + ^') ■'

du c)u , , , , /, -. X

(255 b) ( ^ = g + s, (2 + îf) - So (.r + u) H- S^ ,

Laissons de cû(é le cas où la courbure de la plaque changerait très rapidement, et qui nous conduirait à des considérations analogues à celles que nous avons développées pour les tiges ; nous pouvons alors simplifier beaucoup ces équations, qui dans leur forme générale cidessus n'auraient besoin d'être appliquées qu'à des points singuliers des plaques. Les équations (255 «, h) ne doivent s'étendre qu'à de très petits espaces à partir de l'origine variable des coordonnées; X, y, z sont donc toujours des quantités très petites, et n, v, w sont très petites par rapporta elles; la différcnliation de u, v, iv par rapport à .>', y, abaisse en général d'une unité l'ordre de petitesse de ces grandeurs en y supprimant un facteur très petit, tandis que la différcntiation de ces mêmes quantités par rapport à a, b, qui sont des grandeurs finies ne change pas l'ordre de leur grandeur. Donc, en général, les ([uoticnts différentiels par rapport à a, b, seront très petits vis-à-vis de ceux qui sont pris par rapport à .r, y, et pourront être négligés vis-à-vis de ceux-ci ; si de même nous négligeons u, v, w vis-à-vis de x, y, z et le produit g^^^ d^ vis-à-vis de g j, nous obtenons le svstème suivant :

;§ 65. — CINÉMATIQUE DES ÉLKMEMS DKS PLAQUES. 659

iu , - fil

(^2ô6) ; -^ = i\z — Po-r , ^=s^z — s,x -f ?

Ces équations, lorsqu'on détermine ?/, f, w de manière qu'elles soient satisfaites, expriment que la plaque est formée d'une série continue d'éléments, c'est-à-dire que les divers éléments dont elle est composée s'enchaînent avec continuité. Comme les quantités r, s, D, g^^ ne dépendent que der/, b, et sont indépendantes dex, y, z, il est facile, au moyen de ces équations, de trouver les expressions de n, V, w, c'est-à-dire de déterminer les déplacements relatifs que peuvent subir les parties voisines d'un élément, sans que la connexion des divers éléments entre eux soit détruite.

On peut cependant encore simplifier les expressions (256) en ayant égard aux équations ('255); car on peut prouver, en s'appuyant sur ces dernières, que r^ et s^ doivent être de très petites grandeurs et que Sj ne peut différer de — r^ que d'une très petite quantité. En effet, si l'on néglige, devant 1, î»^. î)^. g, qui sont très petits, on déduit, de ces équations (255)

^ ' [;a[b~ fb^ fa ' batb^ ih ia ' fatb fb t'a' On déduit, par conséquent, de (255) avec la même approximation,

" ""■ \- tb^ '- cb^^- 'ôbj ^ - 'c(i '- la^ •- fa

Les deux derniers membres de ces équations sont nuls d'après la seconde et la troisième des mêmes équations (255) déduites de

Les quantités r^, s^ sont donc de l'ordre des î^^, î)^,, g^^, que l'on a négligés en tirant (257) de (255).

(*) Voyez § 49. les fovrnulo? analognos (18G h) et la note à la suite.

Ces mêmes équations (237) donnent :

c'est-à-dire