IV
On peut donc, comme nous venons de le dire, en négligeant les grandeurs d'ordre supérieur de petitesse, poser, dans les équations (256),
(258) ro=0, Sji^.O, s, = — r,;
et alors ces équations (256) deviennent :
c)u , ^ eu ,
cw ow
dans lesquelles on n'a négligé que les grandeurs 1res petites du second ordre. Ces équations (258 a) donnent immédiatement, par intégration, en appelant
des quantités indépendantes de x et de tj, mais fonctions de :, a, h,
n = — v^x + \\zii + ?^.r -f- ^ji 4- M„ , (*)
V = r^zx + s^zij -f t^^/y + r, .
x'- If- .
î" = Ta 9" — rr^.'/ — Si 77 + '^'o
Ces quantités ?/„, v^, ?/>„ sont soumises à certaines conditions géométriques résultant du choix du système des coordonnées .r ,?/ , ::•. En effet, le point {a, h) dont les coordonnées, dans ce système, sont égales
(*) En effet, en intégrant la 1" et la 2° (208a), on a, f cl F représentant deux fonctions ar))iti'aircs :
n^ — l\zx 4- 3a ^ + /" (^' =) , " = ^\>J' + '>^nb 'J + '* (^' = ) *.
expressions qui ne peuvent être égales à moins que F n'égale la soniiue des deux premiers termes de la première, et que f n'égale la somme des deux premiers termes de la seconde, plus, chacune, une fonction de z seul; ce qui donne bien la première (259), hq <^''''"'' cette fonction de z seul.
Et les deux autres (S'O) se dénionti'ent do l;i iiirinf nianiéi-e.
§ 1)0. — ÉQUILIBIIK IMÉniEUR DKS ÉLÉ.MEMS DK LA PLAQUE. 641
à zéro, reste encore origine des coordonnées après le déplacement. L'élément dx mené par ce point reste toujours, par hypothèse, sur l'axe des x; et l'élément rf?/, qui coïncidait primitivement avec l'axe des y, reste après le déplacement, on vertu de la seconde hypothèse, dans le plan tjx. Donc ?/, r, iv doivent s'évanouir simultanément avec x,7j, z; de même v et w doivent aussi s'évanouir pour x = <Ix, y^O, 2 = 0; et enfin w doit aussi s'annuler pour x = 0, y = (1y^ ;:-^0; ou en d'autres termes on doit avoir
(259 fl) ] ex ex c y
( pour ,*:=:0, y^O, i = 0.
Lorsque l'on introduit ces conditions dans les équations (259) on voit que les quantités v^, v , lu , qui sont, avons-nous dit, fonctions seulement de z, a, b, doivent s'évanouir avec z, et que, par ce fait, toutes les antres conditions se trouvent remplies d'elles-mêmes.
§ 66. — Équilibre intérieur des éléments de la plaque.
Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que la connexion des éléments successifs de la plaque, et ce qui précède (§ 65) n'est que de la pure géométrie, ou l'étahlissement de relations entre les diverses quantités qui dépendent de sa déformation.
Abordons maintenant la question statique ; ou exprimons que les valeurs (259) de ii, v, iv satisfont aux équations de Téquilibrc intérieur de chaque élément. Pour cela, la matière de la plaque étant supposée de contexture symétrique par rapport aux trois plans rectangulaires des 7/2, zx, xy dont le dernier est parallèle à ses bases, substituons les valeurs (259) dew, v, w dans les formules suivantes, où a,b,c,d,e,f, d',e',f' sont des constantes dépendant de la nature de cette matière; formules qui expriment les composantes des tensions agissant sur l'unité de superficie des faces, parallèles à ces plans, d'un parallélépipède infiniment petit faisant partie d'un de ces éléments :
eu eV ^ ,ew ^ . fev eu
ex ey et- !'^ \c z èy
P39a, ( t„ = fg+bg+d'|ï;, .„ = e(gH-|
,oU , .,ev , ew ^ „feu ê^v\
-~^ ex ey ez' ^'J \ey exj ^'
(') Ce sont les lormules [g] de la Note de la lin du § 16. Leur emploi donnera des expres-
Cette substitution des (259) nous donnera, en écrivant simplement
g au lieu de g^^^ ,
oi\
D'après ce qui a été dit § 47, on peut faire abstraction des forces extérieures agissant sur l'intérieur de l'élément. Par conséquent les équations de l'équilibre intérieur sont simplement [§ 12, équations (24)]
Cit C^i l^i
ex cy cz
.ot. Cl ct„
—d^ 4 dL j - = 0 .
c'X oy cJz
Substituant les (259 &) nous aurons les équations simples
t'Vn
cZ- OZ'
6W„ oV. ,
Les deux premières équations montrent que -^ > -^ sont des quan-
tités constantes. Par suite, les composantes de tension t , t le sont aussi; et la troisième montre que la composante de tension t est également conslanle.
sions à peu près aussi simples que celles de Clebsch, qui s'est borne, ici comme ailleurs, au cas excessivement rare d'une Isotropie complète.
Pour les plaques d'épaisseur Unie, considérées au % 59, nous avons été oblig;és de nous borner aux formules (//) applicables quand la contexiure est la même dans tous les sens transversaux ou parallèles aux xij, car ce n'est qu'à celle condilion que la belle solution trouvée iiar Ciebscli peut être donnée; mais, pour les plaques cxtrênienient minces dont il est ici question, nous pouvons, excepté au g 70 à partir des formules ('272), ainsi qu'aux es 71 et 72, embrasser, sans plus de complication, le cas plus général de contexture simplement symétrifiuc en trois sens.
Et on pourrait même facilement l'élendre, d'après ce qu'on a vu à la même Note, au cas de symétrie par rapport aux seuls plans pai;allèles aux deux faceà de la plaque..
§ C)(). EXPRESSIOiNS GÉNÉRALES DES DÉPLACEMENTS ET TENSIONS. 645
Or, à la surface libre de l'élément, qui est parallèle au plan xij, il ne peut exister aucune tension extérieure, puisque d'après les hypothèses que nous avons constamment faites, aucune force extérieure ne doit agir sur cette surface (*).
Il en résulte que les tensions t , t , t , sont nulles sur cette surface,
et que, puisqu'elles sont constantes, elles sont nulles partout. On a donc
ou
cv,
De ces nouvelles équations, il résulte que u^ et v^ eux-mêmes sont constants; ils sont par conséquent nuls, puisqu'on a vu à la fin du § précédent qu'ils doivent s'évanouir pour 2 = 0. Quant à w^,'û doit aussi disparaître pour z^O. En tenant compte de cette condition, et en intégrant la dernière des trois équations qu'on vient d'écrire, on obtient la valeur de ii\ et l'on a ainsi
Substituant dans (259) et dans (259a) on obtient, pour 11, v, iw, et pour les tensions, les expressions définitives :
u—-~ v^zx -f T^zy -f- Tix + g// , w = r
/|-'V-^-s,f-^(e^-l-d?J.+ (d's -e'rj|] .
