DU \ C J

(*) Ces hypothèses de nullité des actions sur les bases de la plaque n'ont été faites à aucun endroit, au § 04 et au § 65. précédant celui-ci. et relatifs aux plaques minces.

L'auteur se reporte donc, sans aucun doute, aux suppositions qu'il a faites dans la première partie, §§ 59 à 46, sur des plaques d'épaisseur finie; il a ainsi l'intention de ne traiter encore, ici, que des plaques qui ne sont soumises à des pressions ou tensions extérieures que sur leurs faces latérales cylindriques.

Voyez plus loin le § 76 où il suppose la surface supérieure sollicitée par un poids unique, posé en un seul de ses points, tout le reste étant libre ou sans pression.

64 i CllAr. Y. PLAQUES MINCES.

formules dont la o", la 4'', la 5' el la 6% si la matière de la plaque était

isotrope dans les sens latéraux, cas où l'on a, Note du § 16,

a = b=2f+f , d'=e', et d'après ses formules (::•), p. 84, - = '

a = a, = -, T. 1 1 = -r—i r: '1 ^= ■;; r. seraient :

11 convient de remarquer que les états représentés par ces formules sont compris dans ceux qu'expriment les formules générales (150) de la première partie, p. 501, qui ont été trouvées pour w, v, iv au § 59 où l'on s'occupait de plaques d'épaisseur quelconque sollicitées sur leurs faces latérales cylindriques.

Si en efïet, dans ces trois formules (150) du g 59, on pose

t = -^— (*- — //-j — r,.cy , C = -^ (sj — r.) ,

on obtient identiquement les trois premières expressions (240). On voit donc que les considérations générales qui ont été développées alors trouvent ici leur application à un élément de la plaque. L'élément est soumis seulement à des efforts de tension qui sont parallèles au plan de sa surface médiane et à des couples dont les axes sont situés dans ce plan. Cela ne veut pas dire absolument que les tensions ou les forces agissant sur le bord, et qui auraient une autre direction, doivent nécessairement être nulles; mais elles ne peuvent avoir que des valeurs susceptibles de produire seulement des déplacements d'un ordre supérieur de petitesse relativement aux autres. Cette observation est importante pour l'application des formules qui viennent d'être développées. Si nous considérons le bord de la plaque, les forces qui y sont appliquées peuvent avoir pour effet de la faire llécliir de manière que les foiccs extérieures se trouvent [)anillèles à lu surface médiane, et alors les formules précédentes sont applicables. Mais s'il

^07, — TVPK nE LA FOIÎMF, APPROCHÉE DE LA SURFACE MÉDLVNE. 045

n'en est pas ainsi, et si les forces appliquées sur le bord de la plaque lui sont perpendiculaires, et ne sont pas cxtrèinenienl petites (d'ordre supérieur), il se produit des points singuliers où la courbure change rapidement, et que nous no considérerons pas ici. Dans le § 51, nous avons indiqué un résultat analogue pour les tiges.

g 67. — Forme approchée de la surface médiane de la plaque. — Elle constitue une surface développable. — Détermination du type général de la forme qu'elle affecte.

Les équations (255), 7^=:z, (1 H-<) ), Vr^ (?■ +i.'x ) (I +?,). . . .

page 656, bien que purement cinématiques, et où z,r^,'C, sont les petits déplacements du point x =a, y' = b pris pour origine, sont de la plus grande importance. Elles permettent en effet de déterminer d'avance et sans attendre l'établissement ultérieur des conditions d'équilibre, le type général des formes que peut affecter la plaque courbée, au moins avec une première approximation. En y négligeant les grandeurs d'ordre supérieur de petitesse, à savoir les ö et g devant 1, ces équations se réduisent à

oa ou

01 Si

0a~^' ' Tb

Si donc nous parvenons à démontrer que ces équations ne peuvent être satisfaites rigoureusement qu'autant que la surface médiane de la plaque courbée affecte la forme de certaines classes de surfaces, nous pourrons affirmer que la forme réelle de cette surface médiane ne peut différer qu'infiniment peu d'une de ces surfaces ; et lorsque nous aurons déterminé la forme qui résulte de ces équations, nous pourrons avoir une seconde approximation en y introduisant de très petites modifications qui représenteront l'influence des forces agissant à l'intérieur de la plaque. Et même cette seconde approximation n'aura pas un intérêt essentiel en ce qui regardera les déplacements finis. Lorsque l'on aura déterminé les tensions, il suffira en général, pour obtenir le changement de forme de la plaque, d'avoir la première approximation ; et il ne sera nécessaire de passer à la seconde que si

646 CHAP. Y. — PLAQUES MFKCES.

la première indiquait que la plaque reste plane, c'est-à-dire s'il ne s'y produit que des déformations très petites (*).

A cause des relations qui existent entre les six cosinus appelés a,, ßf... les équations (241) peuvent être remplacées par les suivantes :

la \oa

ê)a m ~^ Sa m '^ SaE)b~

Ces équations ne contiennent plus que ^, y), Ç. Elles ne représentent rien autre chose qu'une surface développable de la nature la plus générale. Cela peut se démontrer directement par une intégration des équations (242) ; mais ici il n'est pas nécessaire de recourir à l'intégration, et on peut se convaincre de l'exactitude de ce fait par des considérations tirées de la nature même du sujet. En négligeant les quantités 2»^, ()^, g, c'est-à-dire en nous bornant à la première approximation, nous avons implicitement fait l'hypothèse que, dans la surface médiane, tous les éléments conservaient les mêmes dimensions et les mêmes formes. Sans aller plus loin, nous pouvons reconnaître que la surface primitivement plane ne peut se courber dans ces conditions que si elle est pliée suivant certaines droites qui, de leur côté, conservent absolument leur forme rectiligne. Nous devons, ainsi, nous figurer, dans la surface médiane de la plaque, un système de droites qui demeurent droites après la flexion; et, pour qu'il ne se forme aucun pli, il faut que ces

(')Une explication, ici, ne sera pas inutile. Les S„, 3^ représentent les proportions des petites dilatations des éléments linéaires parallèles aux axes coordonnés fixes x', y , pour chaque point (x' = a, ?/' = /') pris pour origine de coordonnées mobiles x, y,z-; et g représente les petits changements des angles primitivement droits den, b, ou (ce qui peut y être ramené) les dilatations ou contractions qu'éprouvent de petites lignes bissextrices de leurs directions. EOacer les d, g, comme lait l'auteur dans les g§ 07 à 71, c'est supposer que les éléments superficiels rectangles de la surface plane médiane ne changent ni de dimensions ni de formes: il n'est pas étonnant qu'alors on ne détermine que ses changements en une surface développable comme il va être dit. 11 n'en sera plus ainsi lorsqu'on tiendra compte des effets des forces qui, appliquées à la plaijue, obligent les éléments linéaires de sa surface médiane à changer sensiblement de dimensions et d'inclinaisons mutuelles. Comme ces changements sont toujours supposés très petits, la forme nouvelle de la surface diffère peu, ou de la forme primitive, ou de celle de la surface développable qu'on aurait sans ces mêmes changements; mais le problème complet n'est résolu que lorsqu'on a déterminé les diflérences, et c'est ce qui sera fait au .^ 72 (jue l'auteur intitule ; « Seconde approximation. Détermination des dilatations. » Cette seconde approximation est la seule qui intéresse les problèmes pratiques de résistance àe plai[ues planes fixées tout autour, car la forme de prcmièrc approximation àa la surface inédianr n'est alors autre chose ([ue son plan primitif.