ARÊTE DE REBROUSSEMENT DE CETTE SURFACE DÉVELOPPARLE

droites ne se coupent pas à l'intérieur de la plaque (*). Deux droites consécutives comprennent entre elles un trapèze infiniment petit, et la flexion se produit par ce fait que chacun de ces trapèzes tourne, par rapport au précédent, autour de la droite qui l'en sépare.

Pour établir l'équation générale de la surface ainsi obtenue, il suffit de se représenter l'arête de rebroussement de cette surface, c'est-à-dire la courbe sur les points de laquelle se coupent les droites successives du système que l'on vient de définir. Comme sur chaque droite il se trouve deux points voisins appartenant à la courbe, les droites dont on parle ne sont autre chose que les diverses tangentes à l'arête de rebroussement.

Cette courbe, qui était primitivement plane et comprise dans le plan de la surface médiane de la plaque, devient, après la flexion, une courbe à double courbure. Mais, dans les deux formes successives qu'elle affecte ainsi, les longueurs des éléments d'arc qui la composent, et les angles de deux tangentes consécutives, restent les mêmes ; et, par conséquent aussi, les rayons de courbure. Par ces deux grandeurs, les longueurs des arcs et les rayons de courbure, la courbe plane se trouve complètement déterminée; et, pour achever de déterminer la courbe à double courbure, il faut y adjoindre la connaissance des angles que forment entroeux les plans consécutifs infiniment voisins. On a ainsi les trois variables qui peuvent définir la courbe à double courbure et par suite, la surface développable dont elle est l'arête de rebroussement.

Désignons par

la longueur de l'arc de l'arête de rebroussement, mesurée à partir d'un point quelconque arbitrairement choisi sur cette courbe; par ?o' "'lo» Co les coordonnées du point de la courbe situé à l'extrémité de l'arc ç, et par), une distance mesurée sur la tangente h l'arête, menée par ce point, et à partir du point de contact. Si l'arête est supposée connue, un point quelconque de la surface développable peut être défini par les valeurs de ; et de a, puisque ce point se trouve toujours sur une tangente à l'arête, déterminée par son point de contact, lequel est défini par ç, et à une certaine distance de ce point, distance exprimée par a.

Je considérerai ;„, ri^, l^,, coordonnées d'un point de l'arête, et q qui détermine également ce point, comme des fonctions d'une même

(*) C'est-à-dire que l'arête de rebroussement de la surface développable doit tomber hors de la plaque ,

648 CIIAP. V. PLAQUES MIXCES.

variable indépendante, dont la signification pourrait, à la rigueur, rester indéterminée. Tous les poinis de l'arête seraient obtenus en attribuant à cette variable différentes valeurs. Il est possible de choisir, pour cette variable indépendante, l'arc de la périphérie de la surface médiane de la plaque, que je désignerai par s. Les quotients différentiels ou dérivés de l^, -^o, C«. ç, par rapport à la variable indépendante s, seront désignés par les mêmes lettres revêtues d'accents en nombre égal à l'ordre des quotients différentiels, en sorte qu'on aura :

(h 0 as iJ (As-

D'où, en vertu du théorème des différentielles de fonctions de

fonctions, qui donne -^r= — ^ -^, (is d: as

dço %

Tç-,"

et ces trois dérivées des coordonnées d'un point (ï„, •/;„, l„) de l'arête par rapport à son arc ç sont les cosinus des angles que forme, avec les axes de coordonnées fixes x', y', z', la tangente à l'arête, en ce point, ou la direction de X. Les coordonnées ç, •/;, 'Q d'un point de la surface, lequel se trouve sur cette tangente à la distance a du point de contact, s'exprimeront donc ainsi :

et on a, en même temps, l'équation

Cette dernière condition fait que les quatre variables ç^, t]^^ l'^,, ç peuvent être exprimées, en fonction de leur arguments, au moyen de trois fonctions arbitraires seulement (*). Et précisément parce que cette con-

(") C'est-à-dire, sans doute, au moyen de trois fonctions de cet argument, ou de cette variable indépendante s, fonctions qui peuvent être les expressions mêmes, en «, de trois des quatre quantités linéaires ?„, vjy, ç„, ç, la quatrième étant donnée (ou au moins sa dérivée étant donnée) par l'équation {'244) quand on connaît les autres. Si l'autour appelle arbitraires les trois fonctions de s dont il s'agit, c'est qu'en effet on peut, tant qu'on ne se donne pas les forces qui font clianj^er la lornie de la plaque élastique, choisir ces trois fonctions comme on veut, au moins dans certaines limites.

En se donnant (hors du contour do la phupio, avons-nous dit) la courbe ou arête de rebroussement dont les points ont Çq, •/;„. r„ jiour coordonnées, et dont l'arc est ç, on se donne, par cola seul, loule la surface ilévolojipjiblo dont les points ont pour coordonnées ç, vj, ç, puisqu'elle est forméo par reiiseniblo des lanj;ontes à cotte courbe.

Chacune de cos surlaces dével(>|ipablos. si, ooinino son arêlc, elle s'écarte fort peu du

g 07. — AliÈTE DE RKBROUSSEMEM DE LA SURFACE MÉDIANE DÉFORMÉE. 649

dition est la seule qui lie les quatre fonctious , les Irois autres conditions sont tout à fait arbilraires, ce qui fait que les équations (245) représentent une surface développable la plus générale possible. Celte surface n'est définie que par la forme de ces fonctions arbitrai! es.

Voyons maintenant quelle relation existe entre la surface développable que les équations (245) représentent, et la surface plane dont la déformation lui a donné naissance. Dans le plan de celle-ci, désignons respectivement par a, b ela„, b^, les coordonnées x', y' des points qui, après la déformation, auront, sur la surface développable, les coordonnées ç, r„ 'Ç, et Cq, •/;„, L„ ci-dessus. Les points {a^, h^) forment, dans le plan de la surface médiane primitive, une courbe qui, dans la flexion, devient l'arête de rebroussement.

Dans la transformation de la surface plane en cette surface développable, il y a, comme nous l'avons dit, deux grandeurs qui ne changent pas ; ce sont l'élément de l'arc de l'arête de rebroussement, et son angle de contingence, à la place duquel on peut considérer le rayon de courbure dont l'inverse est le quotient de cet angle par l'élément d'arc, et qui n'est pas non plus modifié. De même que les équations (245) représentent tous les points delà surface développable, de même aussi les équations

(245) a = flo + >7, h=:h,^i-l\,

représentent tous les points correspondants du plan primitif lorsque l'on attribue à a et à la variable indépendante s toutes les valeurs possibles. Et pour correspondre à l'équation (244), onafZa„-l- dbl=. d(;' , on

qui, avec (244), exprime l'invariabilité de longueur de l'élément d'arc dz,.

Désignons, dans le plan, par o l'angle de l'élément d'arc de, avec 1 axe des a ou des x', nous aurons :

da^ (Ib.,

—^ = cos & , —r^ r=z sni o, de <l:

plan x' y' de la surface plane médiane primitive, sera la solution de première approximation d'un problème de déformation de la plaque, non seulement quand les forces n'agissent que sur la surface cylindrique latérale ainsi qu'il a été supposé avant de poser les égalités ('259 b), mais même lorsque les forces de tension ou pression agissent sur les deux bases.

Seulement, la deuxième approximation, où il est tenu compte des dilatations des éléments de la surface médiane, domiera, à partir des points de la surface développable, des écarts différents suivant les deux manières dont les forces sont supposées appliquées.

(247) 2 = cos?, -^=sin?.

Différentiant par rapport à s ces deux équations, puis éliminant entre elles ■^, = -y-; ==: ç", et remplaçant coso et sin 9 par leurs valeurs (247), on a la valeur suivante de-^ = -y^ qui est, comme on

ç de,

vient de le dire, l'inverse du rayon de courbure dont ç est l'arc et d(f est l'angle de contingence :

i (1(0 tù a b" — b' a"

Le rayon de courbure doit conserver la môme valeur pour l'arête de rebroussement. Rappelons-nous la formule connue qui donne le sinus de l'angle v formé par deux droites faisant avec les axes des angles dont les cosinus sont/), q, ?% p,, qi, ?', :

(248 a) sin^^r = {qr, — rq,y- -\- {rp, — pr,y- + (/xy, — qp.y. (*)

En vertu de cette formule, le sinus de l'angle que la tangente dont la direction est déterminée par les cosinus

forme avec la tangente voisine déterminée par les cosinus est donné par l'équation :

mb)smH^={d.Y=(<,r:i':^,i'^^^^

Remplaçant le premier membre par ( — ) =:— ( y ) ds- =:— , ds\

' ' fi /^' \

et, dans les parenthèses du second membre, les (/ -, par ds vl -)et

ç rfs\;7

(■) CcUe égalité est facile à vérifier en rclraiicliant, de l'unité, chacun de ses deux membres, et meltant ensuite dans le premier, devenu cos-i', pour cos v sa valeur plus connue ppi + 77, 4- rr,.

g (17. — FORME DE CETTE SURF. QUAND SES ÉLÉM. SUPERF. >E SE DÉF. TAS. 651

ainsi des autres, puis divisant les deux membres par ds- et effectuant les différentiations, des réductions s'opèrent dans chaque parenthèse et on a, en divisant tout par ;'^ :

i cp-- «,^: - w + ^^: - ^sy + ^^>: - ^ff .

expression à laquelle on donne facilement la première des deux formes suivantes, que la relation (244) permet de remplacer par la seconde :

j 1 (^;f + \ + ^:) ^1 + ■'": + -?) - (vi: + « +vZ

Cette équation, avec celle (248), exprime l'invariabilité de l'angle de contingence.

Nous avons déjà remarqué que, tandis que la courbe plane correspondant à l'arête est déterminée par l'élément d'arc et le rayon de courbure, il faut, pour définir l'arête elle-même, un troisième élément, l'angle dfo de deux plans osculateurs consécutifs, angle qui, divisé par

l'élément d'arc, donne pour quotient l'inverse :^ de ce qu'on appelle

le rayon de cambrure de la courbe. (*) Mais, avant de déterminer ce rayon R, nous nous occuperons plus spécialement des coefficients a, ß,... et des grandeurs ou rotations que nous avons appelées r^, r^, s^, s,, aux §§ précédents.

Différentions les équations (245) par rapport à a et &, et considérons en même temps s et a comme fonctions de ces variables, nous trouvons :

(*) L'auteur appelle R le rayon de torsion; on dit, le plus souvent, en France, rayon de seconde courbure. J'ai montré, dans un Memoire sur les courbes non planes {Journal de l'École polytechnique, 50° cahier, 1844, et Comptes rendus, 6 septembre 1844, t. XIX, p. 547), que ces deux expressions étaient impropres et que la première, surtout, prêtait à faire tomber dans une erreur grave; car, entre autre raisons, ainsi que je l'ai encore montré ailleurs [Comptes rendus, 50 octobre 1845, p. 952-955, l" et 15 juillet 1844, p. 46 et 185 et historique en tête de l'édition de Navier, 1864, n"" xx et xxi), une tige courbe peut éprouver de fortes torsions sans que ses plans osculateurs changent d'inclinaison les uns sur les autres. Aussi je me sers ici d'une locution que j'ai proposée alors, et que M. Résal a adoptée, notamment dans son Cours de l'École polytechnique.

r C Ci

6 s ca

(ri

TT = 'o'

1 <9X '7'Fa

\ il II) "^ ? â

ç'^ Ur

-,'XJs

ri. ^

Il ' o ^

Il y r „

dq da

D'après les équations (233)-j- = a, (1 + D„),-t^= (*2-+g*i) (1 +<^/')i

= , où d et g sont généralement négligeables, les expressions

ci-dessus sont les valeurs approximatives des coefficients ap p^, y^, ttg, p^, Y^. Elles contiennent encore les quotients différentiels de s et de X que l'on exprime aisément au moyen des équations (245)

a = a„ -\- \ -^^ b = ...., et (247) a = c' cos o, b' = c! sin o. En ef-

fet, si l'on différentie par rapport à a et /> les équations (245), on trouve, en ayant égard à (247),

1 = ç' cos f

0 = c' cos -D 0 L= ç' sin <p

1^ 1 êl

-^TTb

1 £x ç' ca 1 il

-.smy.y ^,

— Xsincp.f -jrr, , "s

' ca

Si nous éliminons 9' entre la première et la troisième de ces équations, puis entre la seconde et la quatrième, nous obtenons la première et la troisième des équations ci-après ; les deux autres s'obtiennent en éliminant de môme ç' et les parenthèses :

ÙS 1 [l

cos ï-

siiiij)

ta^ :! H~

sin ï.