COS-D
m^ c' êb
g 67. — FÜHME DELA SÜUF. MÉD. QLA.ND SES ÉLÉM. SUl'EHE. iNE SE DÉF. PAS. 655
et par suite, les équations (250) founiissenties valeurs approximatives suivantes de six des cosinus ; les secondes formes que nous leur donnons résultent de (247) :
h = ;' sin o, a' = ;' cos o,
/ d'où /'■ = i;'cOS3.3''H-î"sin s, «":=—;' sin 3.5.' + (;"C0Sçp ^i = — COS a '■ — rr-, — Sin cp =
(I (I 'fi n
fil=:-, COS o
SUl » =
■f'y — rih
Vi = — COS(p —
sin 9 =
a.= ^ Sill CO + -^— ,r-, — COS ç = —
00 0 fi
ß,= j; sin o + "\,^,; " COS ç = ^^TTTT-^".
!;'V — :"r Ta'— r«'
y,:=-i;sin ç+ "\,^; '"C0SÇ= — '" \,.J' °-
Quant aux valeurs de a, [i, 7, on les déduit immédiatement des valeurs ci-dessus au moyen des relations (192) du § 50, p. 450, qui donnent, eu égard aux (251 a),
« = :ii7. — ;vi
ï;'C' — ^ "fi" 00 u 0
11 est à remarquer que toutes ces expressions des cosinus des angles des X , y, z' {l 64) avec les x, y, z sont indépendantes des distances A des divers points de la plaque aux points de tangence de son arête de rebroussement et ne contiennent plus que la variable indépendante arbitraire s. Cela signifie qu'en suivant une même ligne X tangente à l'arête, les divers systèmes de coordonnées mobiles, x, y, z, de tous les éléments situées sur cette ligne, doivent être parallèles entre eux, non seulement dans la position primitive de la plaque, mais encore après sa flexion.
654 CHAP. V. — PLAQUES MIISCES.
En vertu de cette particularité, on a, eu égard aux (251), les équations différentielles suivantes (où a', fi', désignent toujours y . ,-
c)a. ,c)s sin ç ,
(254) \ /et ainsi des huit autres cosinus.
^a ,ûS COS 9 ,
En introduisant ces valeurs dans les expressions (255) p. 637 des r^, 1*2' Sj, Sj, et en exprimant les quotients différentiels a',... au moyen des équations précédentes (252) et (255), on trouve
sin 9 cos 9 cos-y
Tj — r O , S| — Q. ,
sin'9 sni û> CCS © -^— £i , 82 = ^"t i fl ,
où Q représente l'expression
ilooa) li^^ 7773 •
Cette expression a une signification géométrique très simple.
Il a déjà été question tout à l'heure du rayon de cambrure R dont l'inverse est égal à l'angle de cambrure div, formé par deux plans osculateurs consécutifs et divisé par l'élément d'arc ds compris entre les deux points voisins où ces plans sont menés. Les normales à ces deux plans osculateurs sont, l'une, la ligne dont la direction est désignée par les cosinus a, ß, y, et l'autre celle qui l'est par a h- da, ß + rf|3, ï + f'ï C) ' ^^ ^^^ ^^^^^ normales voisines font entre elles l'angle dw.
(*) Cela a besoin qu'on le démontre. On peut le faire par une considération d'aires infinitésimales comme celles dont j'ai fait usage à un Mémoire sur les courbes non planes, de 1844, déjà cité. Sur l'élément cli de l'arête de rebroussement, dont les projections sur les axes coordonnés fixes des .r', .(/, s' sont d^g, ärj^, d^^, et sur l'élément suivant dont les projections sont rf?o + ^'"?0' d'^'O-h'i'nn, </Ço+<^'Ço' construisons un parallélogramme; ses projections sur les trois plans coordonnés des i/'z', z'x', a;'?/' auront respeccivement pour aires
(//;„ d- i-„ — f/ r,, d- >;,| , d :„ d- lu — d ly d- ;„ . d l^, d- r,Q — d •/;„ </••» f „ .
Les rapports de ces aires à celle du parallélogramme consti'uit sont les cosinus des angles que fait, avec les trois mémos plans coordonnés, le plan du parallélogrannne, c'est-à-dire le plan des doux éléments conséculifs de l'arête de rebroussement, ou \eplan qui lui est osculnlrur au point (?o, /ju, Ço); ^^ sont aussi les cosinus des angles que fait, avec des a:', y', i' la poprndirii/airr au plan osculaleur.
Avec les notations de l'auteur on a rfto = 2'o"'*' <'/'*lo = l"o '/«'''• I-cs cosinus des ongles que
§67. FORME DE LA SURF. MÉD. QUAND SES ÉLÉSI. SÜI'ERF. NE SE DÉF. PAS. 655
On obtient donc cet angle comme on a obtenu ci-dessus d? [(248 b) p. 650] en mettant seulement a, % v, à la place des quantités -,j -t' ^»
qui entrent dans l'expression de f/9. On trouve ainsi :
dw- = (ßf/r — ^dpy- -h (yJa - ady)- + (a(/3 — ^d(/.)-
= (a^ + ^- 4- Y") {(h'- + dy- -+- df) — {mh -f- ,3f/.3 + rf/y)^ ;
ou enfin, à cause de (252) a' -f" ß" + Y' =^ 1 "^ont la différentielle est nulle,
dw'- = d7?^d''/--hih:-. (*)
On aura pour ^-v -7^» les six formules suivantes (255 b) qui se
^ da ab ~ > -1
déduisent de (255) p. 657 comme celles (196) p. 454 l'ont été de (184)
(1% et (185), c'est-à-dire, -j- == Yi ^2 — U ^v ^"^ ajoutant ensemblela première, la cinquième et la quatrième (255), (la cinquième prise sous la seconde forme et changée de signe) multipliées respectivement par a,
aj, a^, et en faisant des opérations pareilles pour avoir -j-i ••••
fait, avec les x, y', s' la perpendiculaire à ce plan osculateui' au point (Çq, Iq- ?o) sont donc proportionnels respectivement à
