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Or, d'après les formules (253), a, ß, y sont proportionnels à ces trois mêmes binômes, et sont, par conséquent, comme les cosinus dont nous venons de nous occuper, égaux respectivement à chacun d'eux divisé par la racine carrée de la somme de leurs carrés. Donc a, ß. Y, ou les cosinus des angles de l'axe mobile des z avec les axes fixes des x'. y, z' sont bien les cosinus des angles faits avec ces axes par la perpendiculaire au plan osculateur à l'arête de rebroussement.
La raison s'en conçoit finalement, car, puisque la surface médiane primitivement plane s'est ploijée extrêmement peu, eu entraînant dans son mouvement les petites lignes matérielles qui lui étaient perpendiculaires, les axes mobiles des z doivent, tout au moins à la première approximation où l'on se tient ici, avoir les directions des normales aux surfaces planes infiniment étroites dont se compose la surface médiane devenue courbe et développable. Les ;, qui font, en chaque point, avec les x', ]/. z', les angles dont les cosinus ont les désignations a, ß, y, ont donc les mêmes directions que les perpendiculaires menées aux mêmes plans osculateurs, qui ne sont autre chose que les surfaces planes infiniment étroites dont on vient de parler.
Mais il convenait de s'en assurer analytiquement, comme nous venons de faire.
(*) On obtient bien plus directement cette expression dedic'^ en supposant tirées, par l'origine des coordonnées, deux droites égales à l'unité, et faisant avec les x', y', z', des angles dont les cosinus sont a, ß, y pour l'une, et a-J-da, ß+^ß- y-hf/y pour l'autre. Comme ces mêmes cosinus sont les coordonnées des extrémités des deux droites, la petite ligne qui joint ces extrémités a pour projection les diiférences dx, rfß. dy. Or cette petite ligne est la mesure de l'angle dw des deux dioites : donc dw'^^^dx- -\-d'ji'--\-d-f-.
656 ClIAP. V. — l'LAQI'ES MINCES.
Oa COL
(255/.) { i| = r.|i,-r,[i,. ^^=s,%-sj^,,
ou, eu
Il en résulte immédiatement
dr^X , /<?'ß\2 /^y\2 /^a\2 /^ß\* /^r\^ , , ,
c a/ Y 0.) Y (1/ \^b/ \f bj \oby Mais d'après (254) le premier membre de cette équation est égal à
«'^ + r + /^ tandis que le second membre, d'après (255), est égal à ^^ . On a donc
oc''--hr--^r" = ¥'^'-^
et par suite
/Tu'Y «" + ?'- + y'-
ou
Si l'on remarque que - désigne le rayon de courbure, on voit que
Ü n'est autre chose que le rapport du rayon de courbure au rayon de cambrure.
Ce qui précède fait voir comment la considération de la surface développable donne lieu à l'introduction des fonctions arbitraires C^, lîp, Cg et comment tout peut s'exprimer au moyen de ces fonctions dont la forme reste à déterminer, dans chaque cas particulier, en raison des circonstances. Celte détermination est liée aux conditions d'équilibre de la plaque, conditions dont nons allons maintenant nous occuper.
§ 68. — Equilibre extérieur des éléments.
Considérons un parallélépipède élémentaire faisant partie de la plaque et dont quatre faces soient perpendiculaires aux deux faces de
