ÉQUILIBRE EXTÉRIEUR DES ÉLÉMENTS DE LA PLAQUE

la plaque. Sur ce parallélépipède agissent d'une part les tensions dont les expressions (240) ou ('240«), ont été données ci-dessus, p. 645-44, et, d'autre part, les composantes et les moments qui })roviennent des forces extérieures.

Pour établir les conditions d'équilibre, nous aurons recours au principe des vitesses virtuelles, en vertu duquel, pour un petit déplacement du corps, la somme des travaux des forces doit constamment être nulle. Les déplacements des particules de la plaque, les unes par raj)port aux autres, ne peuvent pas être quelconques. Pour en trouver l'expression la plus générale, nous pouvons prendre les équations (231) x' = ^ H- «1 (X ■+- u) +..., y' = .., z' = ..., page 655, qui expriment les coordonnées d'un point quelconque déplacé, en fonction de l, »j, i; et

des coefficients a, ß On peut, dansées équations, faire c/;=0, y = 0,

ou ne considérer sur la surface médiane que les points dont les coordonnées .r', i/ étaient primitivement «, 6, et que nous avons pris (§ 64) pour origines de coordonnées mobiles x, y ; car, pourvu qu'on attribue aux grandeurs«, />, z toutes les valeurs possibles, on obtient tous les points de la plaque. D'après cela, l'expression la plus générale des coordonnées d'un élément d'une plaque courbée d'une manière quelconque est, en négligeant les quantités d'ordre supérieur de petitesse :

Si tous les éléments doivent être à la fois infiniment peu déplacés, cela veut dire que les grandeurs ;, «, ç, a, ß, y ne doivent éprouver que de très petits changements. En introduisant, dans ces équations, de très petites différences de ces grandeurs ayant ^ pour caractéristique, nous obtenons immédiatement, sous la forme suivante, les déplacements du point considéré :

(256) §x' = ^l-\- zSoL , d%' = h + 25,3 , ^z' = Si H- ^-h .

Les déplacements simultanés de tous les points de la plaque sont donc exprimés par les variations de six fonctions qui ns dépendent plus que de « et de h. Mais ces six fonctions ne sont pas indépendantes les unes des autres ; car il existe entre elles les relations suivantes

dont les deux dernières résultent de celles (255), -r-=-ix (i-f-î) ),. .. p. 656.

658 cH.vr. V. — plaques minces.

en sorte que les variations §1, etc. doivent satisfaire aux conditions résultant de la variation, ou difierentiation par o, de ces équations, savoir :

(257) { (Ja ' oa c/a da (ja ' oa

Désignons maintenant par

(257 a) Idadbdz- , \dadbd: , Idcullnh

les composantes, suivant les axes fixes des x\ y', z. des forces agissant sur un élément dadhdz, composantes comprenant à la fois les tensions (240) t^^, t^, , t^^ , suivant les axes m.obiles x, ij, z projetés sur ces axes fixes x\ ij', z', et les forces extérieures qui s'exercent sur les points de l'intérieur de la plaque. Le travail produit sur cet élément pour un petit déplacement ayant les projections ox', oy', Bz' sur les axes fixes des x', y/, ;•', sera alors

{XSx' + Yoy' + Zô3') dadbd^.

Intégrons dans toute l'étendue de la plaque, et appelons c*I> la somme des travaux produits dans tous les éléments; nous avons l'intégrale triple .

(257 6) H=z j {\§x'-h\§y' + '/.§z-')dadbdz:

Il reste à considérer les éléments qui se trouvent suj" la périphérie delà plaque. Si, dans l'expression de S<I» qu'on vient d'écrire, X, Y, Z sont supposés exprimés d'une manière générale pour tous les éléments du corps, en l'onction des tensions ou traclions (259 a')t^.,.... t (g 66) que ces éléments exercent les uns sur les autres et qui, ici, ont les valeurs (240), même g 66, page 643, une erreur se trouve commise pour lesélémenls situés sur la périphérie, eu ce (|uc, sur les faces extérieures de ces éléments, ce ne sont pas de pareilles tensions qui sont appliquées, mais bien des forces extérieures. Nous devons donc ajouter, à l'expression précédente, le travail des lorces extérieures

g 6(S. — DEUX PARTIES DU POTENTIEL DES DÉFORMATIONS. 659

appliquées sur la surface latérale cylindrique de la plaque, el en retrancher le travail des tensions ou tractions sur la même surface, qui se trouvent introduites dans les formules, mais ne sont pas applicables à la surface latérale ou périphérique dont il s'agit. Comme nous avons annoncé, g 67, page 648, que nous choisissions, pour la variable indépendante et d'abord indélerminée s, l'arc de la périphérie de la surface médiane, un ('lémeiit quelconque de la surface périphérique est ds (h. ISous pouvons désigner par

les excès, par unité superficielle de cet élément, des composantes des forces extérieures réellement appliquées, sur les com[)Osajites des tensions qui se trouvent ainsi mises en compte au lieu d'elles dans (257 b) o<t>; et c'est la somme des travaux produits par ces différences que nous devons ajouter à c<I>. Si g4>i désigne cette somme de travaux, nous avims

5*j = ÇÇ (XoV + %' -+ ISz') (ls(h ;

l'intégrale devant être étendue à toute la surface latérale cylindrique qui a pour base la périphérie de la surface plane médiane de la plaque.

Dans les intégrales o<I>, o(I>i on peut immédiatement effectuer l'intégration par rapporta 2. Les variations 5;, cq, etc.. sont, comme les fonctions elles-mêmes, indépendantes de z ; si donc on introduit dans

3^eto<I)i les valeurs (256)c£c' = 0^ H- ioa, de zx\oij' oz', ei

si pour abréger Ton pose

j\d^ = \', j\dz = y, f\z(h = \\ f\^dz. = Y.

(258) < j\dz = \', j\dz = T, fYzdz = Y", j\zdz = Y,

I Idz =T , I Idz = Z' , Ç'L^.dz = Z" . flzdz = Z" ; on a

(258 a) o> = ff (X'o; + rSr. + l'Sx + X'Vîa 4- Y"o> + Z"5y ) dadb ;

(258 b) 0^*1 = / ' {\'^l + VSr, -4- Z'^ï + X"öV. + Y'VÎS + Z"o\) ds ;

la première intégrale devant être étendue à toute la surface mé-

660 <;nAl'. V. PLAQUES MINCES.

tüaiie de la plaque, cl la seconde à toute la surl'acc périphérique. Le principe des vitesses virtuelles exige maintenant, pour que la plaque soit en é(iuilibrc, que, pour tous les déplacements possibles de ces points, on ait

Si les 0^,.... oa,.... étaient tous indépendants les uns des autres, la condition précédente entraînerait l'annulation de tous les coelficients de ces variations dans les expressions de o<i>, o^i^i. Mais ces variations sont liées par les trois équations (257). Ou pourrait donc, au moyen de ces équations, exprimer quelques-unes des variations en fonction des autres, et introduire les valeurs ainsi obtenues dansoO, 0*1 ; et l'on devrait alors égaler à zéro les coefficients des variations qui n'auraient pas été ainsi éliminées. La méthode des coefficients indéterminés, de Lagrange, conduit au même résultat d'une manière plus commode et plus symétrique. D'après cette mélhode, on doit multiplier les équations de condition (257) par des coeflîcients indé terminés Q, Qi, Q^, ajouter les expressions ainsi obtenues à la fonction qui se trouve dans o^t» multipliée par da db sous le signe d'intégration, et considérer ensuite tous les S^ comme indépendants

les uns des autres, sauf à choisir ultérieurement Q, Qi, Q^. Nous poserons donc tout d'abord :

(X'^^ -h Y'or; 4- l'Bx) + (X"^a -h Y"5ß + l"h) f- Q {r,.§a H- p5[i 4- yoy)

(258c) H=ff\^Çi(J^+/^+,^j^.B^^^J±§,\ \dadh. JJ \ \ cJa ^ ( a c'a ta c'a ' ca / [

Dans cette expression se trouvent non seulement les variations S^, o-f], c'C, elles-mêmes, mais aussi leurs quotients différentiels. On élimine ces derniers, comme on sait, en intégrant par parties les termes qui les contiennent. Pour les termes où entrent les quotients différentiels par rapport à a, on intégrera par rapport à cette variable a tout le long d'une bande de largeur db, et parallèle à l'axe des x' pour la position naturelle de la plaque; et, de même, pour les termes où les variations sont différentiées par rapport à b, on intégrera le long d'une bande parallèle à y'. D'après le procédé déjà appliqué plusieurs fois, dès le g 16, page 58, on obtient, en désignant par y; l'angle fait avec l'axe des x par la normale à la courbe de périphérie :

g 68. PREMIÈRE FORME DES ÉQUATIONS d'ÉQUILIBRE. 661

Çr Q^ L ^ | ß ?^ 4- y ||\ dadb = fo, («5; + ':^h + yo^ cos p. fh -

JJ \ (a la Va )

De cette manière, o<p se divise en deux parues, l'une formée d'une intégrale double, et l'autre d'une intégrale simple; cette dernière,

dans l'équation

se réunit à S*,, mais l'autre ne contient plus que les variations o;, ^r„ cC, ca, cß, cy. Si l'on égale isolément à zéro les coefficients de ciiacune des variations qui se rencontrent dans la prcrtiière partie (258 a), on obtient le système suivant qui doit être satisfait pour un point quelconque de la surface médiane :

"^ J \ ca c'O ^ ca ' < b

ca ob ca c'b

De l'équation c<ï> + 24>j = 0 exprimant le principe des vitesses virtuelles, il ne reste, aprts ?ela, que

(260) 0 = 5*1 + r (Qj LOS p + Qa sin p) (aS; + ßo-^ -|- y/^) ds ,

équation dans laquelle il n'y a plus que des intégrales simples.

Toutes les grandeurs comprises sous les signes d'intégration sont maintenant fonctions de la variable .n\ On n'arriverait donc à rien qui eût un sens si, dans la suite de l'application de la méthode précédente, on voulait continuer simplement d'introduire, affectées de facteurs, et telles qu'elles sont, les deux dernières équations (257), où les différenliations sont faites par rapport à a et b. Il faut, à la place de ces deux équations (257), en introduire une nouvelle dans laquelle les variations 0^, 0T„cL, soient différentiées par rapport à s, au lieu de l'être par rapport à « et 6.

662 CHAP- V. PLAQUES MLNCES.

Pour trouver les quotients différentiels par rapport à s, il faut dabord déterminer le sens dans lequel on conviendra de compter cette variable. Convenons donc que la direction des s positifs sera celle que l'on suivrait en parcourant un arc de 90", de l'axe des x positifs à l'arc des y positifs. Avançons, dans cette direction des s positifs, d'une très petite quantité s ; alors a diminue de s sin p, tandis que b croit de ecosp; une fonction quelconque f, de a et 6, devient donc par là

f (a — esin p,b-\- s cos p)=f [a, b)-\- s r-^ cos p — -^ ?Ànp\ -+■

et le quotient différentiel --- qui est la limite de

a pour valeur

f{a — ssinp, b -(-scos/j) — f{a,b

<y's ob (a

D'après cela, si Ton multiplie la seconde des équations (257) par — sin/j, et la troisième par cos p, et si l'on fait la somme, on obtient :

Ajoutons à l'équation (2v30), après y avoir mis pour c<I>j sa valeur (258 b) la première équation (257) et l'équation (200 a) que l'on vient de trouver multipliées respectivement par des indéterminées D et D,, nous aurons la suivante ;

X'o^ + Y'o-., + Z'oJ; + X"oa -h Y"oß + 7/'oy -+■ 1) («ôa -h [W^ -+- yôy)

(261) 0= r / fJôr mr>^ doX,d\^ dr,^^

+ (0, cos p + Q, sin p) (aôi + ^?>-n H- yS^)

Il faut encore ici, au moyen d'une intéf^ration par parties, donner une autre forme aux termes de la troisième ligne, affectée de Dj, qui contiennent les quotients différentiels des variations 3;, cy], IX,. Remarquons que la partie (|ui, par suite de cette opération, se trouve mise en dehors du signe d'intégralion, ('X|)rimc une intégrale effectuée tout le long de la périphérie, c'est-à-dire entre deux limites qui coïncident;

§ 68. PREMIÈRE FORME DES ÉQUATIONS d'ÉQUILTBRE. 665

cette partie est donc identiquement nulie et l'on a simplement :

J \ ( '^ (-^ f •* ,' J \ os es es- /

En introduisant dans l'équation (261) cette valeur d'une partie de ses termes, et en égalant isolément à zéro les coefficients de chacune des variations, on obtient, pour les points de la surface latérale :

«^ TV c)j:

-V + a (Qi cos;^ H- 0, sin p) —'^ = 0 , X" + Da ^ D, ^ = 0 .

(262)( Y' + .(i(QiCos;^ + Q,siny;)— ^ = 0 , Y''+ I>> + f>i|^= 0 ,

Z' 4- Y (Q, CCS />-{- Q., sin //) —^ = 0 , Z" + Dv + 1)^'-^= 0 .

Ces équations doivent être satisfaites pour tous les points de la périphérie : avec les équations (259) elles déterminent complètement ce problème.

Ce double système de six équations peut se simplifier en multipliant les équations qui se correspondent trois à trois, respectivement par x^, ßj, Yi ou par a^, ß^, y^, ou par a, ß, y et en additionnant chaque fois. On peut alors laisser de côté deux combinaisons qui ne servent qu'à la détermination des coefficients Q et D. Les dix autres, lorsqu'on

a égard aux relations connues (252) entre les neuf cosinus a, ä, v, ;

aux relations (255) page 656, qui, en négligeant î)^, ?^,, g^^ devîintl se

réduisent à celles (241) p. 645; aux relations (255) définissant r^, r,, Sj, s,;

enfin à la relation générale 7-= cos p--^ — sin »-r-^ trouvée tout à

(S ^ cb ^ ca

l'heure, donnent les équations suivantes :

Pour un point quelconque de la surface médiane X'«! 4- \'% 4- Z'yi + Qir, + Q3S, = 0 , X' a,-f- Y' ß, + Z'y, - Q^ri - Q,Si = 0 ,

oa co

X"a, + y"3, + Z"Y,4-Qi=0,

Pour un point quelconque de la courbe périphérique X'«.

Z'yi H-I»! (s, cos/; — r, sin;;) = 0 , Y'[1, + Z'y, — J),(SiCOsyv — r, siny>) = 0, (*) .

X'a + X'Î'^ + Z'y + Qi cos /) 4-O2 sinp ^ = 0 ,

X"«i-)-Y"ßi + Z"r,— l),sin;j = 0, X"«2 + Y"ß, H- Z"Yä + Dl cos 7; = 0 .

Il reste maintenant à donner les expressions des forces X', Y', .... qui entrent dans ces équations. Chacune de ces expressions se compose de deux parties, l'une provenant toujours des forces extérieures, et l'autre des tensions t^.., t , t. La première partie est facile à déterminer : soient

käadhdz ,

Bdadbdz

Cdadbdz

les composantes dos forces qui agissent dans l'intérieur de l'élément parallélépipède dont le volume est da db dz ; les parties correspondantes de X, Y, Z [c'est-à-dire des forces qui, d'après leur définition (257 a) page 658, sont celles qui agissent snr les éléments de Tintérieur rapportées à l'unité de ce volume] sont les quantités A, B, C ellesmêmes ; et lesparties correspondantes de (258) X', Y', Z', X", Y", Z" (qui, d'après leur définition, sont les sommes de ces forces et de leurs moments pour toute l'épaisseur h de la plaque, rapportées à l'unité superficielle de chaque élément da db de sa surface médiane) sont les intégrales :

Ad:

Bdz- ,

Cdz

A"= f Azdz.,

Bzdz,

Czdz

étendues à toutes les valeurs comprises entre h désigne l'épaisseur de la plaque.

— oet~ = + ;^, si

{') Dans le livre de Clcbsch, le donner terme de cette équation est + D (s, cosp — rjsinyj). C'est une laulc (ju'il corri{,'-e plus loin ('2' équ. i'Ci'J).

Les deux couihinaisons laissées de cùlé pur l'auteur, comme ne faisant que déterminer Q et i) dont on n.iura |)as à se servir, sont:

^60, — FORME DÉFINITIVE DES CO.NDITIONS d'EOIILIBRE. 665

^ 69. — Introduction des valeurs des tensions. Forme définitive des conditions d'équilibre.

Pour déterminer maintenant les termes provenant des tensions, revenons à l'élément da dh dz. Les trois normales aux faces latérales à cet élément ne sont autre chose que les trois axes mobiles x, y, z, liés à l'élément et qui, après le déplacement, forment avec les axes fixes les angles dont les cosinus sont :

cos {XyX') = oci , cos (.?,?/') = pi , cos {x,z') = Yi . eos {ij,x')= oc, , cos{!j,y') = p,, cos (//,3') = Yi • cos {:-,.r') z= (Z , cos {z,i/) = p , cos (;,c/) = y .

Sur les faces de cet élément, qui sont du côté des axes négatifs, agissent des tensions dont les composantes respectivement parallèles aux X, y, z, sont, d'après ce qui précède :

[ Face perpendiculaire aux .r : — t,^,db(h, — t,^dhdz, 0,

(264 fl) I — • aux ,j : — t,^/afL- , — i^^dcuh , 0 ,

( — aux ; : 0, 0, 0 .

Si nous décomposons ces mêmes tensions parallèlement aux axes ü\es x', y', z\ les composantes sont :

— (t YiH-t y^dadz.

Parallèlement aux r' : — (t^^.aj + t^.^ao)^/^^: (264 b) j — aux y' : — [t^Ji, -+- {^.^^%) dbdz :

( aux:.': -(t^.^,Y, + t^.^v,)JM.^;

Pour obtenir les composantes des tensions agissant sur les trois autres faces de l'élément, il suffît de changer les signes des précédentes, et de remplacer les termes t^^a^, par les valeurs qu'ils

prennent quand on change a en a -h da pour ceux de la première ligne verticale, et 6 en 6 -|- db pour ceux de la seconde. En ajoutant aux précédentes les composantes ainsi obtenues, on a les composantes totales agissant sur les éléments. Ce sont :

( Suivant l-axe des y J^ <'.»-+ V'V^". »"■ + '»'■>] Mb,k,

(264 .) des ,' : ïiMiz:!^ + i(k^±Wî^T ,„„„, ,

\ L ca «^ ^ J

des ,' : ['■"^■ + V'' + i<Wi±Win éadU. . L cJa cb J

CHAP. V. — PLAQUES MIKCES.

Ces tensions, résultantes de celles qui s'exercent sur chacun des éléments dadbdz, introduisent, dans les valeurs (258) X'= / \dz,y=....

des forces s'exerçant sur toute l'épaisseur de la plaque pour l'unité superficielle de la base da db du petit prisme contenant tous ses éléments, les termes suivants, qui sont ceux qu'on vient d'écrire débarrassés du facteur da db et intégrés :

t dz.

i.ni

Trois termes analogues s'introduisent dans les valeurs (258) de X", Y".Z"; ils ne se distinguent des précédents que par le facteurs ajouté sous le signe d'intégration.

Si l'on prend, dans les équations (240) p. 645, les valeurs des t^^

et si l'on effectue les intégrations dont les limites sont — ^ et-|- k» o"

obtient, pour les intégrales qui devront entrer ainsi dans X', Y', Z'jel

: hS) , eu faisant 3) = (a— —V,. -f- ( f —

iJ^ = hS^',

/ i,./dz- = — 5i, en faisant 31= -

.zd. = -îr,

Mais les X, Y, Z définis par (257o) se composent à la fois de ce qui vient des tensions et de ce qui vient des forces extérieures A, B, C, définies par (2656), et agissant à l'intérieur de la plaque; en sorte que X', Y',Z',X", Y",Z' définis par (258) seront égaux à A, B', C, A",B",C"

g 69. — FORMK DKIIMTIVE DF.S CONDITIONS d'ÉQUILIURK. 667

définies par (264) plus les termes ('265) et plus aussi ceux que l'on coiuposera d'une manière analogue pour X",Y",Z" en y introduisant

les valeurs (266) des jUlz-, / t:f/;. On obtiendra ainsi les valeurs suivantes :

\ ca c'a ta cJa co ob co oo)

\ ta ta ca ^ c)a cb cb cb ( b]

ta ta ta ca cb cb cb ob;

12 \ \: r; 'Va ca ca cb (b < 0 cb J

Ces expressions, introduites dans les cinq équations (265), donnent à celles-ci leurs formes définitives.

Comme ces équations commencent par des trinômes tels que

X'a, H- Y'3i -t-Z'Yj. l'introduction des six expressions de X', Z" se

Icra en les ajoutant trois à trois, multipliées par a^.ß^.Yi, puis par ».^ ßo Y?» puis par a, ß, 7. En ayant égard aux relations connues entre ces neuf cosinus, ainsi qu'aux expressions (255) page 657 qui définissent les r et les s, enfin aux équations (258) page 640 desquelles il résulte qu'à cela prés de quantités négligeables on a r^^^O, So = 0, s, = — r^. nous aurons, pour les cinq parties affectées de/<, respectivement :

V^Yca ^■' Ihj' '^\lb ■ da)'

D'où, en mettant pour £>,£D', ^R, fR' ce que, d'après (266), ces lettres représentent, les cinq équations suivantes, remplaçant celles d'équilibre (265) applicables à tous les points de la surface médiane :

668 CHAP. V. PLAQUES »HNCES.

' ta ob i\ c J " ' \ c / \ * * « '/

b-Ç)î>,s,-2fr.gl=0:

iz( \ c/tfl \^ c / c a cD)

équations qui se réduisent, en vertu des formules (:•) du n° 16 de la Note de la fin du § 16, s'il y a isotropie transversale, ou si a = b = 2f 4- f ; d' = e', respectivement à

E'/i (^(î)^ + n'?) 1-n'^gi

E7i /^5'(ö+n'?„) 1 — i)'t"'g) A'«,+B'ß, + C'Y.+Q.r,+Q,s,+^-— 7i | ^«LiV -y^ || j =0,

A'a+B'ß+C'r-^'-§^-+-^,j(S„+9'?>',-(l-9')gr,-?,+9^)s,j=0, A"« H-B"ß -hC'y +0 -f- ^'^'' ^ ^(r,-p'Sj) ..M ^^1 o

Maintenant, pour poser aussi les équations qui sont relatives aux seuls points des faces latérales, nous allons déterminer de la même manière

les grandeurs (238) de X'= f Ich, T, Z', X"= f Xzdz, T, Z"

où les X, Y, Z sont, avons-nous dit, les excès des forces réellement appliquées sur ce qui vient des tensions intérieures t , t

(') Ces formules, et aussi cellns (268 a) ci-après, se conloiident avec celles de Clobsch qui suppose l'isotropie complèlo, lorsqu'on suiiprime les accents de E' et de t)', ce qui revient à supposer le module d'élasticité E' ou E^ = E d'extension de lames taillées transversalement dans la plaque, égal à celui E = E^ de petits prismes qu'on en extrait dans le sens s de son épaisseur, et égaux les rapports des contractions aux extensions de sens perdendiculaires qui les amènent.

g 69. — FORME DÉFINITIVE DES CONDITIONS d'ÉQUILIBRE. 669

Désignons par

(267 i) Vdzds, \dz(h, "^dzds

les composantes suivant les x', y\ z', de ces forces extérieures réelles agissant sur un élément dz ds de la pcripliérie. Les ternies provenant de ces forces et entrant dans les expressions de X', Y', Z', X", V', Z" pouri'ont être désignés par la notation qui suit, analogue à celle qui a été employée pour les X, Y, X'....

U' = f Idz , \j" = f Uzdz ,

(267 c) { ^' = f ^'^^ ' V" = r Nzdz ,

w = r vfdz , w" = r w:. dz. .

Pour former l'expression des X', , nous avons à déduire de ces

quantités les intégrales correspondantes qu'on obtient en remplaçant

Ü, V, W par les tensions intérieures calculées pour l'élément dz ds de

la surface périphérique. La normale à cet élément forme avec lés axes

des X, y, z, les angles

de sorte qu'en se reportant aux équations fondamentales (25) de la lin du § 12, donnant les tensions qui s'exercent aux surfaces limites des corps, ou bien, en remarquant simplement que cet élément dzds a une projection dzdscosp sur un plan perpendiculaire aux x, et une projection dzdssinp sur un plan perpendiculaire aux y, les composantes totales de la tension sur le môme élément par unité de sa superficie seront, d'après le théorème de l'équilibre du tétraèdre ou du prisme triangulaire élémentaire de Cauchy :

Et ce sont ces valeurs qu'on doit faire entrer, non pas dans celles X, Y, Z qui d'après les définitions (257 a) et 257 c) sont des forces dirigées suivant les axes fixes dont nous avons appelé x', y\ z les directions, mais dans leurs composantes suivant les axes mobiles des x, y/, i; composantes qui, d'après les significations ai = cos ix' ,x), ßi = ...., sont :

Xai 4- Y^.i + Zyi , Xa, -f- Yß, -[- Zy, , Xa + Yß + Zy .

Suivant les x :

t.-xCOSiv + t^^siny;,

— les ?/ :

t^yCOs;> + t,^^sin;j,

— les 2 :

Intégrons donc ces trois Irinùmes de :;■ = — - h z= -\- - après les

M là

avoir multipliés par ^/:, opération qui change simplement X en X',..,; ensuite, après les avoir multipliés par z=d%, ce qui les change en X",...; puis, égalons ces intégrales trinômes, telles que X'ai 4- Y'^i -\- Zvi à des trinômes tout semblables avec U', V, W au lieu de X', Y', Z'; U", V", W au lieu de X", Y",Z", en retranchant respectivement ces

J (t,., cos p + 1^,,, sin y) ch , j (t^,,^ cos p + 1,^,^ sin p) dz , 0 ,

j (Kx ^0« P +■ L;/ sin P)-^l^' j (t,, cos 7> H- t^^,^ sin p) Uz^ , U ,

nous aurons en remplaçant les A ^ dr j t^^ zdr, ..,.. par leurs valeurs déjà obtenues (266),

X'a,H-Y'[i,-hZ'Yi = i;'«,H-V'[3i + W'y, — Ä(iD cos/> -I- fgsiny>), \'a, H- Y'[i, -H ZY2 = U'«2 H- Y'ßa + W'y, — h (Ig cos + ^' sin y;), \'« -t- rp -+- Z'y = IJ'a + V'[i H- W'y,

\"«, H- V"[i, + Z"yi = U"a, + Y"[i, -f- W"v, - ^ (51 cosy> -h titr, sin/>),

XV + Y'% + Z''y, = US + Y''ß,4-W''r, — ^i^(21riC0sy> + ill'siny;), X"a -I- Y"[i H- Z"y = ü"a + Vp -+- W"y.

Mettons les seconds membres des cinq premières de ces six égalités . à la place des trinômes qui en occupent les premiers membres, dans les cinq équations {li^Tyri) de la fin du § 68 où ces trinômes figurent aussi, équations à satisfaire pour les points de la surlace latérale ou périphérique, nous avons, en mettant aussi j)our iD, à)', tR, iÂ', ce que ces lettres représentent, d'après les (91).

U'a^ -h V'p, + W'y, H- Di (s.cos/) — r, sïnp)

/.j[^(a-f)c^„+(r-^)^^]cos/,+ lgsiny,.{^0,

U'«, -I- V'[i, H- W'y. — 1», (s, cos /; — r, s'nip)

c\-i-(i' rr,i h^i'iy + igcosy*

^^ 70. — PREMIÈRE APPROXIMAT. CHANGEMENT EN UNE SURFACE DÉVELOPPABLE, t)71

U'« + V'[i + W'y — V- + Qi cos p -+- Q, sin /> = 0 , L;"«,H-Y"|i,-|-W"Y, — l>,sinp

U"a, + V"ß, + \V"y, H- L), cos p

\biiUc/

1) I Si — ({' j r J sin/^-h'JtViCosyj ( ^=0.

12 ( Dans ces équations, les deux secondes lignes affectées de — h et les

deux secondes lignes affectées de — j^ se réduisent respectivement,

toujours en \ertu des formules {z) du n« 16 de la Note de la fin du g 1(), p. 8i, s'il y a Isotropie transversale, à

-i-ZTiy. [f^-'^'^'^'^^'^^-

— [— (r, — 9's,) cosy> H- (1 — 9') r^ sinp].

:\ I2(i 9^ [(s, — 9'i%)sinyjH-(l— 9')riCos/)].

Ces équations (268), d'où il reste à éliminer, comme de celles (267), les indéterminées D,, Oj, Q^ introduites au g 68 comme facteurs, à la manière de Lagrange, pour composer les équations (258 c) et (261), offrent les formes définitives des (265 a) qui sont à satisfaire aux points de la surface cylindrique latérale ou contournante, de même que les (267) sont, comme nous l'avons dit, les formes détinitives des (265) relatives aux points de l'intérieur. 11 convient de rappeler que d'après (267 6), U', V, W, U", V", W" sont les composantes totales et les moments totaux, pour toute l'épaisseur A, des forces extérieures U, V, \V, définies par (267 a), et qui sont, parallèlement aux axes fixes d'espace x\ //', z\ celles qui agissent par unité superficielle sur cette même surface cylindrique.

g 70. — Division du problème. — Première approximation. — Détermination de la surface développable en laquelle se change, à cette approximation, la surface plane médiane de la plaque.

Au moyen de ces équations (267), (268), nous sommes maintenant en mesure d'aborder la discussion complète du problème.

Nous diviserons cotte élude en trois parties : la première aura pour objet la détenninalion de la surface développable qui donne une première approximation de la forme affectée par la surface médiane de la plaque déformée. Dans la seconde partie, nous chercherons l'expression des dilatations ?^, î)^ et du glissement g = g^^ qui sont produits par les forces extérieures. Enfin, dans la troisième, nous déterminerons, par des calculs de deuxième approximation, les petits écarts entre la forme réelle de la surface médiane et la surface développable trouvée d'abord.

Bornons-nous, afin de simplifier, dans ce § et dans les trois suivants, 71, 72, 75, au cas (Visolropie transversale ou d'une contexture égale dans les divers sens parallèles aux bases de la plaque, mais pouvant être aussi différente qu'on veut dans le sens de son épaisseur.

Pour la première des trois parties énoncées du pro])lème, ou pour la surface développable, nous nous servirons des deux dernières équations (267 a) que nous mettrons sous la forme :

rQ^__(A a,+Tî ß,-t-c Y2)-,|2(i^..^L' — Yb — "^(* —^ ^I^J

Imaginons maintenant que ces valeurs soient introduites dans la troisième équation (268), à laquelle nous joindrons la quatrième et la cinquième, modifiées par (268 a). Nous pourrons ainsi exprimer a, ß, y et les r, s au moyen des formules du §67, principalement (251), (255), (255), ainsi que (245), (247), en fonction des variables ;„, t,„, 'Q^oi des grandeurs a, <p, ç qui ont été employées pour la représentation de la surface développable donnant la première approximation.

Nous obtiendrons ainsi trois équations différentielles contenant ^0, r^n Ln, A, 9, ç, Dj et qui peuvent même contenir aussi a„, h^^ car il est possible que les forces, appliquées à un point de la périphérie, soient fonctions de la position occupée originairement par ce point.

On peut cependant exprimer quelques-unes de ces quantités en fonction des autres. Des équations (245), (247) du § 67, p. 649-50, on obtient immédiatement

(270) ßo = a — \co^tf, h = h — >siny.

Comme il ne s'agit ici que du bord de la plaque, a, h représentent les coordonnées d'un élément de la courbe périphérique, et, comme

i^ 70. — I'ükmikhi; APiiiiiN. i.r.i ii i i.cxio.n i.n sriiiAci: iiKVM.ni'i'Aiii.t:. ('Ü7>

telles, sont des fonctions donnècis de s. Les éqnalioris qu'on vient (!'(''criie expriment donc a^. b^ au moyen des fonctions connues, et des incormues >., 9, dont la première est la dislance, mesurée sur une tangente à l'arête de rehroussemont à partir du point de contact, jusqu'à la courbe périphérique. Différenlions c^s équations, et introduisons, comme variable indépendante, l'arc s de cette courbe du bord de la plaque. Désignons comme au § 07, expressions ('242 «), par des accents, les quotients différentiels pris par rapport à cette variable s. Puisque /* était l'angle formé avec l'axe des ./• par la normale à cette courbe menée vers l'intérieur. Ou" -f- ;; sera l'angle formé par <h avec le même axe; et les cosinus dos angles de cet élément avec les axes x, y, seront les grandeurs (i\ //, qui auront les valeurs

a' = — sin p , // = CO:, p.

Kn même temps, d'après ('247) du môme ^ 67, on a

o=c'cos9, h' = z' 'AUX -ù .

Par conséquent, la différentiation des équations (270) donne

ç' cos * ::= siu /) )>' CCS ç? + Ai' SI 11 O,

1;' siu -0 = COS p — /' siti ï) — H' cos z. ;

ou bien, en multipliant ces deux équations une première fois par cos 5, sin f , une seconde fois par sin 9,. — cos 9 et en additionnant chaque fois,

(271) ;' = siu (» — ;>) — à', 0 = — cosfs — p)-\-\-i'.

La seconde de ces équations permet d'exprimer X au moven de 9 et de la fonction donnée p ; la première donne également ;' qui entre seul (; n'y figure pas) dans les équations du problème.

On voit ainsi que les inconnues se réduisent à cinq, ;„, •^^, r,, 9, D^, ou même à quatre, car Di est facile à éliminer.

Entre ces cinq inconnues et ç, il existe, outre les trois équations déjà mentionnées, les deux suivantes [voyez § (>7, 00. 7i] :

D'après ce qui précède, on peut exprimer les seconds membres de ces équations en fonction de ; et de quantités connues. Ces deux équations, réunies aux trois mentionnées plus haut suffisent à déterminer les cinq fonctions inconnues. 11 ne reste donc plus qu'à élablir

(174 CHAI'. V. IM.AQIKS MLM.KS.

les dernières équations, celles qui résullenl des conditions limites à la

périphéiie de la plaque.

Dans les expressions de 0^ et Q^ données ci-desssus (269), nous

allons substituer aux ri- r^, s,, s^ les valeurs (255) telles que

Q sin cp cos 9 . , r, ni r-- / . . ■ j

r, := z ~, trouvées au g 0/, pageüa4, en tenant comple de ce

que la seconde el la quatrième des équalions (251), page 052, donnent, d'abord pour les quotients dilTèrenticls de s par rapport à a et 6, et cnsuile la première et la troisième pour ceux de a :

/ es sin V fï , ts , ç' sin CD

T- = ^-r. — =coscp — ? ^ = 0080)-^ -,

\ la Aj/ ca ca ' ' Ai

i Fs cos 3) cl . , ds . ç'cnsD

f TT = -^—tj 7T = snî'-& — <; T7 =8nicp r—p- .

[ cb J.J,' ^ C 0 ' (U AS

da da ds

TV- 1-1 • . 1, 1 1 , , , d. ds d

iNous obtiendrons ainsi tout d abord, eu égard a - =

'' ds d. , , , , ,. p .,

==— , -r- , toulcs réductions lailes : dh dh . ds

j cWj, (\\ <i (usina;) (lisiii^)ç'

l la cb '/.-(b'da Y'jj'

] eu. c'i\ r/ (neos a-) (iicoscû)ç'

(-■ ' '■) j Tb^ü=- -xH^dl- ^'- '

I es, Uj 0 tb 4 il- 0

\ c)a ùb cb va

Des deux dernières de ces égalilés il résulte que, dans les expressions (2(39) de 0,, (J,, les parties aflectées de i)', entre crocbels, s'annulent, et les deux premières donnent les valeurs de ce qui y reste, d'où il suit qu'on a, en effectuant lesdilférentiations de 0 sin ç et de Ü cos ? :

,„ , E'A'' /ü,-'sin'j a'sincp ncoscoX

^~ ' i ^„ , E'Iv /a;'coscp il cos» £iSina.\

où (Note du ?, U), page Si) l on a j— 7, = i»,-

Si mainlennnt on introduit ces valeurs de (J,, 0.> d^uis la troisième équation (268), en posant, pour abréger :

I, ^ (■ V. + V'[i 4- W'y - (A"«, + n"[i, -4- C'y,) cos y> - (.\"«, + l}"j3, + C'y,) siii;;, on a d'abord la s\iivanle :

'^ 70. l'ISF.MIKIiK AITIIOX. I.KI T. 1 LKXiUN K.N SI Kl ACK ItKVKI.OI'l'AItl.i;. 075

Et si l'on introduit les valeurs (255) de rp r,, s, dans les trois dernières (268) modifiées par (208 a) on a les deux suivantes :

/ D, sin p = U"a. + V"«.i H- W^

! +T9"M ,7^7 [smcpsui(5>— ;>)-^t) cos ? cos (-i)—;^)],

l ■" 12(1- n^^) r i^^"^ '^ '^^" '^ ~^^^ ~ '^ suis cos (=—;>)],

à la place desquelles on peut écriie les deux combinaisons (274) et (271 a) qui suivent, obtenues en multipliant successivement par cos/). sm p, puis par sin 79, — cos p et en additionnant chaque fois :

l O^Mh-tttt-, 7- - . rsiii-(* — /)) + n'cos-(? — pli,

(•274) <' 12(1 1} -) A VT / ; / \r l!p

en faisant M = [U'a^ + V'ßi + W'yO cos p^(i"oL, -i-\"p,-^\\"r,^ sin p ; l ,> AT E7i'' û . , , ,

(en faisant N =: (Ü"a,4-V"3j +-W"r,) sinp — (U"a, + V'%+W"y.)cosp.

Nous obtenons de l'équation (275). apr-ès en avoir élitniné D^ au moyen de celle (274 a) quicn fournit la valeur,

( +(l-9']j,("sin(^ — ;;)cos(cp-;»)jj.

On a ainsi éliminé la variable D^ ; on peut inversement considérer Ü comme inconnue el joindre, comme nouvelle équation, la suivante (255 a) du^ 67, page 65 i qui définit cette fonclion :

(276) a = ^»" ^^^^'" ~ ^o'""^ "^ • 0" ^ VÖ - KQ -+-

Les deux équations (271), les deux (271 «), et celles (274), (275), (276) donnent sept relations entre un même nombre de fonctions inconnues ^o,-/;«' 'Co» ?> >M?,ß.

Les quantitr^s désignées par K, M, N. dans (275). (274), (274 a) ont

(hG ihai'- V. — im,\qi;ks mi.nci s.

une sigiiilicalioii mécanique simple. Si, primilivemciil, X, V^, /représentaient les composantes, rapportées à l'unilé de surface, des forces agissant sur un clément ds dz de la surface périphérique, et décomposées paralléllement aux axes fixes des x\ ij , z, les composantes de ces mêmes forces décomposées respectivement dans le sens des axes des:-, des ic et des // liés à l'élément et se mouvant avec lui, sont respectivement

Xa+Y^ + Zy, Xa, + Y[i, -h Zy, , Xa, + Yjî, + Zy, ;

et ces mômes forces décomposées parallèlement à trois droites reclanrrulaires dirigées respectivement suivant le môme axe des r-, suivant la direction de la normale à l'élément (/s de la phériphérie, menée vers l'extérieur, et suivant cet élément ds lui-môme, auront pour composantes :

Xa + Y^-iH-Zy,

(X«! H- Yß, + Zy,) eos p + (Xa, ^- V;i, -+- Zy.) sin p, — (Xa, H- Y[ii + ZyJ sin p -+- (Xa, -h Yj^, + Zy,) cos p.

Multiplions ces deux dernières composantes par cJ^Js, et intégrons lie — 7 ^1 + ff' "ous obtiendrons évidemment Mds et — ^ ds, d'après les définitions (267 c) de U", V", W". Par conséquent, Mds et N ds sont les moments des forces extérieures agissant sur l'élément d'arc ds, moments tendant respectivement à opérer une rotation autour de la direction positive de l'élément ds et autour de sa normale dirigée vers l'extérieur.

La (grandeur K se compose de deux parties. Colle D'à -h V'[i H- W'y est la première des trois composantes ci-dessus, intégiée par rapport à z. Celle première partie de K, multipliée par tis, représente donc la composante des forces agissant sur l'élément ds, suivant la normale à la surface médiane. La seconde partie, ou le reste de K, est absolument semblable à — M, avec cette différence qu'il s'agit ici de la composante totale des forces extérieures agissant sur l'intérieur de lélément, au lieu de celle des forces agissant extérieurement ou sur la suiface, l'orcesqui figurent dans celle dernière quantité.

g 71. CAS l'AItTICUI.IEl! ÉTENDU ET I.E l'I.I'S UTILE. 077

^71. — Considération d'un cas particulier très étendu; suivie d'une indication générale relative à la théorie des plaques primitivement courbes.

Les quantités K, M, N sont ordinairement fonctions de s, q„, r,„, ;

il faut donc, en général, considérer à la fois les sept équations différentielles ou autres entre la variable indépendante .s et les sept inconnues 5o, •/;o, Co' Qi 'm 9, ß- Il y a cependant un cas particulier, dans lequel la solulion se simplilie considérablement, en ce que K, M, N, ne dépendent que de ,s et sont, par suite, des fonctions données à l'avance.

Ce cas se réalise si aucune force extérieure n'agit sur les points de l'intérieur de la plaque, et si les forces s'excrçant sur son bord sont invariablement liées à l'élément superficiel sur lequil elles sontappliquées, ou si elles restent les mômes lorsqu'il se déplace.

Dans ce cas, en effet, on peut, au moyen de l'équation (274), expri-

mer r en fonction de (9 — p) ; et, en introduisant dans l'équation (275)

la valeur ainsi obtenue, on obtient l'équation différentielle suivaiile qui est du premier ordre : (*)

, , ,. d'S M[l +lang^'(ç — w)l (h

^ ' as sni^ ('f — p) -h f) cos- [f — p) as

+ ta"g(? i'\is\^n\'(.^-p) ^r)' co^\^-p)r^ "^ Kls\ M sm (y- />) cos {-u-p)

(*) Pour cela, il faut se servir des expressions (271), s' = sin (y — p) — i', 0 ^ — cos (-j — p) -{- /y', dont la seconde donne

et dont la première fournit f

lii , a' n sin (y — y) , n' ni' nsin(ö— ;;) , d { Q.\ n ,. , , , d (Q.\

—■■] — = r^ — —+ rTr=- -H — —+-r\ - =- ? tang y — pH-t( " •

Cela permet d'écrire l'équation (275)

+ (I — >)') ^ [7 sin (? — v) CCS (r — ;^)J 5 . En y mettant, pour — r— —. -y. sa valeur tirée de Vcquation (274), et en se rappelant que 9' reprcsente -r- on anivo à l'cciualiou (270«).

(iTS CHAI'. V. l'LAQL'KS MINCES.

qui, à part o, ne conlient que des fonctions données de .v, el où, en en posant lang (9 — p) = z, on fait disparaître toutes les expressions Irigonomélriques. En intégrant celte équation, et par suite, en en déterminante, l'on trouxe Ü, a, c au moyen des équations suivantes dont les deux premières sont les relations (271) du § 70. el dont la troisième n'est que l'équation (274) :

r COS (= — /;)

ç' = sin(= — p) — ■/.'

E'/r' sin- (-^ — p) -\- p' eus- (y — p)

On connaît donc complètement l'angle de deux génératrices \oisincs el l'angle de deux plans osculateurs voisins, de la surface développable en laquelle se transforme la surface médiane de la plaque, c'est-à-dire le rayon de courbure et le rayon de cambrure del'arétede rebroussement de celte surface, ainsi que la position, dans la surface primitivement plane, de la courbe qui se transforme en cette arête. Il reste à déterminer, au moyen de ces éléments, la surface développable elle-même, c'est-à-dire sa position dans l'espace. On se sert, pour cela, des équations simullanées suivantes (271 a) p. 675, (255ft) p. 634 :

^r (•'î'ï" — -'■/;") -j- ■/;'" (-' ;" — "d 'O -\- 'C' ' (c'/;" — j;';") = fi?'''c '', « ■ « » 0 «' « ^0 0 ■« 0'' 0 ^ 0 u ou' ' * '

qui, si l'on y considère comme inconnues ^'0, ^^^„, 'Co-, sont respectivement^ l'ordre 0, 1, 2. Un procédé plus simple consiste à revenir aux coefficients a. fi, Au moyen des équations (254) p. 65i,

do. sin CP , (h COSO , , /o-r ;\ nr-n ^^^

on constitue facilement le système suivant, en remplaçant r^, r,, s,, Sj

, , ^„.,^, sin 5 cos 9 ^^ , j- • , -,

par leurs valeurs (2oo), l'j = — '-z 0, r^ = et divisant ensuite

sino cos 0

par — -^/ ou —