AO

a'^iîç' (a, sillç — ajCOSç), «, = — fl^'aslnç, a^=n?'aC0S9.

ß' = ar'(ß, sinç — ßjcos?), ß; = — n?'[i sin? , ßj = n?'ßcosc. y' = û?' (ti sin ? — Yjcosç), y',— — nç'rsinç, y^ =:ü?'ycos9.

On peuf remarquer que les trois équations de la piemière ligne

^ 71. CO>f)mo> POUU CK CVS. I'HOUL. l.WEKSE TOUJ. RKSOI.UIM.K. G70

horizonlnle conslilueiitun système à part qui ne contient (jue les y. ; de même celles de la seconde, de la troisième, contiennent seulement lesß, les Y ; et, à cela près, chacun de ces derniers systèmes est absolument identique au piemier. Il snl'lira donc de trouver les intégrales de l'un de ces trois systèmes, pour chacun desquels on en connait déjà une, savoir :

puis déposer pour les a, 3,.... des expressions semblables avec des conslanlcs arbitraires, et enlin, de déUrminer ces constantes de manière

à satisfaire aux équations (252), p. 054 ; a- -f- y- + v"^= 1,

a, X -f- ß., [i -(-Y, Y = 0 Lors(|ue l'on aura trouvé ces coet'ti-

cientsa, ji on déterminera, par desimpies intégrations lesyaleursç«,

•^,„ Lo au moyen des six équations (252) page 055, en ajoutant les trois premières, multipliées par cos ç, respectivement aux trois dernières multipliées par sin 9, d'où résulte que les deuxièmes termes des seconds membres se détruisent deux à deux, ce qui donne en se lappelanlque z\, tj'o, Ç'^, ç' désignent les quotients ditïèrentiels, en s,

"^ ^oi '1o' s i ? •

(/?„ / • il^

(h ^ - (la

'-^ = {% cosç H- %s'm r) ^ , r/.s- f/s

-=(v,cos = + v,sm,)^^^.

il suffira d'indiquer comment on peut traiter ce cas particulier. Je remarquerai seulement que la marche qui vient d'être donnée ne conduit pas toujours à un résultat, car il y a une condition qui dwt toujours être remplie, c'est que les génératrices delà surface développable ne puissent jamais se rencontrer à l'intérieur de la surface médiane(*). Si donc la solution conduit à un pareil résultat, on doit en conclure qu'il se produit des déformations exceptionnelles, ou des points sin-guliers auxquels la théorie n'est pas applicable.

Mais on peut toujours résoudre le problème inverse, c'est-à-dire trouver les forces qui doivent être appliquées à la périphérie d une plaque donnée pour lui faire prendre la forme d'une surface développable déterminée à l'avance. Alors, il est toujours possible de supposer que ]N est nul ; et K, M se déterminent au moyen des équations (27ea), (2706), p. 077. 078.

(*) Ou, comme nous l'avons dit en note au § (37, p. 647^ que l"arête de rcbroussemenl tombe entièrement hors de la jikujue.

680 CHAP. V. — r-LAQiîKs minces.

Celle remarque peut servir iiussi de base à la théorie des plaques qui, dans leur état primitif, ont déjà la forme d'une surface développablc.

On entrevoit facilement que toute cette théorie donne lieu à une série de solutions intéressantes absolument analogues à celles des g§ précédents sur les tiges minces, ou droites, ou primitivement courbes ; et que les problèmes sur les plaques pourront être traités d'une manière semblable.

^ 72. — Détermination des petites dilatations, ou seconde approximation de la solution des problèmes de la déformation des plaques élastiques.

La première partie de la solution du problème de la déformation d'une plaque, et qui a pour objet de déterminer la surface courbe développable offrant, à une piemière approximation, la forme nouvelle de la surface médiane, supposée primitivement plane, de cette plaque, dépend, comme on vient de le voir, de l'intégration d'un système d'équations dilférentielles ordmaires, où entrent, dans ce que nous avons appelé K, M, iN, [expressions (275), (274), (274a)], les forces extérieures s'exeiçant sur la surface latérale cylindrique de la plaque, ainsi que les forces (oïdinairement réduites à la pesanteur dans les questions d'équilibre) qui agissent à l'intérieur. Mais les autres parties de la solution ne peuvent s'effectuer qu'au moyen d'équations aux différentielles partielles simultanées ; je me contenterai ici d'indiquer la manière d'établir ces équations.

LaSseconde partie du problème tolal se propose de déterminer les extensions et glissements, c'est-à-dire les changements de longueurs et d'angles que nous avons appelés t)^,, î)^, g = g^,^, et que les forces extérieures produisent dans les côtés des éléments de la plaque. On peut, pour y arriver, se servir des trois premières équations (207) du

^ 09, p. 608, qui, lorsque l'on y met pourO^vQ^, i\, i\ les valeurs

approximatives trouvées dans le paragraphe précédent, se transformerd. en équations aux différentielles partielles, dans lesquelles tous les coelticients sont des fonctions connues de a, s, ou ce qui revient au môme, d(; a, b. Ces équations peuvent donc servir à déterminer les trois fonctions c*^^, <)^, g, dont il s'agit. Leur solution la plus générale compoi'le un certain degré d'arbilraiie qui disparait, eu prenant en considération les deux premières équations (268), équations qui doivonl élre satisfaites à la périphérie de la pb^qup. Je remarquerai

g 72. l'ICTITKS I)1I,ATATI0^S OC SECONDt; AI'I'HOXIMATION. 681

encore que l'on peut, dans tous les cas, trouver la solution la plus générale des équations (267; ; propriété pai ticuliére et remarquable que je me contente d'indiquei- sans y insister davantage.

Enfin, la troisirme partie du problème comprend les petites corrections qu'il faut Taire subir aux valeurs des ç, 'o, C, ^c, ß, trouvées à

première approximation, pour tenir compte de ce que la surlace médiane courbée ne coïncide plus exactemeni avec la surface développable lorsqu'on ne néglige plus les petites déformations ?^, 'd^, g. Pour déterminer ces corrections, je pose })arlout dans les formules précédentes :

les lettres marquées d'un accent désignant les valeurs approximatives

qui viennent d'être trouvées et les q", y;", a", \et corrections à

leur faire subir, et qui sont très petites du premier ordre. On a déjà vu,

au § 57, (210 a) p. 460, les formes telles que a' = /j,ä — pä,, a'^ =

qui doivent être données aux corrections des a afin de satisfaire identiquement aux relations connues (252) p. 654 qui doivent avoir lieu entre les neuf cosinus a, ß,.... On peut, d'après cela, poser

où q, q^, q, représentent de très petites grandeurs indépendantes les unes des autres. lutroduites dans les expressions (255) derj,r,,r^, s^.... p. 657, ces valeurs, en effectuant les multiplications, et effaçant les termes contenant les produits des petites quantités q, ryp q,, ou de leurs dérivées en a ou h, donnent :

72«"' — 7''. » \ = 1J + 72» — 7Sj 1

(Cl' - (