ri ^ 7iS

Les corrections des ^' , ^' .... se trouvent au moyen des équations

c Cl ou

(255). ^ =?-'i (-' +<^„) '•••• *^" supprini;nil l<'^ i^randeurs d'ordre zc'.'o

ß82 CHAI'. V. — PI.AUIES JII.MJES.

qui sont égales de part et d'autre, et en ne conservant que les grandeurs d'ordre supérieur; car, en mettant dans les premiers membres, ?' -f fpour s, et dans les seconds, a -h x" pour a,, on a

cl' cl" ' '

^ ~^ ~r-= {y-' ■+■ a") (• -1- ^a) ^I"' ^^f Ï3 même chose que a + 7, a' — qa.' -h a' d^^ , en mettant pour a" sa valeur donnée par la première des neuf égalités posées tout à l'Iicure, (276 c), et négligeant les produits très petits du second ordre. Or, on peut effacer, dans le pre-

mier membre, ^^ , et dans le second, «', qui lui est égal d'après la

première équalion (255), '— = aj (1 -+-t^„), appliquée aux déterminations de première approximation, où les dilatations d sont supposées nulles. On obtient ainsi la première des égalités suivantes, dont les autres s'établissent de même :

^ =72^'— 7^-^ «A, nr=7'^,— '/y+=';s+<î^,.

^=7.?'-'/?:+?,^, 7l=7K~Vi?'H-?;g+?Ä'

jj; = <n\ — (la + r'.g + i^v

Ces équations sont tout juste suffisantes pour expriiner les six quantités 7^, q,, 7, t>^^, <)^, g, en fonction des quotients différentiels de ?", r/', C". En multipliant les trois équations de chaque système, respectivement par a], ß'i, y',, puis par a, ßl, -/, puis par a', ß', 7' et en additionnant chaque fois, on obtient, en tenant compte des relations connues (252) qui existent entre les cosinus a'^, a'„ les équations

suivantes :

V ^^ OL -, h ß \- Y -T^ .

oa

ca ' r a

ca

Cru

fj + ë

cb

5 >2. — SLlilACK MKUIAM: >().\ l)KVi;i,OI'rAlil.E MAIS ILÉCHII-; hl' KTENDUF.. 685

Mais l'on a déjà, en traitant la seconde partie du problème, enseigné comment se déterminent o^,î*^, g. Si donc, au moyen de ces six équations, on en forme trois qui ne contiennent plus les trois Ibnctions inconnues q, on aura un système d'équations aux dilTércntielles partielles pour la détermination de ?",r;',;". Ce système se compose des trois équations suivantes, dont les deux premières sont la première et la cinquième ('270) et dont la troisième résulte de l'addition de la deuxième et de la quatrième :

r'if r II c-fii

^-'^^^^-^'i^Tl^'^^^^-^-'^

Comme celles dont il a été question plus liant, ces équations dont on peut, dans tous les cas, trouver les solutions les plus générales, comportent, dans leur intégration, un certain degié d'arbitraire. Pour le faire cesser, il faut établir de nouvelles conditions, savoir celles qui doivent être satisfaites à la périphérie de la plaque. Ces conditions s'obtiennent en rétablissant, dans les équations qui ont servi à la première approximation, les termes très petits du premier ordre qui avaient été négligés dans ce qui précède ; mais il faut conserver en même temps, dans les valeurs zi, w, w, et dans les expressions des tensions, les quantités d'un ordre supérieur de petitesse, et par suite passer, dans les équations (255 a), (255 b) à une approximation supérieure; ce qui du reste s'exécute facilement conformément aux méthodes développées. On arrive ainsi à une forme modifiée des deux dernières équations (267) p. 668 et des trois dernières (268) p. 671 (*) ; et si, dans ces équations, on introduit les valeurs approximatives trouvées, avec les corrections, les termes finis se détruisent, tandis que les termes très petits du premier ordre fournissent les conditions cherchées.

Je viens de donner un court exposé de la série des problèmes qui s'offrent à résoudre loisque l'on étudie la flexion finie des plaques minces. Il n'y a qu'un seul cas où l'on puisse avancei- davantage dans cette étude ; c'est celui où les courbures finies disparaissent, et où il n'y a plus à trouver que les corrections à apporter à la forme primitive

(■) Je crois, d'après leb ;28l ci-nprés, que ce sont plutôt les deux prciiiicics ('267; et les dois i»cniiri es ('208) .

()8i CHU'. V, — PLAQUES MINCKS.

(le la surluce nirtliaiie. C'est ce pioblème, de délerminer la délormalion d'une plaque dont les diverses parties ne s'écarlent que très peu de leur position primitive, que nous allons traiter d'une manière plus détaillée.

^ 73. — Petits déplacements des points. — Retour au cas général d'une contexture qui est symétrique mais qui n'est pas isotrope, même pour les diverses directions parallèles aux bases de la plaque.

Lorsque les points de la plaque n'ont éj>rouvé que de très petits déplacemenls, l'état naturel ou primitif o//>'e déjà la première approximalion. Dans ces conditions, les axes mobiles a,-, î/, z, après les déplacements, se trouvent partout sensiblement dans la direction des axes fixes x' . ij\ z' ; et la première approximation s'obtient en les supposant parallèles, c'est-à-dire en posant :

alors, les équations (279) donnent :

c-ii r'it

l « ta ^ ° cb

1 e? tr (?■ Il (T'ir r it

/non \ / <^ "" ~ C/3 O^ CV

I r ^11 r II

En môme temps, vu que les grandeurs (jue nous avons, au § précédent 72, appelées r', r......s'^,.... [et définies par (277) comme les

(276 c) définissent les a', ß', aL[....\ se composent [analogiquement

aux rp r,...Si définis par les (255) du § 65 page 657] de produits tels

(lue a'-^ des valeurs de première approximation a', ß,... des neuf ca '

cosinus, devenus constants, par leurs quotients différentiels devenus

nuls, ces grandeurs s'évanouissent; celles r", r", s',', — deviennent,

ainsi, identiques aux r^, r,. s,,..., et on obtient de (277) ^ 72, en y

mettant pour r/j, 7,, 7, les valeurs qu'on vient d'écrire,

^'-ib- ib^'

''- tb~ 'ca^'

^''- cb~'can>'

§ 17). KQliATIONS DKS rETITS DKIT-ACEMENTS HOIlIZilMAl X. ().S5

Toutes les grandeurs î)^ ,. î)^, g, r^, i,, Sp sont donc exprimées en fonctions des pclits déplaceni nts ï". r/', ^" éprouvés par les éléments de la surface médiane, à partir de la position de repos. Si nous introduisons ces expressions dans les équations (î2G7), (268), p. 068, 670, nous obtenons les formes modiliées de ces éipjalions dont il est qnestion à la tin du § précédent* II convient de remarquer qu'ici, dans le calcul des tensions, il n'est pas nécessaire de retenir les termes d'ordre supérieur, comme un devait le faire dans les problèmes concernant les flexions finies, car ces termes se trouvent ici naturellement d'un ordre plus élevé de petitesse qu'ils n'étaient alors, puisque les quantités r, s, qui étaient alors des grandeurs finies, sont, maintenant, du premier ordre de pc^titesse.

Les équations mentionnées, savoir (267), p. 668, relatives à tous les points de la plaque, et (268), p. 670, aux limites, c'esl-à-dire s'appliquant aux seuls points de la surface latérale ou périphérique, donnent, en y faisant (commencement du présent §), 3.^ = X=\'^=U les autres a, 3, y, nuls, et en attribuant à c*^^, ?^, g, ainsi qu'à r^, r^, Sp s^ leurs valeurs difléientielles données tout à l'heure en ;", -r;", T' (dont, pour abréger, nous effaçons les accents, en sorte que ;, r,, 'Ç, désignent les déplacements très pc ils qui sont ici les oèplacemenls totaux), les sept suivantes (280 c) et (281).

Les deux premières (280 c) sont ce qui résulte des deux premières (207) ; les deux suivantes résultent des deux premières (208). Un y a, comme on voit, supprimé ce qui viendrait des termes aflectés de ces quantités 0^, Q,, Dj qui ont été introduites comme facteurs indéterminés p. 600 et 662; en effet, si l'on tireQp Q^ des deux dernières (208), on a des quantités très petites du premier ordre comme étant affectées, ou des r, s, ou des moments A", B", U", V" dont les bras de levier sont de l'ordre de la. demi-épaisseur de la plaque. L'on a ainsi d'abord :

d'^\^"-Ti , / dV\ Bn , pf fcl , f-/-,\ B' ^

c J ( b- \ c J cficb ca\ib eu/ h

(280 <•) ( avec les conditions aux limites latérales :

Occupons-nous mainlenanl de ce qui pont l'i'sullcr des trois dernières

6<S6 CllAP. V. I'LAQÜKS MINCKS.

(207) et des Irois dernières ('26(S). Celles-là, en faisant de niôine (x^ = p^ = Y == I , et les autres a, [i, v =:: 0 se réduisent à

c'-t-t-^!- !="-^"-"^-îi;r ••h"-''"-«>4| -h»-

Ici nous ne pouvons plus, comme dans rétablissement des équations (280 c), négliger les termes où sont engagées les indéterminées Qj, 0,- Tirons leurs valeurs des deux dernières des trois équations que nous venons d'écrire pour les substiluer dans la première et donnons à r^, r^, Sj, Sj ainsi qu'à D^,?^,g, leurs valeurs (280 6) et 280 r/), nous

avons la première des trois équations suivantes (281).

La seconde et la troisième (281) se tirent des trois dernières (208) qui se réduisent (vu toujours ol^ = '^^=:'( = 1 elles autres a, ß, v = 0)

W C^ + Q cosyj-hO.,sin» = 0.

es '

M"— D.sin;)— ^^1 ^ = 0.

V" + D,cos;^-^j |=--0

On obtient d'abord, en ajoutant les deux dernières, multipliées respectivement par cos p et par sin p, ce qui élimine l)^, la seconde (281). Ensuite en tirant D^ des deux mêmes dernières équations, ce (jui se fait en les ajoutant après les avoir multipliées par sin p et — cos p, et substituant, dans la première des trois, la valeur ainsi obtenue pour Dj ainsi que celles de 0^ et de 0^ que nous venons de tirer de la (|uatrièmeet de la cinquième (207), nous obtenons la troisième (281).

Ces équations sont, en les multipliant par ^ :

Pour les divers poiiils tic la plaque :

~~/i''\ (U (h) II- {\\ c/'ca \ c jib\(a-

H r(i, -'^)^+{r -'JJi^iiliîiH-sf i'^+'A^.

[\ c, i(h \ {■ Jfir\fh' ^ f h f (il /(If h)

^ IT). ÉglfATIO.NS DCS l'KTITS DKI'I.ACEMKNTS VKÜTICUX . (»87

avec les conditions limites ou rflati\es c'.ux points de la surface latérale :

b - f ^- d j ^J sin p cos p + 2 f .-^ (cos^ p - sin V>) j =

/> H- P)" sin /) — W -h ~ ((■" sin /> — V" cos //) ; (*) (S ' J

= -TT- A" cos h' I

équations où roii peut faire, lorsqu'il y a isotroi)ie Iransversale, coniunnéincnl aux fornmles (:•) du n'' 10 bis de la Note finale du i; 10, [)age 84, quelque différente que la conlexture ou lelaslicile puisse être dans le sens de l'épaisseur de la plaque, état qui s'exprimi; par a = b = 2f4-r, d' = e':

c c cl — n -

a — f 4- H Ilil e' = a - f = l) — f = 2f

Le premier système [celui (280 c)] de quatre équations provenant de celles de composantes, ou d'équilibre de translation, détermine complètement, par lui-même, les déplacements ;, -^ parallèles à la surface médiane. Le second système [celui (281)] engendré par les équations de moments, ou d'équilibre de rotation, détermine les déplacements C perpendiculaires à celte surface lorsque les premiers sont connus. Dans la première équation du système (281), l'on n'a pas pu négliger absolument les produits des déplacements entre eux ou avec leurs dérivées parce qu'ils sont divisés par la quantité très ])etite h^. Ces termes ont d'ailleurs une inlluence très significative.

En ce qui concerne le premier système (280 c), il convient de remarquer qu'il coïncide avec celui des équations (150), (154) du § 45,

{') CeUe dernière équation (281) est celle dite Ae fusion des couples de torsion avec les cflorts tranchants. Voyez le n" LX do l'Historique en tête de l'édition annotée (1804) des l.fçons de Navier, cl le n" 17 de la Nnie ci-après de la lin du prt'sent >$ 7.".

(188 Cli.U'. V. PI.AgllES MINCES.

pages 518, 519, relatif à l'équilibre d'une plaque (Tépaisseur quelconque qui n"est sollicitée, sur sa face latérale cylindrique, que par des forces appliquées parallclemerit à la surface médiane, et symétriquement distribuées de manière à produire seulement de«? extensions sans torsion. La seule différence entre nos équations actuelles et celles que nous citons consiste en ce que celles-ci contiennent des termes dépendant de forces agissant à l'intérieur de la plaque et, par contre, ne contiennent pas ceux qui, dans les équations du présent §, sont multipliés par les puissances supérieures de h.

Je vais traiter les deux systèmes (280 c) et (281) pour le cas d'une plaque circulaire. Pour le premier système, je ne ferai aucune hypotbése sur la nature des forces extérieures; mais pour le second, j'introduirai, alln de simplitler, l'hypothèse que les déplacements ;, y;, parallèles à la surface médiane, et qui figurent dans les équations (281), consistent principalement en une extension uniforme qui serait communiquée à la plaque entière. Cette hypothèse n'exclut pas le cas où d'autres déplacements parallèles à la surface médiane se produisent en même temps, pourvu qu'ils soient as>ez petits pour qu'on puisse les négliger dans le second membre de la première équation (281). J'admettrai donc que les grandeurs l, r,, figurant dans cette première équation (281), sont obtenues au moyen du système (280c) en y faisant égales à zéro les forces A', B' qui agissent sur les points de l'intérieur, et en remplaçant les forces U', Y', appliquées au bord, par une force de traction normale égale en tous les points et dont la valeur soit T par uni^é de surface, de sorte que

U' =: T/i cos p , V =■ 'ïh sin p.

Dans ce cas, où l'on suppose aussi (281 a) que la plaque est d'égale conlexture dans les directions parallèles à ses bases, les quatre équations (280 c) d'équilibre horizontal sont satisfaites par

Substituant dans la première (281) divisée par

elle se réduit à

NOTE DU § 75.^- THÉORIE GÉNÉR. DELA FLEXION, ETC., DES PLAQUES MINCES. G80

Elles mêmes équations ('280 f) donnent, alors, t^^ étant la dilatation horizontale du plan moyen,

D'où, si l'origine des a, b n'a subi aucun déplacement, ces solutions des équations (280 c)

Nous donnerons plus tard la transformation que doit subir l'équation {'•282) pour être appliquée aux problèmes de vibrations. Mais, pour les problèmes d'é(|uilibie, traités dans ce qui suit, nous poserons, en particulier c^^ = d,. = 0, ou T = 0, ce qui annule le quatrième terme du premier membre (*).