THÉORIE DES PLAQUES ÉLASTIQUES. GÉNÉRALITÉS

reviendrons au n" 54, se ressent de ce que l'excellent ingénieur- analyste n'était pas encore en i)Ossession de cette théorie générale de l'équilibre d'élasticité, qui fut fondée par lui l'année suivante; et d'ailleurs, celle démenslration se base, comme celle du beau mémoire cité de M. Kirclihoff de 18i(S-i(S50 (*). sur la supposition que les petites lignes droites matérielles, priniiliveinent normales à la surface médiane de la plaque, sont restées exactement rectilignes el normales à celle surface devenue courbe : or cette supposition générale n'csl pas exacte puisf|u'('lle revient à annuler les glissements g.,., g.,^ ou les composantes de tension l.^., t.,^, et par conséquent les efforts tranchants qui ('rdinairemenl jouent un rôle essentiel (Note finale du § 45, n"'6, 8). Enfin Clebsch lui-même (§§ 04 à 73 ci-dessus), tout-en ne donnant que des concku ions justes, s'est trouvé aussi obligé, par sa méthode, d'annuler [dès son >/ 06, form. ('24(^1 t.,,, t.,^ en même temps que t... Et cette simplification du point de départ n'empêche pas son exposition, du reste ingénieuse, d'être obscure, indirecte, fort compliquée, ce qui tient non pas seulement à ce qu'il a voulu embrasser le cas purement curieux où des déplacements finis transforment d'abord le plan moyen en une surface développable et aussi à ce qu'il a cru nécessaire de partager la plaque en éléments dont chacun a ses coordonnées propres à origine mobile qu'il faut ensuite transformer en faisant des suppositions discutables, mais encore à ce qu'il a fait usage de considérations mettant dans la nécessité de composer [§ 68, expression (257 h)] un terme souslractif pour faire disparaître « une erreur » ou corriger une sorte de double emploi que ces considérations imposent. Il faut convenir aussi que si la méthode de la Mécanique anali/tiriiœ mise en œuvre par le calcul des variations peut offrir quelques avantages, celui, par exemple, qui lui est souvent attribué, de fournir le nombre d'équations définies Jw.'îtemen^ nécessaire, en sorte que son usage a pu faire apercevoir la réunion possible de deux des équations de Poisson en une seule, cette méthode est toujours fort détournée et bien peu propre à éclairer l'esprit sur la vraie raison des conclusions ainsi que sur leur sens géométrique.D'ailleurs on peut remarquer qu'elle cesserait de s'appliquer si les forces en jeu n'avaient pas de potentiel (**).

Or M. Boussinesq, en reprenant, sur notre invitation, le problème des plaqués minces, dans la deuxième partie d'une Elude de 1871 sur l'équilibre et le mouvement des solides dont certaines dimensions sont très petites par rapport à d'autres, et surtout dans son Complément de 1879, que nous avons déjà cité pour les tiges au n° 8 de notre note du § 28, a montré (***i

(*) Comptes rendus IG octobre i84S, p. 394 et Journal de Crclle, XL^ volume, 1850. Urbcr glcichgewicht und Bewegung einer elastirhen Scheibe.

(") Ainsi qu'il arriverait, par exempJe, si l'on avait à mettre enjeu un froltemenl, tel que celui de l'archet sur les plaques sonores de Cliladni, dont les curieuses expériences ont été l'occasion de ce programme de j^rand prix qui a déterminé en 1810 les recherches de Sophie Germain suivies de la découverle, par Lagrange, de l'équation («).

("*) Comptes rendus, 5 et 10 avril 1871, p. 407 et 449, el Journal des mathc'matiques, même année, août, p. 125-274. Complément à celte étude, 1879, même journal, pages 103, .'29; surtout pour le préambule, p. 105, commun aux tiges et aux plaques; puis page 329 pour les plaques seules.

60'"J (.UAP. V. l'I.AQUES MI.NCES. KOTE DU § 75.

qu'on pouvait très bien, sans mettre en œuvre le calcul des variations, éviter ce qui a été regardé comme une erreur de Poisson, ou fondre facilement en une seule ces doux équations définies au contour qu'on lui a reproché d'avoir séparées. Il a reconnu aussi que la théorie de l'équilibre des plaques pouvait, comme on a vu pour celle de l'équilibre dos liges, et même 2)lus facilement^ être déduite simplement de ce que présente de particulier leur Ibrme aplatie, en en tirant les conséquences cinématiques et statiques.

Nous allons exposer cette manière nouvelle, en modifiant sur quelques points ïa marche du savant professeur de la facullè de Lille, et en nous abstenant, pour être facilement intelligible, de cette grande généralisation par laquelle il a compris, dans son analyse, des plaques hétérogènes, composées (le tranches ou de feuillets d'élasticités difiêrentes, etc.

Nous commencerons, après avoir défini (n° 2) nos notations, par démontrer d'une manière simple (n" o) l'équation difterentielle du quatrième ordre de Lagrange, modifiée de manière à s'appliquer à une conlexlure non isotrope de la matière. Ensuite (11° 4), nous justifierons avec détail, en les fondant sur la nature ou la simple définition géométrique de celte espèce de solide, les suppositions mises en œuvre comme approximation suffisante et d'autant plus grande que son épaisseur est plus petite. Puis nous établirons les équations aussi indéfinies ou applicables à tous les points où se trouvent engagés leurs petits déplacements parallèles aux faces, et nous compléterons l'équation des déplacements normaux en y embrassant le cas de la membrane, ou de fortes tensions parallèles aux faces. Ensuite, nous établirons les conditions définies applicables aux points du contour, en discutant avec soin leur nombre, et par conséquent un point qui a été l'objet d'une vive controverse paraissant avoir pris fin, et amener la conclusion que ce nombre de conditions, et, aussi les termes à y faire entrer, doivent être bornés à ce qu'a indiqué M. Kirchhoff, même quand on ne fait pas avec lui l'hypothèse simplificatrice de conservation de la normalité, au feuillet moyen devenu courbe, des petites lignes matérielles qui lui étaient normales avant sa llexion. Nous terminerons par des applications des équations aux flexions des i)laques circulaires minces, en montrant la conformité des résultats avec ceux que nous avons trouvés d'une autre manière à la note du § 45, enfin, par leur application aussi à des plaques rectangulaires, en faisant connaître et étendant les remarquables solutions de Kavier de 182U, à peu prés inédites, et faisant disparaître un apparent paradoxe qui l'a embarrassé parce que la théorie de l'élasticité des solides, dont l'année suivante il a été l'inventeur, n'était pas encore créée et complétée par les théorèmes de Cauchy sur les tensions ou pressions dans les corps de toute nature.

2. Notatiom dont nous nous servirons. — Soit une plaque d'une épaisseur très petite

constante ou peu et graduellement variable, mais syinétri(piement divisible par un |tl;ui que nous ]»jendrons pour celui des .ry ; plan que, pour fixer les

PLAQUES ÉLASTIQUES. NOTATrONS. ß05

idées, nous supposerons horizontal, et qu(i nous appellerons le feuillet moyen, en nonnnant généralement feuillets les surfaces intérieures sensiblement parallèles aux deux laces et partageant les plaques en couches, connue nous appelons fibre^^ les ligues matérielles longitudinales dans les tiges. Nous nommerons

Uq, Vq, h'q les valeurs, pour :=0, ou pour un point (.r, y) de ce feuillet moyen, des petits dé|)lacements u, v, w, de sens x, y, z^ ;

^x> ^y, ë'j:ii' ^'^^ valeni's, aussi pour^ = (l, des déformations c^,., dy, g,.y ;

ixxi Cl/ M 7^) les valeuis, encore pour 3 = 0, des tensions

et de leurs dérivées en .'•, y, i, pour l'unité superficielle des faces où elles agissent ;

^'.r.vy ^'tjir ^'.nj des quantités dont nous dirons au n° 6 l'origine et qui résulteront de ce que, dans 1,.^., t , t réduits à n'être fonctions que des trois

déformations ?,., ?„, g-,.,,, on aura misa leur place respectivement -rr^» -r^y

" ^.r% ' (t..) ; = -H :ou- e, OU (t.-) e, (t;;)-E, OU simplemBut t^, t^, les valeurs

de t,., et de même pour t^,., t,,^, qui sont lelatives à z = z ou à ^= — t,

c'est-à-dire aux points des surfaces supérieure et inférieure de la plaque,

par unité de leurs éléments superficiels.

Et rappelons ces notations deClebsch, pour un point quelconque [x, y, z) :

A, B, C, les forces motrices ou d'inertie agissant [§ 68 (263 b)] sur l'unité de volume de la matière, dans les sens .v, y, z ;

U, V, W, celles qui agissent, aussi dans les sens x, y, z, sur I'unile superficielle d'un élément ds ch- du cylindre contournant, ds étant un élément de l'arc s du contour du feuillet moyen;

A', B', C, V, V, AV = I '' (A, B, C, U, V, W) dz ;

A", B", C", U", Y", W" = 1' (A, B, C, U, V, AV) zdz ;

/\ p = n, X, l'angle fait avec les x par une normale n au cylindre contournant

ou à sa coupe par le feuillet moyen.

Appelons encore :

Ms, le moment dit de flexion au contour pour l'unité de sa longueur ; ou

\ds le moment, autour de l'élément ds, des forces qui agissent sur la

bande 2 zds ayant toute la petite hauteur % du cylindre contournant; M,(, le moment de torsion au contour, aussi pour l'unité de sa longueur ;

ou M,ids le moment autour de la normale n, des mêmes forces agissant

sur la bande 2c ds.

5. Equation différentielle indéfinie des déplacements w^ des divers points {x, y, U) d/( feuillet moyen de la plaque. — Nous déduirons cette équation de •

celles de l'équilibre de translation ('24 du g 12) d'un element tir dij ih, dans les sens x, y, z, d'un corps quelconque :

ê)i H 91 di di di di c\ ?.v

Les dérivées en x, y des trois composantes de tension t^,^, t,^,^, t^.^^ peuvent, comme on va voir, s'exprimer en fonction de celles du déplacement n\ des points du feuillet moyen : il convient donc d'éliminer, des équations qu'on vient de poser, les autres dérivées, qui sont celles des composantes t,,., l.^^, t., agissant sur des plans parallèles à ce feuillet, de manière à avoir une équation où n'entrent, avec les premières composantes, que des quantités connues. On y parviendra en ajoutant la troisième des équations (ft) aux deux premières multipliées par z après avoir été respectivement différentiées par rapporta./- et à /y, puis en intégrant, entre les limites — c, + s de l'épaisseur de la plaque, cette équation somme multipliée par àz; car des intégrations par parties produiront la destruction mutuelle de plusieurs termes. C'est ce qu'on produira même simplement, avant les intégrations, si Ton remplace, dans les deux premiers termes de la troisième équation (/;), I,. et t,^. par les seconds membres des identités

■' -■ ('Z dz ^11- — f z oz

car l'effet en sera, dans l'équation somme, la disparition de quatre termes, ce qui la réduira à

fdn 9n ê)H s c) i)lzl ) c) 9(zi ) 91 /n. pnN

en sorte qu'en intégrant de z=: — s à z=^-\-z après avoir multiplié par dz, les trois termes qui restent en 1.^,, t,,^, t,. ne fourniront que des quantités censées connues. Le premier, par exemple, donnera, d'après la notation du

. On pourra écrire (même n°) A", B", G

n'* précédent, —

str;.— — E)t^

à la place de f kzdz, fWzdz, fCdz; il en résultera l'équation d'équilibre

n re 9n

' - £ 9x9 y J - e 9tß

OÙ l'on a

[e) J^^^^}^zdz + ^. j' ^zdz-^ I' '-J!lzdz+f(.ivy) = 0,

(/■) />-^^) = C'+(tJ^^-(tJ^+Ç^ + ^+^-s(tJ + t-)+|-..(t- + l-).

expression dans laquelle tout est censé donné et connu en r, y, et dont on n'aura à conserver le plus ordinairement que les deux premiers termes.

Celte équation (r) est, juscprici, très générale, puisqu'elle CDUvient quelle que soit la matière de la plaque et quelle que soit son épaisseur 2e, constante ou variable.

KTADI.ISSKMENT .NuUVKAl' DK I/kOIATION PL' 4'' (M'.DHE DK LKITR ÉQUrMURE. 695

Or je dis qu'elle se changera en une autre ayant Wq pour seule inconnue et comprenant comme cas particulier celle de Lagrange, si, pour une matière de contexture symétrique, l'on fait les deux suppositions suivantes, qui seront justifiées ensuite pour 2: très petit :

1" Qu'on ait partout (ce qui a été supposé par tous les auteurs ayant écrit sur les plaques) (*).

2" Qu'on puisse prendre aussi partout, si le feuillet moyen s'est courbé sans se dilater et si p, r/ désignent les rayons de courbure de ses coupes

parallèles aux z.v et ://, c^^ = -' <),, = ■^, ou ce qui est la même chose

^ ' v 0x- U c)if

supposition qui paraîtra naturelle et rationnelle puisqu'elle revient à composer ensemble ou superposer, comme a vu à la note finale du ^ 45, Jorniules {(l), [u] des n"* 5, 5], deux üexiom cylindriques, à angle droit l'une sur l'autre, d'un élément de la plaque (supposition analogue aussi à ce qu'on a pour les liges, où elle se réalise lors même (jue des efforts tranchants infléchissent légèrement les sections).

En effet 1" si la matière de la plaque possède trois plans de symétrie de contexture perpendiculaires aux .v,y, z,on a [formules {(/) de la Note finale du § 16 déjà reproduites au ^ 66 sous le n° (259 a')] :

> t =a? +PD -fe'D , t =dg ,