V .rx .,■ ' // ' z' yz ^ijz

U] l t =i'D +bO +d'D , t =re? ,

( t =e'D +d'a +cD , t =ï<i .

D'où, si l'on fait [(j) t.. = 0 dans la troisième de gauche, ces expressions déjà trouvées aux g^ 66, etc.

2° Les suppositions ih) introduites dans ^ ^ ■ t — ^ ^ i . -,

ou dv\ ~x)

ê)*Wo

SxSy xy ê)x'^ê)y'-

C) Même les deux derniers, M. Boussinesq et M. Lévy. Voyez pour celui-ci, dans son Mémoire sur les plaques, du Journal des mathématiques, volume de 1876, la quatrième des formules XI qui sont relatives à une pla([ue d'épaisseur quelconque; puis, pour les lormules complémentaires qu'il ajoute, au § III, à celle du §11, ses expressions (17), et le résultat de leur substitution dans la troisième (i): enfin au ,t; V, après 1 inti^oduction de forces d'abord abstraites (comme la pesanteur et l'inertie), la quatrième des formules (29).

096 r.n.vi'. v. — PL.vgi'Ks minces. — note du § 75.

Si l'on subslitue cette expres.sion ainsi que celles (j) différentiées deux fois, l'une en .r, l'autre en y, dans l'équation d'équilibre trouvée (e) en mettant pour ^,, ?, leurs valeurs [h), comme les w^ sont indépendants de la coordonnée z, ils sortiront des signes d'intégration : et comme tout se trouvera multiplié par

il en résultera l'équation en \i\ du quatrième ordre

Elle est plus générale que celle [a) de Lagrange ; et elle se confond avec celle-ci, non seulem.ent quand la matière est complètement isotrope comme il l'a supposé ainsi que Navier, Poisson, Cauchy, mais encore lorsque l'égalité de contexture n'a lieu que dans les divers sens parallèles au feuillet moyen, l'élasticité pouvant être aussi différente qu'on veut dans le sens perpendiculaire. On a en effet, alors [note du l 10 form, {h), {x) pp. 77, 87., etc.],

e'- d'e' d'* in] a = b = 2f+f', d' = e' . a - = 9f + f z=b = a,,

d'où en divisant par ^ ainsi que par ce coefficient iV élasticité a^ que nous

avons dit (note du ^ 16, p. 85, et note du g 45, p. 559) èire propre aux plaques dont la matière a cette contexture assez ordinaire :

ê>x'^ ' ê).v^i)y- ' t'(/4 2ais

Telle nous paraît être jusqu'à présent, en la confirmant comme on va voir quant aux deux suppositions généralement faites [g], {h), la démonstration la plus naturelle de l'équation principale, étendue pour une contexture non isotrope, de l'équilibre des plaques dans un sens perpendiculaire à leur feuillet moyen.

4. Raisoui^ et véritable aens f/es suppositions (</), [k) faite>: pour arriver à Véijuation (a) du quatrième ordre en iv^. — A défaut de solutions générales et exactes (juc l'analyse nous lelnse pour ré(iuilibre d'élnstic.ilé de corps de formes quelconques, ces sortes de suppositions se font à l'effet d'obtenir des solutions approximatives applicables à des corps spéciaux, comme on a vu qu'il a été fait pour les tiges à la .Note du § 28.

Le vrai sens de la première {(/), t ^0, que nous faisons ici pour les plaques, n'est donc point que l'équation obtenue [o) soit applicable seulement quand les forces extérieures se trouvent être telles qu'on ait la composante de tension t., réellement zéro partout, ce qui excîluiait les cas où la plaque supporte une cbarge répartie sur sa l'ace supèrituie : en la faisant, on en-