RAISONS ET VRAI SENS DES BASES DE LEUR THÉORIE

tend seulement que pour tous les systèmes de forces non exceptionnelles, les déformations se distribuent d'elles-mêmes, en chaque endroit, à très jtou près comme si cette composante de tension t était nulle.

La raison ou justification de cette supposition {g) ainsi que de l'antre (A), comme grande approximation, se trouve simplement dans la nature même ou la forme de ces corps aplatis qu'on appelle des plaques.

Concevons en effet (*) que notre plaque soit divisée par des plans perpendiculaires aux X et aux 1/ en tronçons rectangles ayant leurs dimensions horizontales comparables à leur petite hauteur 'Je. De ce que la longueur et la largeur totales de la plaque sont loit considérables relativement à de pareilles dimensions, il résulte que deux tronçons voisins se trouveront dans des condilions à peu près pareilles par rapport à l'ensemble du système et à ses limites ; de sorte que si l'on abstrait des régions de peu d'étendue auprès des bords, etc., on peut admettre que chacune des six composantes t^^, t de tension, et chacune des six déformations élémentaires

?j., g , s'y distribuent de manière à avoir des valeurs fort peu différentes dans ces deux tronçons contigus,en des points situés sur le même feuillet ou aux mêmes hauteurs z au-dessus du feuillet moyen. Aulrement dit, les dérivées des t,.. ?,.. g.., qui peuvent être grandes par rapport à la coordonnée z, seront comparativement, si on les prend par rapport aux coordonnées aj, ?/, extrêmement petites, et pourront être traitées comme nulles.

Poser ces — — ^-^ = 0 comme une approximation d'autant plus grande que

ùx, ( y

la plaque sera plus mince (analogiquement à ce que nous avons dit pour les tiges à la fin du n° H de la note du g 28) ne sera que traduire analytiquement, en quelque sorte, la définition de la plaque, et l'énoncé de la question actuelle, qui est de s'éclairer, de se renseigner sur l'ordre relatif de grandeur des diverses tensions ou des diverses déformations dans chaque tronçon d'une plaque mince.

Contentons-nous, d'abord, de prendre

(p) — ^ — ^^r—^ =1 0, OU extrêmement petits.

Cette supposition réduit les deux premières équations d'équilibre [b) à

ùZ cJZ

Si on les intégre par rapport à la petite coordonnée z on voit que les composantes t,^, t, nont de valeurs, à l'intérieur d'un tronçon ou élément de plaque, que celles qu'elles peuvent avoir sur une des deux bases, plus ce qui vient des forces A, B, agissant sur sa masse. Ces forces locales n'on qu'une influence insignifiante qui n'est presque rien en comparaison de ce

(■) Commencement du Complément de 1879 à une étude de 1871 sur les the'ories des corps élastiques dont certaines dimensions sont très petites relativement à d'autres, par M. Boussinesq (Journal des mathématiques, t. V, p. Iö5).

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qui vient à la fois de toutes les forces agissant sui- le reste de la plaque ainsi que sur ses bords par les réactions des appuis ou autrement, et dont les effets accumulés se transmettent au tronçon à travers ses quatre faces latérales, ce qui s'applique surtout aux composantes agissant horizontalement.

Les composantes tangentielles t,^., t. i^ont donc ou nulles ou 1res petites vis-à-vis de ces trois t , t , t , dont les intensités, souvent considérables, sont ce qui résiste à la flexion, et n'ont de très petit ou nul que leurs dérivées en X, y.

Substituons maintenant les valeurs, quelles qu'elles soient, des compo-