C-i fit

oi^ <; t.

santés t , t dans la troisième équation d'équilibre qui est -^ -\ — ^' -{-

-~ -{-C=:0. Les deux premiers termes seront extrêmement petits à double

titre, puisque ce sont les dérivées de tensions qu'on vient de voir être très petites, prises par rapport k x e.\. ij, c'est-à-dire dans les sens où les diverses quantités ne varient qu'insensiblement ou fort lentement comme on a dit. f]n les effaçant et en raisonnant comme il a été fait pour t, ., t,^^, on voit que : La composante t, très petite derant t,^, t, , Vest à double raison devant celles t , t , t ,.

r.)' XI/ !/!!

Et si à celte considération l'on ajoute que, dans un tronçon, la force t a pour caractère, plus que toutes les autres, d'agir par sa valeur particulière et locale sans rien emprunter aux tronçons environnants, on voit que l'on aura toujours une suffisante approximation pour tout le reste, notamment pour les relations mutuelles des diverses déformations, si l'on détermine ce qu'elles seiont en prenant avec tout le monde, comme nous avons dit au n" précédent :

[(gf) reproduite] t = 0.

5. Suite. Raison ou justification des deuxièmes suppositions, [h). — Il nous suffira pour la donner, d'admettre et de prendre

suppositions qui sont bien moins restrictives que si (n° précédent) l'on faisait 1° t,^, t,, et par conséquent g^^^ g nulles, et 2» nulles aussi [comme on a

dit pour ■'•■r- .rt/1 ?/?/ "j igg dérivées du premier ordre de ?, en x et y; d'où

c)x, c)y il suivra que les suppositions [q) pourront conduire à des approximations plus grandes, ou s'appliquant à dos plaques moins minces que ne

feraient des suppositions g ., g =0 et ^— = 0 (Voyez len» 2! ci-après).

Les relations (7) de gauche donnent les quatre égalités

¥x\J~x'^ ¥z)-^'d^j\Yz'^ dTi)-'^''f;j\dx^ î^z)-^' ^x\?z^ dy}-"^'

ex -f

reviennent à

Fz Fx-'

Fd,/

iz

DII.ATATIO.NS EN FONCTION DES DÉPLACEMENTS DC FEriLT,ET MOYEN. 699

dont les deux premières, et la somme dos deux dernières, si l'on a égard à ce que

Fjj'^ Fx~"-^'/

^ «^ gj.'/ 2

c y- Fz FxFy

Or les seconds membres de celles-ci, diffèrentiés par rapport à z, donnent tous zéro pour résultat en vertu des dernières {q), puisque ?, n'est autre

chose que ■^—. Ces seconds membres des (r) sont donc indépendants de la

oz

coordonnée z, et on peut leur attribuer, tout le long d'une perpendiculaire quelconque au feuillet moyen, les valeurs qu'ils ont pour un des points de cette perpendiculaire, par exemple le point ;. = 0 où le feuillet est coupé par elle, et où l'on a w = u\; ?, g = ?", g°. Intégrons donc ces équations (/) en y remplaçant iv par îr^, nous avons celles-ci :

Les deux premières comprennent celles {h) employées au n° ô qu'il s'agissait de motiver. La troisième comprend implicitement celle [le) que nous en avions déduite.

Elles montrent, comme conséquence cinématique des égalités posées (q), que les dilatations de petites droites matérielles horizontales de direction donnée varient Unéairemeni le long de toutes les lignes primitivement verticales, des divers points desquelles ces petites horizontales auraient été tirées.

Il convient de remarquer en passant que cela n'entraîne nullement, comme conséquence, que ces verticales resteront exactement droites et normales au feuillet moyen devenu courbe, car leurs petits intervalles horizontaux peuvent très bien croître linéairement avec z quoi(ju'elles soient devenues courbes, si celli^s qui sont voisines affectent des inflexions pareilles, ainsi qu'il arrive pour les sections voisines, dans les tiges éprouvant /a ^exion dite inégale.

Remarquons aussi que lors même qu'une plaque mince posée, par exemple, tout autour sur un cadre horizontal, n'est sollicitée à fléchir que par une charge disséminée sur sa face supérieure, cas où il se trouve nécessairement des tensions ou pressions t,^ d'une certaine intensité, les équations

construites comme a été celle du quatrième ordre (m) ou [o^ en se basant sur la supposition \.„ = 0 partout, ne cessent pas d'être applicables et de pouvoir donner, avec toute l'approximation désirée, les déplacements ii\ du feuillet moyen, en mettant, bien entendu, dans le second membre f{x,y) de (n), ou dans (/") du n" 5, à la place de (t„) ^ sa valeur finie et donnée en fonction de x, y. En effet, comme nous avons dit au n° 4, ce sont les pressions sur toute la plaque, y compris les réactions du cadre d'appui, et

700 rHAP. V, — PLAQUES MINCES. NOTE DE §75.

non les seules pressions locales sur un élément ou tronçon particulier, qui déterminent ce qui se passe dans ce tronçon. En général, les <), g, t seront sensiblement les mêmes dans tout tronçon à base carrée de côlés 2 z que si aucune force n'agissait ni sur ses bases ni sur sa masse : leurs valeurs ne dépendront tiés sensiblement que de celles qui agissent ensemble sur tout le reste de la plaque.

La môme cliose, au reste, est admise pour les tiges. Bien que les formules de leur flexion aient été basées sur la supposition (Note du ^ 28) que leurs faces latérales sont libres, personne ne met en doute que ces formules ne s'appliquent à une pièce horizontale posée aux deux bouts et supportant une charge répartie sur toute sa longueur (*).

G. Conséquences plus générales de^ expressions [s] des trois déformations S^, 2 , g de directions parallèles au feuillet mojjen de la plaque. — Équation différentielle en »'„ lorsque la contexture de la matière n'est symétrique que par rapport aux plans parallèles à ce feuillet etlorsquelle manque même de cette symétrie. — Nous avons appelé, au n" 2, t" les valeurs des tensions t

de mômes indices pour z = 0, et t' ce qui résulterait de ce que,

dans t supposés amenés à n'être fonctions que de ? , ? , g , on mît

à leur place, respectivement, -c,—^, -t-t^ ^ -

o'x^ ' cy" f '^( y

Il en résulte immédiatement [formules (s)] que si les composantes de tension dont nous parlons sont effectivement amenées à cette forme, on a :

(/) (t , t , t ) = {to, t», t" )-j(t', t', t').

^ ' \ .cf' j;;/' ij!/' ^ 3-x^ xf ijij' \ .rj' .cy' niji

Si l'on intégre de — s à -f- s après avoif multiplié d'abord par dz, puis par zdz, on 'fera disparaître, la première fois, les t', la seconde fois les l",

vu que / zdz = G et que les t", t' sont indépendants de z, 11 restera ces deux égalités :

(?/) f' (t , t , t )di = %{\.\ t", l");

^ ' J^^ .v.r .rif ijij' ^ xi' xii' ml''

M r (t , t , t )zdz = — ~(l' , t', t').

Or on peut facilement faire voir : 1" que moyennant la supposition {y)

t,. =0, faite et motivée aux n"' o et 4, on peut toujours amener les

t , t , t à n'être fonctions que de î) , ? , g si la matière de la plaque

a en tout point un plan de symétrie de contexture parallèle aux xy;

2° que moyennant qu'à cette supposition t.. = 0, l'on veuille joindre celles

(.r) t =0, t =0, l -■'• sjij

(*) J'ai, dans un Mémoire des 50 octobre et 6 nov6njl)re 184.". elierché à tenir compte (p. 946 et 10'24 des Comptes rendus) de cette pression latérale que je supposais décroître uniformément de la face où elle' s'exerce jusqu'à la face opposée de la même (lièce, où celle même pression est nulle, et j'ai calculé son effet pour modilier les dilatations ou contractions longitudinales des libres d«' la pièce. Je n'ai trouvé que des termes négligeables.