ÉQUATIONS DIFFÉUEMIEI.LES POUR TOUTE CONTEXTURE

admissibles aussi (mais à une approximation moindre, comme on a vu au 11" 5), l'on pourra encore exprimer 1 en ? , ö , if lorsque la pla-

que n'aura pas de plan de symétrie de contexture, ou, si elle en a, lorsque ces plans de symétrie ne seront pas parallèles aux .rij ou au feuillet moyen.

En effet, 1" s il y a un plan de symétrie parallèle aux xij, il résulte de quatre des formules (/"bis) de la note finale du ^ 10, p. 70, que les quatre composantes de tension t^.^, t^ , t , t.. s'expriment linéairement en fonction seulement des quatre déformations c* , ? , c et t) . En égalant à zéro, en vertu de la supposition (</), l'expression de t,., on a une équation du premier degré dont on peut tirer ?. pour en substituer la valeur dans celles des trois autres composantes, ce qui donnera bien t^.^., t ,^, t = sommes de produits de?^., <) , g par des coefficients ou paramétres d'élasticité.

2" En second lieu, s'il n'y a pas de plan de symétrie de contexture parallèle aux xy, et si, après avoir posé les six formules (!2ô) du ^ 11, p. 58, donnant linéairement les composantes de tensions en fonction des six déforiiialions D, g, l'on égale à zéro non seulement t,., mais aussi t,,,, t, , ce qu'on a dit au n« 5 pouvoir être fait en tant que manière d'obtenir des relations approchées entre les diverses déformations dans chaque tronçon, l'on aura, comme l'a observé M. Boussinesq, trois équations à premier membre zéro, dont on tirera c*,, g,^,, g , qui, substitués dans les expressions de t^,^. \xy, t , les rendront encore fonctions du premier degré de D^., () , g . seuls.

En y mettant, à la place de ces trois déformations, les expressions (.s) du 11° 5, on aura, pour les trois mêmes composantes de tensions, les expressions [t], d'où celles (y); et, par conséquent, en substituant dans l'équation d'équilibre vertical [e) du n*^ 5, on aura :

2e5 y ex- ^ '^^ l)

Ce sera, vu la signification (n» 2) des t'^^,, ^^, ^,^, l'équation aux différences partielles du quatrième ordre en »'„, x, y, comprenant, comme cas particulier, celle (/n) du ir 5.

On voit qu'une équation de cet ordre, où se trouvent engagés les déplacements, dans le sens i, des points du feuillet moyen, et exprimant l'équilibre, dans ce même sens, des éléments de la plaque, peut être posée pour toute contexture homogène, ou ne variant, autour des divers points que d'une même manière, du reste quelconque.

Et elle est applicable, comme on voit, même quand l'épaisseur 2s de la plaque, au lieu d'être constante, est une fonction graduellement variable de x et y.

7. Etablissement des deux autres équations différentielles indéfinies ou applicables à tous les points du feuillet moyen, et exprimant l'équil/bre de translation des éléments dans les sens x, y qui lui sont parallèles. — Ces équations ne seront autre chose que les deux premières équations générales

{b) de l'équilibre, prises pour toute l'épaisseur, c'est-à-dire multipliées par dz et intég-rées de — s à -4- s.

En y mettant pour les t^,,.^ ^.^^ ^^^ leurs valeurs [t), ou pour les p t zch

leurs valeurs {u), ces deux équations deviennent, vu les notations du n» 2 qui comprennent celles de Clebsch /(A, B)dz = A', B', et pour z variable comme pour e constant :

Développons les pour les cas de la contexture triplement symétrique,

où les t^^, t^^^^ sont représentés par les formules (j), le t,.^ l'étant par (t) fg^,^;

nous aurons, les î»^., c)^^, g^.^ étant remplacés par leurs valeurs

ou ov i)v eu ^. . . .

öTf r-t c, — y--c- particularisées pour s = 0,

cx cy c'.r oy '

devenant, pour le cas d'isotropie partielle ou d'égale élasticité dans les directions parallèles au feuillet moyen, uii l'on a, entre les coefficients, los

relations (n) a = b = 2 f + f rappelées au n" 5, en sorte qu'ils se

j'édnisent à deux, ai et f,

r D /c)uo Pv„\ , P /Pli. Pi\,\ 1

Ces équations du second ordre mettent en évidence ce (ju'a très bien lemarqué Clebsch après Cauchy et Poisson, que la détermination des déplacements v,„ /'o des points du feuillet moyen parallèlement à son plan est indépendante de celle des déplacemenis normaux w^ qui produisent les flexions, et qui sont régis par l'équalion du quatrième ordre (in) ou (o).

8. Complément à ilontier an ^eeoml membre de reijiiation (m) ou [O) ou [y) en Wo lorsque des tensions jiiepondcrantes sont e.rereées dans des directions parallèles au feuillet moyen. — Application aux membranes. — Ce com- I)lémenl se trouvera en tenant compte de ce que négligent les trois écpiations ordinaires d'équilibre (b) des éiénicnls, à savoir, ce (pie peuvent ajouter, aux forces agissant dans le sens de la coordonnée verticale z, les projections ou composantes, suivant ce sens fixe, des tensions intérieures t , t , t s'exeicant dans des directions primitivement horizontales ou

ara;' xtj^ m/ ^ r

pci'pendiculaires à celle coordonnée z, mais qui lui sont derenues un peu

COMPLÉMENT .V LEL'U ÉQLATION Ql^AND IL Y A DES TENSIONS PRÉPONDÉRAMES. 703

obliques par suilc de la flexion de la plaque, ou de riiicurvaliuu de sou feuillet moyen.

On s'assure facilement (jiic les petites composantes de ce genre peuvent être négligées quant à ce qu'elles ajouteraient, dans les deux premières équations {b}, p. 694, aux lorces ayant les directions x ely; mais elles peuvent devenir influentes, quant à la troisième équation {b), ou pour le sens z, dans certains cas ; par exemple lorsqu'il sera exercé de fortes tensions ou compressions horizontales sur les bords, et qu'en même temps la plaque sera excessivement mince et llexible; car, al<M's, vu la faiblesse du facteur

•^ affectant le premier mendjre de l'équation (m) on {y}, ce premier

membre pourra presque s'effacer devant ce que nous allons évaluer comme à y ajouter; et l'équation deviendra alors celle de la flexion d'ii/ie membrane, qui n'y résiste ou qui n'exécute des vibrations autour de la situation d'équilibre qu'en vertu de ces fortes tensions horizontales, tensions indépendantes de son élasticité, ou au moins de sa résistance élastique à la flexion, comme fait une tige réduite à l'état de corde tendue et vibrante.

Pour évaluer ces forces additionnelles, de sens z, considérons ce que deviennent les trois extrémités des deux côtés adjacents dx, dy, du petit rectangle suivant lequel l'élément "2 t de dy de la plaque est coupé par le feuillet moyen. Ces extrémités auiont, après la flexion, des coordonnées z qui au lieu de zéro seront :

Wo, U'o + -ïT— rt.r, «'„-f- T— du ;

c\v c II ■>

en sorte que leurs projections sur l'axe fixe des z, par unité de leur longueur, seront

ix ' ly

En regardant ces valeurs moyennes de petits cosinus d'angles légèrement différents de l'angle droit, comme sensiblement applicables à toutes les forces t^.^ dy et t^,^^ dy s'exerçant sur la hauteur entière 2 s de la face 2 z dy, on aura pour les composantes qu'elles donneront dans le sens ^ ;

•^ \ô.T J -ex c y J x,j J

On aura aussi, sur la face opposée et égale, une force semblable, de signe contraire et augmentée de sa différentielle prise par rapport à .r. En raisonnant de même pour les forces agissant sur les deux autres faces, de superficie 2 ■ dv, du même élément 2 s dx dy de la plaque, il y aura lieu, en divisant leur somme totale par dr dy, d'ajouter au premier membre de l'équation (e) du n" 5, qui exprime l'équilibre, dans le sens z, de cet élément de hauteur 2 z, pour l'unité superficielle de sa base (/./; dy :

ox\c>x J XX ^ cij J xy J^ê)y\BxJ xy ' c y J uy /'

qui peut s'écrire, lorsque i est constant, ou bien lorsqu'on peut différentier en a-, y sous les signes | en négligeant ce qui viendrait de la différentiation des limites (*) :

^ »' \ CX-' J '■■': cxdj J ■'■[/ c>lf J illl J

On peut, pour la deuxième partie de cette expression, remplacer les deux intégrales, comme on a vu au commencement du n" 7, par le premier terme de chacune des équations d'équilibre horizontal (^), (i'), où elles se trouvent déjà évaluées ; on peut, par suite, et ce qui leur doimera une expression plus simple, les remplacer par leurs équivalents, à savoir, les trois derniers termes de ces mêmes équations (j), (2') pris en signe contraire, et où tout est connu. En remplaçant donc, dans la première partie de la même expression qu'on vient d'écrire, les trois intégrales par leurs valeurs que donne l'égalité triple [u] du n° 6, l'on a, pour cette expression, ou pour ce qui est à ajouter ainsi au premier membre de l'équation (e), ou au second de l'équation (m) ou {y), afin de tenir compte de ces composantes suivant les z, des tensions dans les directions que la flexion a fait prendre aux éléments dx, dy,

9. Équation différentielle indéfinie complète, du ¥ ordre, de l'équilibre des plaques dans le sens i)erpendiculaire à leur feuillet moyen. — Supposons, comme au n° 5, que la matière de la plaque ait trois plans rectangulaires de symétrie de contexture, perpendiculaires aux x, aux y, aux z. L'équation sera celle (m) de ce n" 3, page 696, en donnant au second membre la valeur (/'), p. 69i, augmentée, pour comprendre l'exception mentionnée au n° 8, du complément (f/j), ce qui donne

C / e'x'' \ C / oX-('f ' \ C / c !l'

-^(^'+t.-t,)-^(B'-Ht^-t,)j-f

+ i. fto??^M-2t"P^ + toÇ^^

{') Si l'on en Uoiil coinplo, il faut ajoulor à celle expivssion (r',), vu que les l' se délruil'oul dans des sommes telles que (tj.^)i::^+t+(*'j-c);=— i •

i':Qi;Ario> du 4" oüdüe co.Mi'i.Èrt;. — cas pahtk;. de la mkmbuam-;. 705

où il V aura lieu de faire, dans la deniière liofiie, si les trois t" ne

O ' .r.c» xi/i tili

sont pas donnés, ou si parleurs intensités à pou près connues, ils ne rendent pas cette ligne négligeable :

Cette équation est conforme, vu 'iz = h, à la première ('281) du texte quand on ôte les teinies en t,;^. , ~ . dont Clebsch n'a pas timu compte parce qu'il suppose nuls les charges, pressions ou frottements sur les deux faces supérieure et inférieure de la plaque ; et aussi, quand on néglige, à la tioisiéme ligne de (ej, les produits très petits des forces horizonlales A', B' par les dérivées de Wq.

Ainsi que nous avons déjà dit au n" 5 [égalilés {n)], lorsque la malièrf. de la plaque est d'égale contexture autour de toute parallèle aux ;, la première ligne ou le premier membre de {e,) se réduit, a^ étant le module

d'élasticité = a ;- =2 f + f propre aux plaques^ à

^ l \CX' cJx-dxf (-y J V-^' fj) J \0X- ex- J 1 i i 11'

et si la matière est tout à fait isoirope, l'on a

'/ -i- u. 8 Nolations de Lamé, a =: c =: >. + 2<j., d'=^ e'= a, a,=4y. . " ' = -G si ). = a =G = f ■

A -j- Vy, 0 '

Notations (.r") de la p. 559, a " c — (2 + tiG. d'= iG, :i, — i ^' G, ^ = l~^' G ;

D ou, s. -.= 1. a.= (2 + tT{2T3Ô ^^Th^'-

iO. Equilibre et mouvement d'une membrane. — La dei'nière ligne de l'équation (e/) est négligeable (juand il s'agit bien dune plaque proprement dite, dont la matière est solide ou d'une grande résistance élastique; celte ligne, en effet, d'après les expressions {e\) des 1°, se compose de quantités de l'ordre de petitesse des carrés ou produits des petits déplacements ?/„, i'o, !t'o- Mais il n'en est pas de même lorsque les tensions t,",, t,°, dans les directions parallèles au feuillet moyen, sont fort grandes, lorsque les païamètres d'élasticité a, b, sont très petits, et que la petitesse de s rend

— très grand. Alors [et cela revient à ce que dit Clebsch après avoir posé

l'équation (281)j, il faut conserver la dernière ligne de cette équation (e^), même à l'exclusion de son premier membre; et si l'on a

C'=23C=-S3p^, f.-=t^-T, to=û,

ou si la force C agissant sur la masse de la plaque n'est autre chose cpie

706 CHAP. V. — PLAQLKS MIKCES. yOlE DU >; 75.

son inorlie vibratoire, sa densité étant p, ou la masse de son unité superficielle étant 2ip, et si T est sa lensiMU uniforme supposée forte, on a

ce qui est l'équation qui a été donnée par tiilei- pour les vibrations des fainbours ('). Comme leur membrane vibre en vertu do sa tension T plutôt que de son élasticité d'extension ou de flexion, l'on comprend que ce soient les composantes verticales, considérées au n" X, de cette tension primiiivement horizontale, s'exercant sur de petites faces que la flexion a rendues légèrement obliques, qui tendent à lamener la membrane à sa forme plane, en sorte que nous avons dû tenir compte, à ce n" 8, des conqtosantes de sette sorte, négligées dans les équations ordinaires ib) de l'équilibre des éléments des solides [").

11. Détermination des (léplacements a, v, w des divers {mnts de la p!a(jiie et des forces qui s'exercent dans son intérieur, une fois déterminés les déplacements Uq, Vo, iVq des points de son feuillet moyen. — Conditio7i de sa résistance permanente. — Supposons résoluei les équations différentielles (ej) en »'„, (:-) et (;'), ou [a^), {a\), (è,), {h\) en u„, /'„, de manière à satisfaire aux équations définies au contour et ailleurs, qu'on établira ci-après, en sorte que les déplacements Wq, !<„, v^, suivant les z, .r, ij des points du feuillet moyen ; = 0 d'une plaque mince aient été calculés.

il est facile de voir que cette connaissance des «„, v,,, ir„ et, par suite, des (5", ()", s° , t" relatifs au feuillet moyen, suffira pour arriver à

connaître les déplacements, les déformations li les tensions en tous les autres points de la plaque.

En effet : 1" Les formules (s) du n" 5 donneront pour un |)oiut quelcun-