V eu ^ CV C U c V

que les?, = ^,t»^^= ^,g^y= T- + T-^, exprnnes en ?"', g", »■„ '^l ^-i

d'où, par les fornmles connues do changements de directions, les dilatations 0 dans toutes les directions horizontales autres que .r, //, à des distances quelconques z du feuillet moyen.

^1" La triple formule (/) du n" (> donnera, pour tous les points de la plaque, les l,,,, „^, yy en t;',^ ,,^, ,^,^, ^. et u\, dont les l' sont des fonctions counues.

C) De moln vibrulorio tympanorum, au loiue X (1797) des Novi cominenlarii de l'Acadéiiiie de Sainl-I'iHcrsbourg:, p. Siö. Kuler coiisulorait les membranes comme dos tissus de lils élasliqiies se ci-oisant reclany;iilaireiiii'iit.

(*') Voyez aussi la neuvième des Leçons sur l'élasticilr ilr Lamé, qui a dû borner aux membranes ceUe leçon relative aux surlaces élastiques, connue il a l)onié aux cordes ou lils celle qui li'aile des corps allon^'és, ne s'étant point occupé des llexions des liges, ni des plaques. Sa inétliodc, pour les nienibraiics. est plus simple, touiine il le niunlre, (jue celle lie roisson: mais colle de noire n' 10, empruntée à M. Bonssinesq, parait préférable, au moins lour les membranes nalurellement planes.

DBTEKSn.XATlOiN DE TOUS LES DKPLAC, TAR CEUX DU FEUILLET MOYEN. 707

0° Quant aux t,,, t , si on désire les connaitic pour tous les points autres que ceux du foiiillcl moyen, ils pourront ;''tre fournis par les deux

c Ij., c t premières équations detjuililtre de Iranslaiion [h) en en tirant -rz^^ ~^t >

et inlégrant depuis la face i = — î où ces tensions sont nulles ou connues, jusqu'à une valeur de ; quelconque. Comme t^.^^ qui entrent dans

ces deux équations sont, d'après les (7), du premier degré en z,, les t^,,, t seront du second degré. S'ils s'annulent comme habituellement, pour c =r it: :, on pourra les supposer, au degré d'approximation (jue tout ce

calcul comporte, égaux à des fonctions de .r, /y, multipliant \ — ^, ou po-

scr, comme on a vu dans la solution rigoureuse donnée pour deux cas particuliers aux n°' 7, 8, 9 de la .Note de la fin du § 45 :

en sorte que P et Q, fonctions de x, ij, seront les efforts tranchants

j ^., ,jz '^-- I' 0" les glissements g^,, = j;;, + .^ » «^y ^ I^; + H' On aura ainsi ce qu'il faudra pour déterminer approximativement partout, au moyen d'intégrations des» valeurs trouvées pour leurs dérivées en .r, y, z-, les déplacements //, r, w des divers points de la plaque.

En substituant les expressions précédentes de t^.., t , du second degré en z, dans la dernière des trois équations d'équilibre (b), on en tirera pour t,, une expression en i, dont la non-nullité n'impliquera aucune contradiction avec la base (</) adoptée au n" 5 pour la détermination des rapports approximatifs des déformations locales et l'établissement des équations différentielles, d'après ce qu'on a dit alors. Les premières de ces diverses déterminations, savoir celles (.s)

en 3^, s", :• et it'o. ^^^ 'leu\ dilatations el du glissement :

''''^l D=3o,Llü^', ,^o:!-.S, , =--2-^^'^"

qui se réduisent le plus souvent à leurs seconds termes, sont, une fois it'o trouvé, les plus faciles, et en même temps les plus utiles à obtenir. Elles serviront en effet à établir la condition de résistance permanente de la matière de la plaque, condition qui, dans le cas habituel d'égale contexture dans tous les sens horizontaux, consiste à astreindre la plus grande dilatation de sens horizontal à ne pas dépasser une limite comme, aussi fournie par l'expérience. Ordinairement, les plus grandes valeurs des quantités S^, c) , g répondent à ; = £, ou à la face inférieure de la plaque. Si ()x' est, sur la même face, la dilatation dans une direction x' faisant un an-

708 (IIAP. V. PLAQUES MIJNCES. — 3N0TE DU § 73,

gle a avecr, sa valeur est, d'après uno formule connue

5 ,=:d cos- a + t) sin-a + s siliaCOSa

l+cos2'/ - 1— cosâoc sin 2a

dont le maximum, qui répond à l'angle '2 a déterminé par

0 = — 3 sin2a.+ ?^ sinia + g cos2a,

est

(/.) ^lax. de 3^,= -^ ± 2 \/(^. - ^/ + -Il '

formule d'accoid avec quelques-unes de celles de la Note du § 57.

Lorsque g . ^0, ce qui aura lieu fréquemment, la plus grande dilatation sera î) ou ?• , c'est à-dire, si les <)° sont nuls, — i -7—7 ou — £ -7^,°.

12. Détermination den efforts tranchant-^ — Ils sont plus utiles à connailre (n" 34 ci-après) que les intensités iinlividuelles des tensions tangentielles t ,, t ,. Leurs valeurs, qui sont, po.ir l'unité de longueur des coupes verticales faites dans la plaque perpen(;iculairement aux ,r, aux //,

(ii)

r t ch, f I (Iz.

n'ont nul besoin, pour être déterminées, qu'on s'occupe de la loi quelconque suivant laquelle varient, en fonction de ;, les tensions langentielles

t t dont ils se composent. Ils sont, eu effet, liés avec les dérivées en x

•ri' yj

et V des tensions horizontales l , t , t dont la variation linéaire avec z

J .i.i d If tjlj

est connue [formules [t) et (/^i)], par ces relations qu'on va démontrer :

V"l' J e Xî J—i \ c'X OIJ J J—tl/i J — t\(X olj /

aux seconds membres desquelles il faut ajouter respectivement

s'il y a lieu, c'est-à-dire si les t,^, t ne sont pas nuls sur les faces z=:dzî (le la plaque, et si l'unité de volume de celle-ci est sollicitée horizontalement par des forces A suivant les x, B suivant les //, ce qui sera rare. On peut démontrer de deux inaniércs ces relations (/.-,). ^ ^■

L'une consiste à remi)lacer comme on a fait, (c), au commencement du n" T),

S- p''"' — TT^"' — « -7^";

THKORKMR SÜH I.KS EFFORTS TliAM:il.\MS. 700

puis, dans le second terme de ce biiiùine, --— |);u';>a valeur tirée de la première équation d'équilibre (a), ce qui donne,

^ ^. i: f.li /

^^' ' • ■ ^ ox cij

Mulliplianl par </c et intégrant de — =■ à h, on a précisément la première relation (/.j) avec son terme additif (/,) ; et la seconde se démontre de même.

La seconde démonstration, due à M. Boussinesq, qui a donné en 1871 les relations (/.j), est moins prompte, mais elle est plus directe, puisqu'elle ne s'appuie pas sur les équations d'é(|uilibre de translation [b), et elle est plus lumineuse en ce qu'elle fait mieux voir la nature de ces relations, établissant que cbaque effort trancbant est une somme de dérivées de deux moments

fléchissants, comme sont / t zdz- ^ i t zdz-; théorème semblable àceluides

liges, consistant en ce qu'un effort tranchant l\ , suivant une de leurs deux

. ''\ coordonnées transversales .r, esttoujouis égal à la dérivée-^' par rapport a

la cordonnée longitudinale :ï, de leur moment fléchissant autour d'une parallèle à la deuxième coordonnée transversale y. On sait que la démonstration s'en fait en égalant le moment P dz de la rotation que l'effort P^tend à imprimer à un tronçon de tige de longueur dz-, autour de cette parallèle

aux», â la différence M + 1 dz- — M des moments, autour de cette

même parallèle, des tensions longitudinales t.. der agissant à travers les éléments drr des deux sections extrêmes t de ce même petit tronçon. Eh bien, de même, pour poser l'équation de l'équilibre de rotation, autoui- du côté dy de la base mo}' etmc dx dy du tronçon élémentaire 'iidx dy d'une plaque d'épaisseur 2î, on n'a qu'à poser l'égalité du moment de l'effort tranchant

vertical dy j t dz qui agit avec un bras de levier dr, à la somme des

moments des forces pai'allèles aux x positifs, qui agissent avec des bras de levier ;:, et qui sont : 1" les forces A dxdy dz s'exerçant sur la masse des élé-

ments du tronçon; 2'^ les différences dy dz—-' dz des tensions qui agissent

normalement sur les éléments dij dz des deux faces parallèles et opposées

2î ^7/, éloignées Tune de l'autre de dx; o". Les différences dxdz-^dii J' o (y

de celles qui agissent tangenlielicment sur les éléments r/.r dz des deux faces parallèles et opposées 2c dx, éloignées de dy. Il en résulte, en divisant tout

710 CHM'. V. — PLAQUES MINCES. — >fOTE DU § 75.

par (Lr cly,

h.,~'l'= -7^^^/=+ -r^^d.+ "Â.r/2. J •'= J cx J cy J

c'esl-à-dii't^ la premit're des deux équations (/>•,) avec l'un des deux termeb complémentaires de (/j), auquel l'autre terme, (tj +, £ — (t^.) , ( — î) se serait trouvé joint si l'on avait tenu compte des fensions (t.J ^ ^ </,r rf//, {i,\^dx dy sur les bases t = ± e, agissant avec des bras de levier, + ?,

— î pour faire, comme les autres forces, tourner le tronçon autour du côté fil/ de sa section médiane.

ir». Éqiialion>i de condition définies, // remplir aii.r points du cylindre contournant laplncpœ. — Elles doivent exprimer que les tensions élastiques y font équilibre, en chaque point, aux forces appelées par Glebsch (n» 2),

qui agissent dans les sens .r, y, z sur l'unité superficielle de l'élément rectangle ds di, de hauteur dz et de base ds, d'une bande 'iids comprise entre deux arêtes du cylindre contournant, à l'endroit où JE

est l'angle fait avec les ,r par la normale à ce cylindre, menée vers le dehors.

L'élément ds est l'hypoténuse d'un triangle rectangle doni les côtés, respectivement parallèles aux ,r et aux// positifs sont

(Is siii /), (la cos p ;

et dsdz, est la plus grande des trois faces latérales d'un élément de volume, prismatique triangulaire, ayant pour bases deux triangles comme celui-là; les deux autres faces, perpendiculaires respectivement aux x et aux y, étant

r/.sr/:. cos/y, (Isdis'mji.

Posons l'équilibre de ce petit prisme. Les faces ayant ces dernières aires supportent, par unité sui)erficie]le, des tensions dont If^s composantes sont respectivement, dans les sens .r, //, t- :

l'oor l;i première. . . . , l'niu" l;i secoiido

!l'' lin II-

Or (ainsi que (laiicliy l'a reMiar(|ué), les forces non rècipi'oques telles que la pesanteur ou l'iiierlic (|ui peuvent agir sur la masse de ce petit prisme sont du même ordre de gran(l(>ur, pour l'unité du vohinie, que sont les tensions agissant sur ses f.ices |i(iiii' l'unilc de la siipeilicic ; la somme des prc-

ÉQUATIONS DÉIINIKS, A SATISIAIKE AUX l'OIMS DU COISTOUli. 711

m iôres forces, qui est proportionnelle à un volume très petit du troisième ordre, est donc négligeable par rapport à chacune des sonnnes des serondos, qui sont proportionnelles à des superficies très petites du secondordre; d'autre part, les forces opposées qui agissent sur les deux l)ases triantjulaires n'ont entre elles (pi'une différence aussi du troisième ordre et négligeable. Donc il faid et il suffit pour l'équilibre de ce petit prisme, ou pour la nullité des sommes de composantes, dans les sens respectifs des r, des y cl des ;; des foi'ces qui le sollicileni, qu'on ait les trois équations qui, divisées par Je <h. donnent ces relations (tommes :

(m) 11 = 1 cos/;-f I siii/y; V = l cosw+t sin/>; \V=t cosw-ft sin/.».

14. É<ii((ilion tili cimlour, entre forrex lior/wii taies crtérteiirrA et intérieures aifusant dans /es sens ,v et xj. — On suppose que les seules résultantes

I (U,V) dz de ces forces sont conmies et données pour l'unité de longueur

de l'arc de la périphérie du feuillet moyeu. Les seules équations qu'on pourra poser pour les sens x, i/, sei'ont ainsi celles qui résulteront delà multiplication des deux prertiièi'es (/H,) paiw/c-, et de leur intégration entre — s et

-\- t. En mettant, nom' les 1 t dz-, leur valeurs données pai- les i.m

i\v. w (j. on a, vu les notations (U',V') = / (U,V|r/î du n" i, les équation ;

it,,) 2î(r.cos/; + t;,,sinp)=n',

(;,;) 2s(t«,cos/. + t^«,sinyy)=zV'.

Si l'on y met pour les I" leurs valeurs (é\) en »„ iv («" 9) du cas de trois plans de symétrie de contexture, elles deviennent

ou, si la contexture est égale dans tous les sens parallèles au plan du feuillet moyen, et différente seulement dans le sens :; de l'épaisseur [ (?i) du n" 5, p. 096],

, \ o M /^"'1 , ^''"\ Of^^'"1 , ef^"o , ^''n\ • / IT,

'/^.) ^^^ / [^'. [-^ + ö^j - ^f-J COS y. + f ( j^ + -^J ^.n p i = Ü'.

lo. Autres équations définies à yjose/- au contour. — Ces équations restant à poser seraient naturellement une équation semblable de composantes pour le troisième sens, celui des z, et aussi, trois équations d'équilibre do rotalion, ou de moments, des forces dont nous nous occupons, qui sollicitent les éléments du cylindre contournant la plaque.

71'2 CllAl'. V, n.AQLTS MI.NCES. — N-TE DU § 75.

Un y a aucune équation de moments à écrire an tour des -;, ou des arèlos de ce cylindre ; car les forci^s U, V, qui agissent, par unité super(iciello,sur chaque portion d'nne tranche ds dz de sa bande 2- ds n'ont que des bras de I évier entre ze'ro et ds cos p ou ds sin p ; en sorte que leurs moments, pour toute la bande, sont de l'ordre de ds-, ou négligeables.

Poisson pose donc, outre les deux équations (n^) et (n^), l'équation de composantes de sens z, dont nous venons de parler, et deux équations de moments, savoir autour de parallèles aux x et de parallèles aux //, menées pai' le point {x, ij) du contour du feuillet moyen de la plaque.

Pour bien reconnaître, et d'une manière simple et directe, s'il y a, en cela, quelque chose de tiop, ainsi que M. Kirchhoff l'a exprimé, nous prendrons, au lieu des moments des forces autour de parallèles à x et à y, deux autres moments qui, ensemble, reviendront au même, ou auront le même moment résultant : ce sont ceux qu'ont adoptés MM. Kirclihoff et Clebsch. savoir :

\° Leur moment autour de ds ou de la tangente à la périphérie du feuillet moyen, moment désigné par M {n' 2), et appelé de flexion parce que c'est celui avec lequel les forces appliquées au contour tendent à faire tléchir la plaque en cet endroit autour de cette tannente.

2" Le moment des mêmes forces autour de la normale n à celte même périphérie et à la surface contournante, moment désigné par M toujours pour les forces rapportées à l'unité de longueur de la périphérie, et qui est appelé de torsion parce qu'il tend en effet à en imprimer une à la plaque en cet endroit autour de la même normale.

IQ. Suite. Equation au contour entre moments de flexion des forces extérieures et intérieures. — Le premier des deux moments, M , dont nous venons de parler, fournit une équation nécessaire, acquise au nombre des conditions délinies à conserver. Les forces W qui agissent suivant les arêtes du cylindre contournant n'y fournissent rien puisque leurs directions rencontrent son axe. Celles U, V, décomposées parallèlement et perpendiculairement à ds ou à la tangente, donnent, perpendiculairement, c'est-à-dire dans le sons de la normale à cette ligne, vu que l'angle /> est = [n^x), les sommes partielles de composantes

{(il ) ( U CCS /> + V sii I />) dzds ,

dont les bras de levier sont^. On a donc, pour l'unité de longueur de l'élément ds de la périphérie, eu égard aux notations du n" 2 :

{ri) ^h= j (Ucos/H-Vsin;;):.r/s = U"cos/; + V"sin/j.

L'équation d'équilibre s'obtiendra en égalant celle expression à celle ci., pour U, V, on aura mis les binômes (w.) en t du w IT», (lui doiven

leur être égaux sur chaque élément du cylindre, ce qui donne rexprossion

(.V,) cos' ji l i zdz + '2 ^ui /) cox 1) j I :./:.+ sin-/; /' t :/:■.

KOCATION Ali CO.NTOri!, KNTKE MOMENTS DE FI-ENiax.

En y mettant pour les trois intégrales leurs valeurs données par [v) du n"6 p. 700, on a, pour l'équation d'équilibre des moments dits de flexion au contour de la plaque :

(f,) =- ■ t^^cos-p -i-2t'^^sin/j cosp -J- t'^^sin^p =1 "cos/) + V" sinp = M^ ;

ou einnettant pour les t' et t' les valeurs (/) ot(/), de t ,t du cas