o ^'"'o Ci '^'"'o

de trois plans de svmetne de contexture. avec ur il) tt» -r-^> - r — c- <iu ^ ' ' c/c- ( y- cx cy

lieu de () Z, , s , on trouve

I L'"cosjö + V"sin/i=:M^ =

I '-i'-'ur I e'2\c-(rn / d'e'\c-Wol . ,f ^''<-'o -

("i) \ <> ' L . c/ (X- \ c / ciy^ \ ' c.vcij ^

équation qui est conforme, vu ^s = h, à la seconde (^Sl) du texte de Clebsfh. Elle se réduit, lorsque a = b = 2 f -(- f et d' = e', ou lorsqu'il y a égale contexture autour de parallèles aux z, à

f SI 1 on lait -TT-r = -ers cos- » + 2 „ „ sm o cos o + -ër^sm-

l C'n- àx- ^ axaii '^ ^ ày-

sm- p :

etil est facile de voir que-? — ^ est la dérivée seconde de ?ry par rapport à une coordonnée n normale au cylindre contournant (*).

i 7. Suite. Destruction mutuelle partielle des couples dits de torsion, et réunion de ce qui en reste aux composantes de forces suivant les arêtes du cylindre contournant. — Reste à exprimer l'équilibre entre les forces extérieures, quant à leurs composantes parallèles aux z, agissant suivant les arêtes du

{') En effet, si la normale ii augmente de dn, x augmente de clucos p, et y de f/«sin /).

d'où — - = cos Ü, -r-= sin», car ici dx, dii sont les différentielles des coordonnées condn dn

vantes de points extérieurs et intérieurs, et non les projections d'un élément ds du contour

du feuillet moyen. Donc

-s-^ = -7^~ -7- + -7-^ -, '— — ^ cos p + ^— " sin p ; dn c X dn ( tj dit ( X cy

(II- ' \ ( X- du (Xô'y du y \( yox dn r y- dn j

e-t bien égal à son expression d',).

714 a\M\ V, l'LAgUtS MINCES. — NOTE DU g 75.

cylindre contournant, cl- quant aux moments de torsion qu'elles produisent autour des normales n à ce cylindre.

S'il y avait des forces extérieures isolées, appliquées en certains points de ce cylindre et faisant couples autour de ses normales, elles seraient capables d"y imprimera la plaque, entre cespoints, des torsions finies. Aucun auteur n'a supposé l'existence de pareilles forces, qui sont capables de produire des altérations permanentes de la conlexture de la matière de la plaque si elles agissent avec une ceitaine intensité sur des portions excessivement petites de sa surface. Tous supposent que les forces se répartissent sur des surfaces d'étendue finie ; et nousne considérerons même, ainsi qu'ils l'ont tous fail, que des forces agissant sur le cylindre contournant d'une manière continuée! graduelle, comme celles dont Clebscli appelle U, V, \V les composantes rapjiorlées à Timitè superficielle.

Ol', il nous sera facile de voir que leurs couples, s'exerçant autour de toutes les normales, se détruisent en partie les uns les autres à cause de la solidarité des bandes 'lais du contour. .

La cjiose est évidente si ces couples sont formés par des forces verticale;? appliquées sur les arêtes. Deux d'entre elles, égales et opposées, agissant sur une bande élémentaire 2sils aux exti'émités de sa base très petite ds ou .i.s qui est l'élément de la périphérie du feuillet moyen, tendront en effet à élever une des deux extrémités de cet élément linéaire et à al)aisser l'autre : or, sur la bande suivante, Time des deux forces d'un couple analogue et de même sens tendra à relever précisément l'extrémité que le précédent aura abaissée, en sorte que. si tous les couples, agissant sur des bandes d'égale superficie, avaient des intensités égales, leur (»ffet total serait nul ; et si leurs intensités changent graduellement le long du contour, ils n'auront, comme on voit, d'eflet que par Iciira différences conaéciitii'ea.

S'ils sontforiïiés par des forces horizontales tangentes au cylindre, agissant en sens opposés, les unes au-dessus, les antres au-dessous de la périphérie moyenne, et si la plaque est supposée avoir une épaisseur comparable aux deux autres dimensions, ces couples pourront conspirer pour produire certains effets d'ensemble dont nous ne nous occupons pas, tels qu'une inflexion iiiqjrimée à toutes les aiètes, et accompagnée de cette torsion générale autoui' d'un axe vertical dont il a été traité dans les chapitres relatifs aux tiges. Mais si la pla(|ue est exti'èmement mince, ces sortes de déformations sont négligeal)les. Les couples de foires horizontales dont il s'agit s'exei'çant d'une manière continue sur les arêtes successives, ne produiront (pie ces torsions /wa/e.s dont nous nous occupons ici ; et leurs effets seront sensiblement les mêmes que ceux de couple* de forces verticales de même moment, (pToii leur substituerait en faisant tourner ceux-là de 90 degrés, 'substiliiliiius qui se f(Mil. connue on sait, dans la statique élémenlaire des corps solides.

[jn couple de forces horizontales, agissant sur une bande de largeur ds du cylindiv contournant, et ayant un moment M^^/s proportionnel à cette largeur, pourra ainsi être reuq)lacé sensiblement, quant à ses effets sur cel endroit de la pliKpn-, [lar le ((mple. aussi de UKtmcMl M ds, (pii serait l'or-

DESTRUCTION MUTUELLE PARTIELLE DE6 EOUI'LES DITS HE TORSI(i>. 715

nié, avec un bras de levier ds, par deux forces verlicales M^^, — M^^ appliquées suivant les arêtes passant aux deux extrémités do la ligne ds, la première au point (r, //) do la périphérie du feuillet moyen, la seconde au point {x -+- d-^, ,'/ + dy).

Sur la bande suivante, dont la largeur ds commence en ce second point, s'exercera un couple qui pourra de même être remplacé par deux forces,

M„ + '1 ds : — ( M,, H- —L' ds ] agissant suivant ses deux arêtes l'xtrôiui's.

Considérons en paiticulier colles qni agissoni siu' le point (.r-{-^/./-, ij -\-dij), suivant la verticale qui y passe. \\n les composant cnsoinble, à cause de la solidarité des bandes, l'une — M^^. se trouve fléli'uite par la [lartie M^^ de l'aulro, et il ne reste que la (leiixième partie ât' celle-ci. savoir :

Comme il y aura une pareille force résidue sur cliaque arête du cylindre, cette force verticale s'ajoutera purement et simplement, partout, comme l'a evpliqué M. Boussinesq, à la force verticale ou effort tranchant de môme direction parallèle aux :•, et appelée par Clebsch (n" 2)

\\ilz>ls = ^\'ds'

De cette addition il résultera une force ou effort tranchant total qui, rapporté on chaque endroit à l'unité de longueur du contour un de son élément ds, est

C'est précisément ce que M. Ivirclihoff a trouvé indirectement, en se basant sur la supposition, que nous nous sommes abstenu de faire, et dont nous n'avons eu nul besoin, de la conservation de la forme rectiligne et de la direction normale, des petites lignes matérielles primitivement normales au feuillet moyen de la plaque.

Au reste, nous examinerons plus loin (n" 25, sous note) les conséquences, que nous reconnaîtrons d'ordre négligeable, de cette rotation de 90 degrés imprimée aux forces et aux bras dejevier des couples de torsion s'exerçant sur le cylindre contournant.

18. Suite. Dernière équation de condition définie au contour, produite par la réunion des efforts tranchants ^\'ds aux couples de torsion quand la plaqu." est mince. — Nous pouvons en conséquence former notre dernière et importante équation définie d'équilibre, entre les forces extérieures données et les forces élastiques intérieures agissant au contour de la plaque.

Les forces horizontales LV/; ds, \dz ds qui agissent de l'extérieur à Tinté-

7 IG CHAP V. — I>LAQLES MINCES. NOTE l)V ^ 75.

rieur de la plaque pour produire une rotation autour de la normale extérieure n qui fait l'angle /;avec les x, auront ensemble des composantes :

(Izcls (V cosp — Ü sinp)

s'exerçant avec des bras de levier z; en sorte qu'on aura pour leur moment de rotation total par unité de largeur de la bande

(z,) M^;:^ I {\cosp — Vsinp)z(}:.=r\" cosp — V" sinp-

11 en résultera, d'après ce qu'on vient de dire, pour l'effort trancluiiil total (//,),

(«o) W + —{y"cosp — V"s\np]-

Cette somme doit èlre égalée aune expression qu'on aura composée avec les tensions intérieures qui, individuellement, feraient équilibre aux tensions U, V, \V dont elle se compose.

Or, si l'on intègre, après l'avoir multipliée par dj, la troisième des équations de composantes (?/ij) de la fin du n" 15, page 7H, Ion a :

I \\(lz=^cosp I [dz + sinp I \ ,d^'.

ou en remplaçant, dans le second membre, les deux efforts tranchants par leurs valeurs (A:,) du n'^ 12, complétées par les (/j),

+ sin,, [s (g^ + s (t^p^ + /('^ + ^' + b)./c.],

OU, en mettant pour les / ^JEr^Jl zdz, leurs valeurs en 7^ — tt- données par

les expressions [t] du n" 6 :

+ s\np

D'un autre côté on a, d'après les expressions (hj,) de U, V, et en dilïérentiant par rapport à l'arc .s- de la périphérie moyenne,

{^•1) — (^ ^'0^/^ — U siii p) =^ sin /; cos p ( -p^-^ ^ j + [cos-p — sin-/)) -~ ;

.".laMliN. ALX EtFOIVrS THANCIIAMS, des DÉHIV. DKS CdUI'. l)K TOliSIO^-. 717

d'où, multipliant par zdz et intégrant,

I (V" cos p - U" sin /.) = sin p cos p [j ^ '-^f zdz - j ^-~ =d.]

+ (cos-/j — siiv-p) j -~ zdz.

Mettons, d'après les expressions {v} du n'' 6, page 700, à la place des trois intégrales, respectivement :

«V ^ ££ -ril . /«

Ö cS ' 5 c)s ' 5 o'S ' '

nous aurons, en ajoutant (r/,), celte dernière équation au contour, applicable à £ lentement et graduellement varialjle (n" 6) comme à = constant :

Si Ton met dans cette équation, à la place de t'^,^, t' , t\ , les expres-

sions de t,. ., t.,„, t,„ données par (/) et (i) du n" o, avec -r—, -y—f, 2 ? — p^ ■" w •'^^ 6.r^ (^y oxly

pour ?^, (>^^, g^,,^ (n"" 2, 6) ce sera y faire, pour le cas de trois plans de symétrie de contexlui'e ou pour celui d'égale contexture" autour de parallèles

aux z

^Kx , ^Kii f^ e'^\S''u\, , /„^ , ,., d'e'\ c''Wo 9 /3Hv„ . ê)^w,

Sx oij \ c

^tr„ . ^^,„ /. d

t;-t;,=(a-r+^::i^e')t^-(b--f'-^::i^d'')5^,ou^(a-P)f?^^

\ " *■' v t; /^.i- c J cif ^ \c'x-^ oy- J

{') ^■ous avons, tout à l'heure, en vertu des mêmes égalités (t) du n° 6, t =1" — ;l', qui

tirf; = — "- l', remplacé les / -^ — ^zdz par des — — '■ . U

. ^ J ox,oy ô èx,gij/

nous eûtsufli, pour être autorisé à cette substitution, de partir de ^ '^ = "^ "^

CX,6'î/ 6^J-,CÎ/ &j;,c!/

au lieu de {t). Or la même chose peut être dite de la substitution que uous venons de faire

, iS Oi lot 11.-. . ,,

des -;;- TT- aux / s- -•'^:. car les dérivées par rapport a i arc * sont exprimables en dérivées O as J ts '

par rapport à a- et à y (Voir n" 21 ci-après.)

/'lö CHAP. V. — l'LAUIlvi .MI.NCKS, .^0T^: DU g /D.

Elle coïncidera alors, sauf les termes i,"^'" dont Clebsch ne tenait pas t'onipte, avec la troisième équation ("281), p. G87, et avec ce qu'elle devient en faisant a = b = '2 f H- I', d' =: e'.

19. — Conclimon relative aux conditions définies à remplir aux poinii^ des bords de la plaque ou de son cylindre contournant. — Ces conditions sont, ainsi, au nombre de quatre, exprimées par les équations [ny), («/), (i,), (/,), et complètement établies pour une matière homogène et simplement symétrique, en tout point, par rapport au plan parallèle aux xij qu'on peut y mener ; avec extension possible (n" 7), moyennant quelques postulats de p'us, savoir t,,, r= 0, t, = 0, à une matière homogène de contexture quelconque.

Les arbitraires des expressions de »>„, ?/„, v^ à tirer par intégration des eijuations différentielles indéfinies [e^, (:•), (;') devront être déterminées de manière à satisfaii'e à ces équations définies (»,), (/*/), (/,), (/',).

■^U. — Des conditions définies particulières pourant être à remplir pour certains points. — Si, par exemple, un point x =: a, y = b doit rester iniuiobile, et si la plaque doit y être boulonnée, on aura

Mais, aux bords, ou sur tout le contour de la plaque, où une continuité est supposée s'observer, les particularités ne feront qu'affecter des valeurs spéciales, zéro, par exemple, à un membre d'une ou plusieurs des quaire conditions {n^), («'|), (ty), (/",) ; ou bien, quelques-unes pourront être remplacées par d'autres plus simples.

Si, par exemple, les boids sont entièrement libres, la phujuc n'étant fixée (comme on vient de le supposer) (pfen certains points de l'intérieur, on aura, en tous les points des boi'ds

en sorte que les premiers mendjres des (/?i), [n/), (<,), et le second de (/"^l, seront à égaler à zéro.

Lorsque ce bord devra être appuyé sur un cadre ü\e, on y aura (si lehottcment peut y être négligé),

(>,) ü' = 0, V'=0, M^=:0 avec H'ü = 0.

Ce //'„ = () remplacera, pour la solution, la (pialrième condition {(\) , car les efforts tranchants, W, rèsuilani des rèaclions du cadre, ne seront connus qu'après la solution trouvée.

CONDITIOÎSS DEFLMES PARTICULlEliES POL 11 Cl:KiAI^< l'uLMS.

lîl si le bord doit être encastié, on devra y avoir déplus, // étant, coir.me au 11" 16, une coordonnée comptée sur la normale au contour du leuillel moyen

Il faudra donc y satisfaire (sous-note de ce n" 10. page 715) à

(/.,) "'(1^0, ~p-^ cos p + -p^r^ sin » = 0 .

qui remplaceront les conditions U,) du moment de tlexion. et (/',) de l'effort tranchant; car ce moment et cet effort, provenant des réactions de l'encastrement , sont inconnues, et on n'en pourra déterminer les grandeurs qu'après la solution du problème de la déformation de la plaque.

Pour certains problèmes, dont on a même déjà vu un exemple au n" J i de la Note tiiiale du^45, relative aux plaques épaisses, deux parties dune plaque quelconque se trouveront soumises à des conditions particulières diflèrentes et devront être regardées, dans le calcul, comme deux plaques soudées ensemble suivant une même ligne, c'est-à-dire suivant une même section plane ou cylindrique, normale au feuillet moyen. Les conditions à remplir pour le raccord à cette jonction seront que, ii étant la direction de la normale à la section commune, et s la direction de la tangente à sa courbe moyenne, apjjai tenant aux deux parties, on ait

I En tout point de cette courlie moyenne de jonction,

I Wq , -rrr êl M^ les mêmes pour les deux parties de la plaiiiie.

■21 . Extension possible de rappiicalion des équations et fünnides ci-dessus à des plaques dont l'épaisseur, toujours petite, ne le serait pas ejcessivemoii par rapport aux autres dimensions. — Les équations et formules, bien que fondées sur les suppositions (ii"^ 5 et 5) non rigoureusement remplies, savoir

Sx, dij c'x', c)xêy, Bij-

doivent être regardées comme exactes en tant que suffisante approximation, si la plaque est d'une épaisseur 2e excessivement petite. Toutes méritent confiance, et nous regardons comme vaine toute tentative d'en établir de plus sûres par une addition de termes (v. n" 24).

Mais il est bon de remarquer que certaines de ces équations, qui sont même les plus importantes, exigent moins de suppositions que d'autres, pour être établies.

Ainsi, il suffit, pour démontrer l'équation du quatrième ordre de

7"20 CHAT. V — ri..\Qi:ts mi^ci:s. — Mnt m ^ 75.

Lagrange, en ?*>„, même généralisée pour une contexlure hétérotrope à plan? de symétrie (n"" 5, 9), de supposer qu'on a

e/.r-, âxc'tj^c'y- cx', àxoij , cij- ex , ( x-r ij, cxc'ij-, ( ij'^

suppositions bien plus larges ou d'une nature moins restrictive que celles (m.) ; car, au lieu d'exiger la nullité de t, ou même de n'exiger que sa constance sur un même feuillet et dans chaque tronçon avant pour base un carré de

côlés 2î, comme ferait une condition 7 — ^ = 0, la première (/z,) n'impose,

sur ce feuillet, que la linéarité de sa variation avec r et y, ou demande seulement qu'à l'intérieur de la petite portion comprise dans le prisme ayant ses deux côtés horizontaux 12e, la surface représentative que l'on construirait avec x, >j pour abscisses, et pour ordonnées les valeurs de t,,, pût é:re remplacée par un plan, ce qui est on ne peut plus admissible, en fait d'approximation, si 2^ est pelit.

On peut, en effet, voir que la première égalité (h,), combinée avec la troisième formule {i) de gauche du n° 5, t„ = e'd^ + d'?^ + et),, donnera, au lieu des deux égalités (j), leurs deux différentielles secondes en x et y; (jue la seconde et la troisième {m,) donneront, au lieu des formules (s)

^,- = ^".r - ^^ f^"' ^, = ••••' S,, = S.r,j - 2^ f^. les six résultats de

leurs différentiations par rapport à x et y. Or tout cela suffit pour démontrer l'équation du quatrième ordre (m) du n" 5.

On a pu voir aussi, au n" 18 (sous-note), que pour démontrer la dernière des quatre conditions définies au contour exprimées en «'„, savoir (f^)

W-h 7- ( ) = avec les substitutions (s) du n" h dans ses termes

en tj.'^^ ^^, il aurait suffi de supposer qu'on a

. in') — ^^-=:0, au lieu de t z= 0-

On aurait pu aussi, au lieu des suppositions du n° G (l), t^ =

1%,.,.... — ^l',,.,... des tensions en t", :: et les t', qui sont des fonctions de //'g, et leurs conséquences {u}, [v], ne démontrer fjur leurs dérivées en X, y, ce qui aurait suffi encore pour établir d'autres des équations du problème.

Par contre, on a vu que l'établissement des équations différentielles en iVq, pour une plaque dont aucun des trois plans coordonnés n'est plan de symèlrie de contexture, exige qu'on admette t,^ = 0, t.^ = 0. vu qu'on ne

peut pas, |)our colle plaiiue, se couleulei' de , '"' , '" -= 0.