GÉNÉRALISATIONS, COMPARAISONS, ETC

Il ne faut pas conclure de là que cerraines des équations démontrées cidessus soient plus ou moins vraies que les autres, ou ne le sont que sous des restrictions. Toutes sont également vraies pour des plaques extrêmement minces.

Mais CCS remarques montrent comme quoi les formules, établies pour des épaisseurs excessivement petites, ou infiniment petites conmie l'ont exprimé MM. Kirchhoff et Glebscli, s'appliquent encore, surtout quand les plans coordonnés sont des plans de symétrie, à des plaques dont l'épaisseur peut s'élever à des fractions d'une certaine importance des deux autres dimensions.

22. Comparaison des deux manières de traiter et résoudre les problèmes des petites déformations des plaques. — Ceux des tiges ont été résolus rigoureusement au chapitre ii (0^ '22 à 27 et 50 à 51) pour des rapports quelconques des longueurs aux dimensioiig transversales de ces corps prismatiques, moyennant que, leurs faces latérales étant libres, les forces qui les étendent, fléchissent ou tordent, soient appliquées et distribuées sur les éléments des deux bases, de telle manière que, d'une extrémité à l'autre, il n'en résulte aucune tension normale sur les fibres ou éléments longitudinaux intérieurs; ou, autrement dit, moyennant que les composantes t^^^, t , t,^ des tensions sur les bases, supposées perpendiculaires à la coordonnée z, aient les expressions qu'on trouve analytiquement en partant de la supposition (g 22) t^^ = 0, t^^ = 0, t = 0 de nullité des tensions s'exerçant normalement sur les faces des fibres.

Et, comme il a été ensuite démontré (surtout à la Note finale du § 28), en combinant les équations générales de l'équilibre avec le principe du potentiel d'élasticité toujours positif, que, quand ces tiges, ayant leurs faces libres, sont allongées et fort minces, l'on y a sensiblement t^.^,^ ^^^^ = 0 partout, nous avons pu conclure, comme on a vu, que les formules trouvées en partant de cette triple supposition donnent très approximativement les extensions, flexions, torsions, quel que soit le mode d'application et de distribution, vers les extrémités, des forces dont on donne les résultantes et moments résultants; et, cela, même quand il y a des forces modérées agissant continûment sur les faces latérales ainsi que sur la masse de fa tige.

Eh bien, pour les solutions relatives aux plaques, on a trouvé, avec quelques différences, une dualité analogue.

En effet, et à l'instar de l'hypothèse ou point de départ l^.^^ ^^ = 0 du § 22 relatif aux tiges, on a vu (chapitre m, § 59) que Glebsch a fait, pour les plaques, celle

OU de nulle tension ou pression ni sur leurs bases ni sur les feuillets qui leur sont parallèles, et qu'il a résolu rigoureusement, en partant de là, pour une plaque d'épaisseur quelconque, divers problèmes, notamment celui du § 45 où il est question de sa flexion par des couples s'exerçant uniformément autour des tangentes à la périphérie de son feuillet moyen, Nous-même, à

T22 (MM' V. — PLAQUES MIiNCES. — MTÏE DU § 75.

la iXote de ce § 45, après avoir montré que le résullat, qui osl une tlexion sphérique, s'obtient très simplement par la superposition de deux flexions cylindriques, nous avons, nous aidant de recherches faites par M. Boussinesq, donné aussi des solutions rigoureuses pour des plaques d'épaisseur quelconque en parlant, non de la triple supposition (Oj), mais seulement de

/ t = 0 partout,

' ( avect ,t nuls seulement sur les facos 2 =±:£ do 1.1 plaque,

ce qui coniparte Vexiüence iV efforts tranchants; et nous avons appliqué nos calculs à des plaques surtout circulaires posées ou encastrées soit tout autour, soit tout auprès de leur milieu, soit sur un cercle fixe intermédiaire, etc.

Comme cette hypothèse fondamentale, t ^ 0, a été justifiée au n" 4 de la présente Note comme grande approximation pour les plaques très minces, quelle que soit la manière dont elles sont sollicitées, les solutions de la Noie du § 45 se trouvent être applicables à ces sortes de plaques quand les forces sont distribuées sur les bords, de toutes autres manières que ce qu'exi^raient les expressions (/') et (»') de t^.,, et t^.^, spécifiées pour r = a,

de cette Note du chapitre m.

En conséquence, et bien que l'application très générale et très étendue, aux plaques minces, des équations différentielles de la présente Note du g 73 n'ait nul besoin, pour offrir les approximations désirables, de s'appuyer sur les solutions exactes, mais très particulières, présentées ä la Note du^ 45, on voit que les deux analyses qui y sont données se confirment l'une l'autre, et qu'elles doivent conduire aux mêmes résultats.

C'est ce qu'on verra surtout à quelques-unes des applications qui occuperont les n°" '27 à 50 ci-après.

Avant de les donner, nous allons examiner et discuter, n^* 25 à 26, ce qui a été présenté par plusieurs auteurs pour l'établissement des équations différentielles, tant indéfinies que définies, relatives aux plaques élastiques minces.

25. — Examen de la marche que Poisson et Cauchy ont suivie en un même temps (1828), et presque identiquement, pour établir V équation différentielle indeßnie du quatrième ordre des déplacements verticaux Wq des points du feuillet moyen de la plaque mince. — Ils admettent l'un et l'aulie, comme nous avons dit à la Note du g 22, p. 145, que vu la petitesse de ly coordonnée z, les tensions mises en jeu dans le sens % « sont exprimables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives de celle coordonnée » ; en sDiie qu'en désif^nant par l'indice U les valeuis qu'elles ont, ainsi (juc leui's dérivées, quand on y lait i = 0, l'on a:

(/'.) l'<'»'- t.., t^„, t^^ : t ^ l, + . (1^)+ il (gj^^ + (*)

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{'} Ainsi (jiK! nous avons dit à la mùinu Noio liu g 'i'i, ce yeiiro de supiiositiou était saiib