EXAMEN DE LA MARCHE SUIVIE PAR POISSON ET CAUCHY EN

D'où résulte, commo ils supposent que ces trois compomntes sont nulles sur les deux faces de la plaque ou que (t.^^ zz)z=z±z^^^'

D'où, en dédoublant, l'on déduit, par additions et soustractions alternatives, suivies de division par 2 :

Ces égalités établies, leur procédé revient à ceci :

Multiplions respectivement les trois équations générales d'équilibre inté-

l'ieur (/;) du n" o ci-dessus, par ?r, —, ;t; différentions-les toutes trois par

rapport à z, puis encore, la première, par rapport à .r, la seconde à //, la

troisième à z; ensuite, ajoutons-les ensemble, ainsi qu'avec la troisième

non dift'érentiée ni multipliée, et faisons enfin :^ = 0 dans le tout, nous

obtiendrons ( eu égard à ^^ H- — = .^ i :

vu que le second membre de l'équation ainsi composée serait

ou un trinôme dont les trois parties sont nulles en vertu des égalités (r,) que l'on borne, en raison de la décroissance présumée de leurs termes successifs, aux deux termes qui sont écrits dans chacune.

Et l'on peut remarquer même que, pour l'aimulation des deux premières parties de {t^), il aurait suffi d'admettre, au lieu de la nullité des seconds membres des deux premières égalités (r ), celles de leurs dérivées en a: ettj,

doute connu. La^range s'en est servi dans son grand mémoire sur la lliéorie du mouvement des fluides (Académie dß Berlin 1781, ou œuvres, t. IX de l'édition de 1S(J9), car, à son n" 2i, il dit : « Si la masse du fluide était telle que l'une de ses dimensions fût considérablement plus petite que chacune des deux autres, en sorte que les coordonnées i, par exemple, fussent

très petites vis à vis de x et y il est clair qu'on pourrait, aux inconnues/?, donner

la forme p' + p"- + i^'"-'^ + ; P'^ p" ■,■■•• étant des fonctions de .r,?/,<, sans z. « Et, au

n" 26: « Le calcul deviendrait encore plus facile si les deux variables y et z étaient très petites vis-à-vis de .r; car, alors, on pourrait supposer /> = />' -j- y/'// -|-/j"'î -f ^;i'^y- -j- .... ». Et il applique, au n" 4o, cette supposition à la propagation des ondes dans un canal peu profond. Voir aussi Mécanique analytique, seconde partie, section XI, ii" 22. — Mais le résultat principal de son analyse aurait pu être obtenu sanr, cette hypothèse analytique (V. Comptes rendus, 18 juillet 1870, t. LXXl, p. 180).

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ou qu'on eût pris :

L'équalion (sj ainsi obtenue peut être considérée comme identique à celle ('27) de Cauchy (*), ou à celle (6) de Poisson (**).

Pour amener son premier terme à ne contenir que les dérivées de w par rapport àa;, 7/, nos deux illustres maîtres effacent de suite, et non à la fin du calcul, dans les trois égalités (r„), les termes affectés du carré de la petite demi-

A^t,A épaisseur s de la plaque. De la troisième, réduite ainsi à ( -r^ I =0, ils

tirent, envmettantpourt^ son expression en?,., ()„,?., g^„lavaleurde -^ ) ,

et ils la substituent dans les expressions de ' — ^ ' ' — ~ ' ' — '"•'■

qui sont ainsi réduites à ne contenir que ■f\;(^x, ^»/.».n/l deuxpremières(ra) réduites de même à (t.^.)o=^0, (t.^j^=:U et à la place "desquelles on peut même se contenter de prendre

Or, les

leur donnent, en opérant comoje nous avons fait au n*» 5 pour obtenir les (s),

S'w, /S-d,j\ ^X. /^XA __2^'"'"

9x- ' \ oz Jq 0if ' \i)z Jq t)xê>y

Substituant dans le trinôme entre parenthèse du premier terme de (s,), réduit, comme cela est désigné, à la valeur qu'il prend pour z = 0 après différcntiation en z, on amène les trois composantes t à ce que nous avons appelé les l' ; et, par suite, ce premier terme à devenir le premier membre, pris en signe contraire, et divisé par 2s, de l'équation du quatrième ordre on «'„, {m) du n° 5, quand on suppose, comme nous l'avons fait à ce numéro, que la contexlure est à trois plans de symétrie ; équation que nous avons obtenue d'une autre manière, et qui était la principale chose à établir et à généraliser.

On voit la différence entre la juanière dont nous avons obtenu celte équation du quatrième ordre et celles dont a usé Cauchy aijisi que Poisson.

(•) K.rrrciccs de mntlu'mnliques, t. fil, p. 2"i4.

(**) Mémoire sur l'équilibre el le mouvcmcnl des nolidcs élasliqucn, Arad. des sciences, toirie de 1820, page 529.