EXAME.N DU MÉMOIRE DE M. LÉVY

Nous avons vu, par le procédé des n"* i, .""), 0, que les trois coniposanles t,- •' '■r,,' V„, sont linéaires en z, ou de la forme L — :t'. Comme leurs secondes

XX xy iftj

parties seules confîeiïiïent, par les t' (n" '2), les , ., r , ^ r ,■> il f'iut a ne

( j-, cxcy, ( y- '

les premières, ou les t^, se trouvent éliminées^ Cette élimination s'opère

d'elle-même lor^quon intègre après avoir multiplié par zdz, afin d'établir,

comme nous avons dû le faire, l'équilibre suivant les z, d'un élément 2 zd.rdji

de la plaque, sur toute sa hauteur 2 s, ainsi qu'on établit les équations

d'équilibre de sens horizontal [z), {z') du n° 7. L'on voit qu'on élimine aussi

ces termes lorsqu'on diffcrentie les t,, — ^t' par rapport à::;, puisque les t^, l'

sont indépendants de ::. Cette deuxième manière a été, comme on voit, celle

de Cauchy et de Poisson; elle est moins propre à atteindre le but proposé

qui est d'exprimer les conditions de l'équilibre de l'élément "Izd.rdy.

Mais on doit surtout remarquer que l'hypothèse faile par eux de développabilifé des tensions en séries convergentes, ordonnées suivant les puissances de la petite coordonnée z, est purement arbitraire; elle n'a jamais eu de partisans ; elle n'est pas suffisamment fondée et peut se trouver souvent en défaut. On a bien le droit de développer de cette manière une fonction pour une petite partie du champ où elle varie; mais rien ne dit qu'on le «Bisse dans toute l'étendue de ses variations ou des valeurs de sa principale variable, quand bien même cette étendue serait géométriquement petitr par rapport à celles d'autres variables dont les coefficients de cette série seraient fonctions.

11 serait de peu d'intérêt de chercher dans quelle proportion ces deux circonstances peuvent être causes que la méthode des deux illustres analystes donne, à la suite du terme fournissant le trinôme différentiel du quatrième

ordre, une partie Ch--^-^ j__ i^ — 1 qui dépend des

\ \iCZ-]z = i) ö\iCZ\cX c?//J; = o

actions A, B, C exercées sur la masse, dime autre manière que la nôtre (no- 5 et 9j. Qu'il nous suffise d'observer'que la nôtre les fait entrer dans l'équation i^expression (/) du n° ô ou équation (ej du n° 9] précisément de la même manière qu'a fait Clebsch [équations (281), (282)1, qui y est arrivé par une marche différente, en apparence détournée, mais parfaitement rationnelle. Aussi nous préférons, aux méthodes de développements hypothéliques en z, de 1828, peu sûres, et qui ont donné, comme on sait, des résultats erronés en ce qui regarde la torsion des prismes rectangles ('), celle que nous avons exposée d'après le mémoire cité de M. Boussinesq de 1871 (2^ partie relative aux plaques) et son complément de 1879, où nous avons fait quelques modifications de détail et quelques simplifications.

24. Examen du mémoire de M. Maurice Lévy, sur les plaques élastiques planes, de 1877 ("j. — M. Lévy, sans s'être proposé de mieux démontrer

(*) Sous-noie des pages 621 à G27 du §29 de l'appendice IV de l'édition annotée de 1864 des Leçons de Navier, et Note ci-dessus du § 57.

(") Mémoire lu le 26 mars [Comptes rendus, p. 396) et imprimé en juillet, août et septembre de la même année au Journal des Mathémntiques.

l'équation du quatrième ordre de Lagrange « qui, obtenue par les moyens les plus divers, ne peut faire doute », et prenant plutôt pour but « d'élucider beaucoup le problème si obscur des plaques » en ce qui- regarde les conditions définies ou à la surface, sur lesquelles porte, dit-il, seulement la difficulté, s'est occupé, dans son grand travail, de « traiter d'abord rigoureusement un certain nombre de problèmes relatifs à des cylindres de hauteur quelconque » pressés uniquement sur leurs faces latérales, conmie ceux qui ont été considérés au § 39 ci-dessus, mais pour un cas plus général, car M. Lévy ne s'est pas restreint, comme Clebsch, à ceux où aucune pression ne s'exerce, même à l'intérieur, sur les sections parallèles aux bases.

11 a donc cherché si, dans cette condition des deux bases libres, l'on pouvait appliquer, sur les arêtes de la surface latérale des cylindres ou prismes, des forces ayant une résultante et un moment résultant donnés, de telle manière que les déplacements u^ v, w des points, et conséquemment les tensions intérieures, fussent exactement exprimables (ce que Cauchy et Poisson ont supposé a priori pouvoir toujours l'être approximativement pour une plaque mince) par des expressions algébriques et entières en 2, qui est la coordonnée parallèle aux arêtes ; mais expressions que M. Lévy suppose n'avoir qiiun nombre fini de termes; et il a cherché à quelles conditions cette supposition était possible. ^'

De son analyse et d'une discussion délicate, il conclut : l"que les puissances de z ne peuvent dépasser la puissance 5 dans ces expressions de u, V, w entières en z, et conséquemment aussi dans celles des trois composantes t^^, t^^, ty^^ (*) ; 2" que si cette forme algébrique de t^^., t^.^^, t,^,^ se réalise, l'on a pariout, dans l'intérieur, comme sur les bases, la composante

?)" que les composantes t^„, t, ,, nulles aussi, par hypothèse, sur les bases ou pour z = ±z, se trouvent n'être dans l'intérieur que du second degré en z, et affectées du facteur £^ — z~ ; ce qui leur donne cette distribution intérieure parabolique qu'offrent souvent les efforts tranchants dans la théorie des

tiges; 4° enfin, que la dilatation cubique ■ër-+ ■êr + 'w n'est alors que du

c/x oy oz

premier degré en %.

Mais comme les coefficients, fonctions de x, y, des puissances de z, ont entre eux plusieurs dépendances dont M. Lévy donne les expressions, il aperçoit que cette solution n'offre qu'un nombre d'arbitraires moindre d'une unité que ce qu'il faudrait pour remplir, à la surface latérale prismatique ou cylindrique, les conditions, qu'habituellement l'on s'impose, dit-il, de faire équilibre à des forces extérieures ayant, sur les arêtes, tine résultante et un moment réaullant donnés en direction connue en i;Tandeur.

(*) Clebsch avait trouvé que dans sa supposition de t^^., t, nuls non seulement sur les bases, mais partout aussi dans l'intérieur, les puissances de s ne peuvent dépasser la deuxième [équation (154) du ,^ 59 ci-dessusj.

SUITE DE CET EXAMEN. /v/

M. Lévy, alors, pour y suppléer, ajoute, ce qui certaiuernent est ingénieux, aux expressions entières des ck-placements horizontaux a, v, les dérivées en .r, y d'une fonction qui est transcendante eu z, et qu'on puisse charger de vérifier, au contour, la condition restant à satisfaire. Cette fonction

,sin^

ajoute ainsi :

kv.

C étant une fonction de x, xj, telle qu'on ait :

L'arbitraire d'intégration, que comporte la détermination de i d'après cette équation différentielle, complète ce qu'il en faut ; et, moyennant l'addition ou snperposilion ainsi faite aux valeurs de n,v, enlières en z, de ces valeiu's d'une autre forme, la possibilité analytique se trouve acquise de déterminer une certaine répartition, sur les arêtes du cylindre contournant d'une hauteur quelconque, des forces dont on donne les composantes totales et les moments, de manière à n'avoir aucune tension ou pression sur les deux bases.

Il ne, présente pas d'exemple de la solution complète du problème pour une plaque d'une épaisseur comparable à ses deux autres dimensions, comme nous avons pu le faire sous certaines conditions à la Note du § 45 pour des plaques rondes dans des cas même où il y a des efforts tranchants.

Mais, en supposant s très petit, et effaçant en conséquence les termes affectés de £^ ou z', M. Lévy change ses formules rigoureuses en formules suffisamment approchées dont des intégrations possibles lui fournissent les termes. Elles sont semblables à celles de Poisson, sauf les termes additifsen ç qu'il y a joints et qu'il y conserve, mais qui disparaissent d'eux-mêmes dans trois des sept problèmes particuliers qu'il traite finalement, relatifs à la plaque circulaire, et dont il n'a pas calculé numériquement les valeurs pour des exemples des quatre autres problèmes.

25. Suite de cet examen. — Ce genre de solution du problème des plaques minces est curieux, et il est géométriquement irréprochable.

Mais il n'atteint imllement le but que l'auteur s'est proposé et qu'il spécifie surtout dans le préambule de son mémoire (') (comme il l'avait fait aux Comptes rendus, 26 mars 1877, p. 596).

M. Lévy y recoimaît en effet, comme nous avons dit, que les équations différentielles, indéfinies, l'ègissant les déformations du feuillet moyen , sont toutes trouvées et n'ont besoin d'aucun complément. Il veut spécialement, par

(*) Commencement de l'article I, p. i'Il, intitulé : Siu- les difficullés qui subsistent dans la théorie des plaques minces.

son grand travail, éclairerla question du nombre et de la forme des conditions (}<i/hnes à remplir au contour, discuter le désaccord entre Poisson et M-Kircliholï, et suppléer à ce que l'un comme l'autre aurait dû faire, dans son opinion, pour pouvoir remplir les conditions qu'imposent des forces dont on doime arbitrairement, au contour, les résultantes et les moments résultants quelconques.

En ne s'occupant pas des deux conditions d'équilibre de ces composantes de forces extérieures et intérieures dans le sens x et dans le sens y (n° 14 ci-dessus), sur lesquelles tout le monde est d'accord, M.Lévy soutient que les trois autres conditions de Poisson, savoir, celle de l'équilibre de translation du sens z ou des efforts trancbants W (n"'' 17 et 18) et celles des moments de rotation autour de deux droites borizontales, soit ^ et y, soit f/s et w, n'ont rien de siirahondcuit; qu'elles ont besoin d'être, toutes trois, séparément accomplies ; que la réunion, ressortant des calculs de M. Kirchboff, de la première et de l'une des deux dernières en une seule, ne peut être qu'une conséquence de sa vicieuse bypotbèse de la comervation de la forme rectiligne et de la normalité àe fi petites lignes matérielles primitivement normales au feuillet moyen. Il donne raison toutefois à M. Kirchboff en ce qu'il a, par deux fois (*), exprimé que la solution Poisson, est impuissante à remplir les trois conditions posées par lui, et que la manière dont Poisson a traité le sujet donne lieu à un problème d'analyse impossible et à des. incompatibilités, excepté dans quelques cas très pailiculiers.

Mais ce que M. Lévy attaque le plus vivement et taxe d'illégitime, c'est la manière directe et géométrique dont M. Boussinesq, en 187'!, a rendu compte de celte fusion en une seule équation, qui n'est autre que cellede M. Kircli-

hoff, dont le premier membre a la forme W + 1 " (n°« 17, 18, 19 ci-

dessus) des deux équations définies qui devraient, suivant M. Lévy, être séparées et avoir pour premiers membres, l'une W, et l'autre M^^.

M. Lévy, en effet, permet bien (*") de remplacer un couple quelconque de forces Jiorizontales appliquées en des points d'une des arêtes verticales du cylindre contournant, par un couple de même moment, composé de forces para//è/es à ceto-ci, ou aussi hoiizontales et appliquées en d'autres points sur la même arête; mais, suivant lui, il est illicite de le remplacer par un couple égal de forces autrement diriîjces et qui, en les prenant pai'allèles aux 2, peuvent être réunies aux efforts tranchants. Il conclut que l'addition qu'il a faite, aux valeurs ordinaires de u et v, d'expressions non algébriques en z, telles que les transcendantes (//,"), comme moyen de satisfaire aux trois conditions séparément, est de néeessité absolue dims la solution du problème des défoi inalions de plaques, luéine d'une trèi^ petite éj)aisxei(r.

M. boussinesq, ainsi iuLerpellé sur son Mémoire de 1871, a répondu que, lorsque les points d'application des forces composant divers couples, sont

{*) Dans l'iivant-propos, et après l'équalion (22) de son Mémoire de l<S4i. ('*) Pa{je 2Ö5, ou antépéiiullièiiic aliiioa du g I du Mémoire de M. I,évy sur les plaques planes.