POLÉMIQUE DE '1877-7<S ACE SUJET
fort rapprochés les uns des autres, il est tout aussi licite, au ilej^rè d'approxiniulion dont il faut bien ici se contenter, défaire tourner un couple sur luimême, ou d'y remplacer des forces horizontales par des forces verticales, que d'y substituer, comme M. Lévy le permet, des forces à d'autres forces qui leur sont parallèles, ou même que de remplacer, comme le fait M. Lévy après Poisson et tout le monde, les forces quelconques, réellement appliquées autour d'une plaque, par des résultantes et des moments résultants qui, au total, ne sont que des fictions; que ces sortes de substitutions sont permises, en ce qu'elles n'ont pour effets que de produite de petites perturbations purement locales, sans influence sensible sur les déformations qu'on cherche à connaître, à savoir celles qui se produisent au delà d'une bande étroite proche des bords.
11 ajoute que la forme même dz „, .sin^ des termes ajoutés à u, v par
M. Lévy pour pouvoir poser séparément les conditions au contour, suppose un mode sinusoïdal, ou tout particulier et jamais réalisé, de distribution des forces faisant couple de torsion le long des ariMes des cylindres contournant les plaques; que, d'ailleurs, ces termes sont toujours de grandeur insignifiante, au delà d'une zone dont la très petite largeur se compte à partir du bord de la plaque (*), zone qu'on peut abstraire, comme on abstrait, dans
(*) M. Boussinesq le prouve de deux manières :
i" Dons sa première réponse {C. rendus, 17 décembre 1877, p. 1158)il observe que l'équation
^-^ + cTi =^ T^> Ç P^"*- ^'^'^ remplacée, s et n étant deux coordonnées rectillgnes parallèles ù la tangente ds et à la normale h au point considéré de la périphérie, par ^^^-, -I- 7-^ = rr^r C :
que, dans les cas utiles à considérer, de variation graduelle des forces en jeu le long du contour, le premier ternie ne prend que des valeurs insignifiantes auprès du second, d'où
Ç = une somme de deux termes affectés de e x , dont il ne faut conserver que celui dont les valeurs de la normale n dirigée vers l'intérieur de la plaque rend l'exposant négatif, car celui où il est positif donnerait des valeurs de Ç et par suite de n, v, excédant bientôt toute limite d'élasticité; ç est donc très rapidement décroissant quand on chemine à l'intérieur le long d'une normale n ; il décroit d'autant plus vite que î est plus petit, et il s'annule bientôt sensiblement.
2° Si, afin de simplider, l'on prend pour origine un point du contour de la base inférieure du cylindre contournant; pour axe des x, la normale, menée vers l'intérieur, à ce cylindre, et par conséquent, pour axe des y, sa tangente horizontale; sien même temps l'on abstrait toutes forces extérieures autres que celles qui produisent un moment de torsion, en agissant parallèlement aux y sur les divers points de la génératrice du cylindre contournant qui est prise pour axe des :, moments supposés les mêmes quand on passe de cette génératrice à la suivante, on pourra facilement évaluer les elfets de ces divers moments ou couples. On pourra, effectivement, prendre partout h=0, w = Üet réduire les trois équations d'équilibre indéfinies de la plaque, à la seconde, qui sera, si la matière est isotrope,
c) V c) V lïix
j— 5 -\- ^j ^ 0, résoluble par v = ^ ke cos mz, les A étant des coefficients dépendant des
paramètres vi des divers termes de la série indéfinie 2i^ . On satisfait déjà ainsi aux conditions t j.^, t„et t,^ = 0. On satisfera aussi à t =0 ou à j- = 0surlesfacesîr=0et2:= 2s si m est tel que sin 2»(e = 0, ou 2?ne = in, i étant un nombre entier quelconque, d'où
750 CHAr. V. — ri,AQUES MT>'CES. KOTR DU ^ 75.
les calculs rolatifs aux tiges, de très courtes régions proches des extrémités, où les forces ayant une résultante et un moment donnés peuvent être distribuées et appliquées d'une foule de manières, dont les effets ne différent que par de très petites perturbations locales, et dont le calcul est d'ailleurs d'autant plus impossible qu'on ignore même toujours le mode réel de leur distribution ; enfin que si, dans le problème de la plaque, on voulait exprimer l'équilibre entre les forces extérieures réellement agissanteii aux points des bords et les forces intérieures ou élastiques réagissant contre elles, ce ne serait pas deux ou trois équations W'=.... et M^^ =...., ce serait une infinité d'équations particulières qu'il faudrait poser. Il faudrait, ce qui revient au même, exprimer par trois fonctions arbitraires de z les ma-
in ^ . .
m = Ç-- On aura ainsi :
tr..t
ke ' cos -rç- .
ce qui satisfera aussi à t^.-rrO, t,,. = 0, non seulement sur les faces z =0, i =r 2s. mais partout. Et cotte solution est applicable quel que soit le mode de distribution, supposé donné, sur les éléments ds rh de la bande '■Uds du contour, des forces extérieure; supposées parallèles aux //, qui produisent le couple de torsion Jf„ ; car ces forces, agissant sur une face perpendiculaire à a-, ne sout autre chose, par unité superficielle, que les (t) dont les
valeurs, si G est le coefficient d'élasticité de glissement, sont G(^ + 7S^) = g(^)
Soit donc F (i) la fonction qui représente ces forces, fonction astreinte seulement à avoir sa valeur moyenne, de i=:0à3 = '2£, nulle puisque les forces ainsi représentées ne font qu'un couple, on a :
dont on peut tirer les coefficients A par le procédé bien connu consistant à intégrer les deux membres de 0 à 2s, après avoir multiplié parr/; cos -7^» i' étant comme / un nombre entier; car, pour toutes les valeurs de i différentes de /', l'intégrale | "" ds cos '-^ l'Os ^^ sera nulle ; et, pour / = /', elle sera égale à s ; en sorte qu'il ne subsistera que le terme du 7j pour lequel i' =:i. Tirant A et substituant dans (//"), on aura, a étant une variable auxiliaire destinée à disparaître après l'intégration de 0 à 2s,
(ß) " = -Ö^S(/r^WC0S^rfa)l. '^^COs'j;
i= 1 pour les déplacements v des divers points de l'arête 2s dans le sens horizontal et tangen-
tiel y. Le terme relatif à z = 0 est nul à cause de la supposition faite / F (:) di = 0. Quelle que soit, du reste, la forme de la fonction F dont dépendent les valeurs diverses des
coefficients A = / de la série c = — -,— 7 ., nécessairement très convergente, on voit
que les déplacements v, à cause de rexpoiieiitit;lle, décroîtront d'une manière 1res rapide à mesure que croîtra la coordonnée normale x, surtout si l'éiniisseur 2s de la idaque est très petite; d'où il suit bien que cet effel df> couples de torsion, produit par des forces liori/ontales, se bornera à des perturbations locales s'aiinulant à de très petites distances du bord, sans influer perceptiblement sur la délbruiation générale de la placpie.
noNci.rsioN de cet examen et he cette roLÉMiQUE. 751
iiières dont se répartissent, sur chaque génératrice du cylindre contournant, les trois composantes suivantes x, y, z des Ibrces extérieures, puis assujettir les tensions intérieures à leur faire équilibre : or c'est ce que ni le procédé de M. Lévy, ni aucun autre, ne permet de faire.
M. Boussinesq conclut, dans l'article (18 février 1878, p. iÔl) qui a clos cette polémique, que la séparation de W et de M^^ n'avance à rien; qu'il convient en conséquence de débarrasser la solution des petits termes nouveaux en ; qui la compliquent sans nul profit, et dont la simple suppression procurera, entre toutes les solutions également approchées, cette solution-type dont le caractère est d'avoir la forme la plus simple de toutes. En effet, et comme on voit que M. Lévy en convient à la page !2o8,ce n'est pas de la seule
manière qu exprime la fonction : sin ^- choisie par lui à la page suivante, mais
d'une infinité de manières que, par un ou plusieurs ternies additifs, on satisferait aux conditions de Poisson. Or, ces diverses solutions, toutes également possibles, ne différent pas moins les unes des autres qu'elles ne diffèrent de cette solution la plus simple résultant des conditions de M. Kirchhoff, et qu'elles ne différeraient de la solution, si on pouvait l'avoir, satisfaisant aux distributions réelles des forces sur le contour dans chaque cas. 11 est donc juste de négliger les conditions individuelles, et toujours, on peut dire, idéales, qui supposent des modes spéciaux de distribution des forces au contour, et de ne garder que leurs combinaisons strictement nécessaires à la détermination désirée de l'état général de la plaque après sa déformation.
^6. Conclusion de cet examen commencé au n" 24. — Les réponses et réphques de M. Boussinesq nous paraissent fondées et logiquement motivées. Si M. Lévy avait poussé jusqu'aux chiffres les conséquences de sa solution, dans ceux des exemples qu'il en a donnés où les termes additifs en
; sin -^ ne disparaissent pas, il aurait reconnu certainement que ces termes
n'ont qu'une influence négligeable sur la déformation générale des plaques minces, et aussi sur leurs vibrations (*j.
Nous observerons aussi, en général, qu'une addition, même à quelques égards fondée, faite à une solution trouvée pour un problème de mécani-
(') C'est aussi ce qui semble résulter des formules mêmes de M. Lévy. En effet les termes dout nous parlons, dans les exemples qu'il donne de plaques circulaires de rayon r^, con-
tiennent le tacteur —, où R est une fonction du rayon vecteur r, ou plutôt de -"-. ayant la l'iQ - s
forme (62 bis) de la page 284 du mémoire, et où Rq est la valeur de R pour r == r^. Or, cette
fonction R, exprimée en une série dont tous les termes sont positifs, est analogue aux ex-
—'■ ponentielles, et sa dérivée par rapport à r doit évideir.ment être très grande dès que — devient quelque peu considérable, c'est-à-dire pour des points à une distance du centre contenant un certain nombre de fois l'épaisseur 'ic de la plaque. Donc, dès qu'on s'éloigne du bord pour se rapprocher du centre, R croît très vite de fractions notables de R,,, et le rap-
port -- s évanouit bientôt.
Ro
que pliysique, de quantités du même ordre de petitesse que celles qu'il a l'allu forcément négliger pour en établir les équations, n'augmentera nullement le degré d'approximation de cette solution. En effet, suivant la grandeur et suivant le sens de l'erreur inconnue que la sohition trouvée comporte, une pareille addition pourra tantôt diminuer cette erreur, tantôt l'augmenter : il y a autant de chances pour l'un que pour l'autre, vu que son sens est aussi inconnu que sa grandeur (*).
11 est bien vrai qu'en réunissant en une seule donnée W -{- — — '■> l'effort
W et le moment M^^ de torsion locale sur les bords, les solutions obtenues seront conmmnes à toutes les valeurs de W et de M^^ pour lesquelles cette somme sera d'égale grandeur ; mais cette communauté qui, d'ailleurs, n'est pas un inconvénient, aura lieu tout autant, pour la presque totale étendue de la plaque, si on sépare ces données en dédoublant la condition énoncée, ou en posant une condition pour W et une pour M,^ par le moyen des ter mes additifs en c de M. Lévy; termes qui ne produisent en effet, que pour des points très proches du bord, des différences quelque peu sensibles entre les résultats des deux manières, l'une simple l'autre compliquée, d'arriver à la solution qu'on désire avoir.
La communauté de solution, pour plusieurs systèmes de données W et M^^ , sera d'ailleurs analogue à toutes celles qu'on a dans les problèmes où l'on prend pour données une résultante ou un moment résultant. Elles conviennenl, à cela près de perturbations toutes locales, et regardées comme négligeables, à tous les systèmes de forces qui ont ce même moment ou cette même résultante ; et l'on s'en contente d'autant plus généralement que l'on n'a presque jamais la possibilité de faire entrer dansle calcul les forces individuelles, forces qui ne sont même point connues, comme nous l'avons remarqué plusieurs fois ci-dessus.
Concluons donc, tout en rendant volontiers témoignage (ainsi que le fait aussi M. Boussinesq) à la valeur analytique du travail de M. Lévy, qui offre dans plusieurs parties de bons modèles de recherches, quoique le sens du concret y fasse quelquefois défaut, et qui aura tout au moins provoqué une utile controverse ; concluons, dis-je, que les critiques vives ((u'il fait des recherches de M. Kircbhoff et de M. ßoussinesij n'ont pas la valeur qu'il leur attribue ; en sorte qu'il n'y a point lieu, dans les problèmes des
plaques mmces, de tenir compte des termes ± 7-- sin— ajoutesparlui
aux autres solutions données avant lui, dans la vue de se donner une arbitraire de plus pour satisfaire séparément auxdeuxconditionslimitesW'::!^....,
(') Soient, en général, A une solution (inoiconciiie li'ouvée, a son erreur inconnue, ou A + a la vraie valeur de ce qu'on a cliercho; et soit a' ce qu'on serait porté à ajouter à A pour avoir uni' approximation plus grande, un obtiendra bien cet accroissenient d'approximation si a' est de inôine signe que (t el n'excède pas 2a; mais l'erreur sera augmentée, si a' est de signe contraire, ou si, étant de même signe, il est plus grand que 2«.
API'LICATIO-NS DES ÉQIATIDNS DE l'kQL'II.IIIRE DÉLASTICITÉ DKS PLAQUES. 753
M^, =...., que M. Kirchhoff a réunies ; enfin qu'il convient, comme l'a l'ait l'illustre correspondant de l'Institut, de se donner plutôt la sonmie W -j-
-ç — pour réduire ces deux conditions à une seule, dont nous avons développé, au n" 25, l'expression trouvée autrement par Clebsch (').
27. Applications des équations différentielles indeßnies{m) ou (e,), (rt,),fa',), et définies an contour (Oj), {o\), (u,), (/!,) avec ((/.,), de l'équilibre d'une plaque. — Nous y supposerons, comme il a été fait dans les chapitres ii, m, iv, §§ 22 à 75, que l'élasticité de. sa matière est la même dans tous les sens horizontaux, ou parallèles à ses deux faces, tout en pouvant être très différente, comme cela a lieu généralement, dans le sens de l'épaisseur, en sorte qu'il y aura lieu de faire, dans les formules citées, ou celles {j), du n" 5 ci-dessus :
[(j/j), ou (/i) reproduites] â:=h = 'i[' — ï' , d = e, d'=e', ai = 2f + f' — —; et par suite, si t.. est nul, d'où <), == — — ( t*^ + I)^ ), ces expressions, dont
(*) Ajoutons une considération sur l'égalité
R.,,P.„-. rdr = 0
de la page 301 du même Mémoire de M. Lévy (dont nou< corrigeons l'erreur évidente de copie en écrivant rdr au lieu de ;-(/?•) destinée à lui fournir le moyen de. satisfaire à l'état initial d'une plaque circulaire ou libre ou appuyée au pourtour. Cette égalité posée par lui en disant simplement qu'elle se démontre par des formules connues qu'il ne rapporte pas, est parlaitement exacte quand on prend, pour les conditions au contour de la plaque, celles de M. Kirchhoff, mais elle ne l'est plus lorsqu'on traite ces conditions à la manière de M. Lévy, à savoir : 1° dans le cas des plaques libres, en conservant les termes en r pour ce qui est relatif aux couples de flexion, et les effaçant de la condition relative au couple de torsion, alors qu'on les conserve, comme on le doit, dans celle de l'elfort tranchant : -1" dans le cas des plaques appuyées, en n'effaçant pas ces mêmes termes de la condition relative au couple de llexion. là où ils sont le plus évidemment négligeables. Alors, par exemple dans le cas de la plaque libre, on n'a pas l'équation que nous venons d'écrire, mais (toujours avec les notations de M. Lévy)
(;*-y*) JjR„,R„-,rd.= ro[R,,v Ij- (=^'«.-'- ) ""^"'^ê ("^«.OI^,- ' et, dans le cas de la plaque appuyée, une équation semblable avec un second membre
oR» V — c- ^R» \' — ;= — "
' '■='0 et non pas zéro, ce qui change les résultats.
M. Lévy donne ensuite, il est vrai, un théorème juste, celui que la flèche de courbure, au centre de la plaque, et aussi le mouvement vibratoire de ce centre, sont les mêmes quelle que soit la répartition de la charge ou de l'état initial sur chacune de ses couronnes élémentaires concentriques. Mais ce théorème fn" 20 de la >'ote du .^ 45) ne tient nullement aux bases du calcul opéré, car il est une conséquence évidente et immédiate de l'indifférence de la position azimutale des charges partielles, et du principe de la superposition pure et simple des petits déplacements et mouvements qui leur sont dus.
Toutes sortes demotils se réunissent donc pour n'avoir point égard aux petits termes en i, et pour poser la dernière condition au contour à la manière de M. Kirchhoff, comme nous avons fait aux n'" 17 et 18.
les deux premières définissent clairement le paramètre a^ :
f t — a,3 +(a, — 2f)3 , t =:dg ,
(:■.) \ t =(a, — 21')3 +a,3 , t =dg ,
\ t- = 0, t =fg .
\ -■' xy ^xy
Nous commencerons par la plaque circulaire.
Nous ne nous occuperons pas ici de sa flexion par un poids unique portant sur un de ses points, car ce problème, au moins pour le cas d'encastrement au pourtour, a été traité par Clebsch d'une manière très générale au §76 ci-après; et nous même, nous l'avons résolu dans la Note de la fin du § 45 pour le double cas d'encastrement et de simple appui, lorsque le poids est posé au centre de la plaque et aussi lorsqu'il est uniformément réparti sur une circonférence concentrique à son bord. Ces solutions ont été déduites par nous, facilement, d'une analyse directe et exacte, applicable à des plaques de toute épaisseur, sans avoir à intégrer l'équation différentielle du quatrième ordre {e^) du n" 9 ci-dessus, qui a exigé, pour être posée, des hypothèses approximatives fondées sur ce que la plaque était supposée très mince.
Nous allons considérer, aux n°^ 28 à ol (ainsi que nous l'avons annoncé au n" 22 et avant-dernier de la même note finale du § 45) le cas, non traité par Clebsch, où la plaque circulaire, soit appuyée, soit encastrée, supporte sur toute sa surface une charge uniformément répartie. Puis, aux n"^ 52 et suivants, nous rapporterons, en les discutant soigneusement, les solutions qui ont été données par Navier pour la flexion d'une 'plaque rectangulaire, dans un écrit de 1820 resté inédit et presque ignoré, bien qu'il soit des plus mémorables tant par sa beauté que parce qu'il a servi de point de départ à Cauchyet à Navier lui-même pour la fondation de cette Mécanique moléculaire ou interne que Lamé a appelée la théorie mathématique de l'élasticité (*).
28. Plaque circulaire minc(\ horizontale^ supportant une charge uniformément répartie t^ur sa surface. — Soient, comme à la note du § 45, a le rayon et 2e la petite épaisseur delà plaque supposée horizontale, r le rayon vecteur d'un quelconque de ses points, et soit l'origine des coordonnées verticales prise au centre du cadre fixe, en sorte que le déplacement, après la flexion, d'un point quelconque du feuillet moyen sera ce que nous avons, à la Note du ^ 45, n" 11, appelé ?«„. Soit enfin p la charge par unité superficielle.
D'après ce qu'on a dit au n" 9 de la présente Note, l'équation à intégrer,
si l'on prenait des coordonnées transversales rectangles, serait, aj, = 2f-j-l'
d'2 étant toujours l'espèce de coefficient d'élasticité propre aux plaques,
^ ' c)x- V ooc-
^irJ P!j'\Px^ "^ PfJ t>a,
(■) Itrrhriches -titr la flc.ribn des plans t'Iasluiurs, présenté à l'Académie le 14 août 18-20. Un exemplaire, aiilopraphié de la main de Navier, en existe à la bibliotlièipio de l'École des ponis et ciiaussées. Un extrait très élciidii en a été inséré par lui à la pa^'^e O'J-lO'-i du volume de 18'2ü du But/clin tic la Socicle philuiiuUhi({Uc de Paris.
APPLICVTION SPÉCIALE AUX PLAQUES CIRCULAIÜES. /,)ü
Transformons les coordonnées .r, >j, en coordonnées semi-polaires /■, a : Comme on doit avoir, par raison de symétrie, les dérivées sur a. nulles,
nous pouvons faire promptement, ici, la transformation, sans invoquer les
formules plus générales de Clebsch. Les relations
ih)
; ,r=:7'cosa, y = rsïna.
donnent
(Ix = flr CCS a — ?• sin a th. , r/// = dr sin a + »' cos a da. , d'où (Ir ^= dx cos a -f fly sin a , rdv. = — r/x sin a + r/y cos a ;
d'où encore, les dérivées par rapport à l'angle «étant nulles,
tx o*)' (^x c)r c)y or Sy .&r
(-iv„ c>-tüoc)r Sw„ . Sa. d-Wo ê-Wç^dr . 0w.. 9a.
-ir^ = -q^ — CCS a rr- SHi a jp , -ttv = -7^7- tt- sni a + -7—: cos a — - ;
t.r- àr- ox <Jr ax c)y- âi- cy c'r éy
OU
, . O-Wo o'-w^ , , rH»osin-a d-u\^ r-zc,, . ., c^w,, cos^a
&.C- o'j'* or r oy- or- dr r
d'où
g-it'o ^-U'n 9-Wo 1 ^'tt'o 1 ^ /' f t/'„\
L'équation (a) transformée est ainsi :
^''-' r gr ^ ' ?r [r ^^r V ^^'- / J ^ ~ '-^^'i^^'
29. {Suite.) Intégration. — Rien n'est plus facile que d'intégrer une pareille équation. Elle donne tout d'abord, C et C étant deux constantes,
^ ■>' r or \ or J SajS' ^ a
et Poisson annule la constante C parce que le jiremier membre est la même chose que -drj-\- ir-r» et que celte somme des courbures prises par
la plaque, dans deux sens rectangulaires, ne doit nulle part devenir infinie, comme elle ferait pour r:=0 si cette constante C subsistait. On a donc simplement
i quoi il ne faut pas ajouter de nouvelle constante puisqu'il en résulterait 7— ou Wu mfîni pour r = U.
Divisant par r, intégrant, et déterminant la constante de cette dernière
7Ô6 CHAP. V. — PLAQUES MINCES. — NOTE DU g 17).
intégration demanièi-e qu'on ait u'o = 0 pour r r=a, c'est-à-dire sur le cadre du pourtour, on obtient
La constante sul)sistante C doit recevoir des valeurs telles qu'on ait
!Si la plaque est encastrée -77-^^ = 0 >
Si elle est simplement posée M^ = 0 ;
M désignant, comme aux n"' ci-dessus 2, 16,2o,24, et déjà aux n"' 4, S, 9 de la Note du § 45, le moment ou couple de flexion de la plaque autour d'une tangente au cercle moyen du cylindre contournant.
Or, lorsqu'on prend des axes des x et des y dont le premier se confond avec le rayon vecteur r, on a la tension normale t^ = t^^ à laquelle l'hypotlièse t.. = 0, faite au n" 5 ci-dessus, donne la valeur {z-^) du n" 27 :
OU, d'après les valeurs (s), n'',^, de <)^, t)^, déduites des suppositions cinématiques (7) qui sont, comme on a dit, des conséquences approximatives de la définition même d'une plaque mince :
d'où le moment
et, par conséquent, d'après les formules (c.) de changements de coordonnées où l'on fait cos a = 1, sin a = 0,
dont la spécification pour /• =r a donne la valeur de M .
D'autre part on a, d'après (f.), C étant toujours une constante non encore déterminée,
^^' dr 52 a, £>"^ 2 ' î))--" "" 32 aj £•' "t" 2 '
Faisant j- = o et substituant dans {k.^ on a :
On tire de là et de (/l), pour la constante C, d'après les conditions (A,) à remplir pour r — a;
PLAQUES CIRCLL.VIIîES. — FLÈCHES COMPARÉES. 757
m ' n 2a|--f àpa'
Plaque posée: 0 = — r • .., — z
a , — IIb ait •
PJaque encastrée : C := — —■
IG a,ï'
Substituant, on obtient pour les valeurs cberchées de ;r„, ou pour les équations, en u'o et r, des coupes méridiennes de la surface de révolution affectée par le feuillet moyen de la plaque sous la charge uniforme, par unité superficielle, p, qui peut comprendre son poids propre :
I Plaque simplement posée:
1 5/^ r , . 43.— 2f ., . ,,1 5a,— r opa* ( . 43,— 2fr- a.— i' r*\ / \ "'u=rs^ — -\ ' " —T a-{r--(>-) = -f • Tôt; — -^ 1— „-i— ,. --+-.^-'—7.-: •
iFlèche centrale /, := (ic,,)^, q = Plaque encastrée :
Flèche centrale ['[ = (î/'J,. = o = t;:^^^ — i^ *
50. Suite. RéMiltats et comparaisons. — Si l'on suppose la matière isotrope,
avec les coefficients >., :i. de Lamé égaux, ce qui revient à t fait =-- 1 dans
nos formules d'isotropie [v") de la note du § 45, ou les tensions se réglant
conformément à la loi des actions moléculaires mutuelles fonctions chacune
de la seule distance où elles s'exercent (n"" 5 et 4 de la iVote du ^ 16), d'où
ai =?G, ai — 2f = ^j G, ces équations ou expressions se réduisent à
[p,) Plaque posée : ,.o - ^^^^ T' " IT 7^ "^ 2Î ?' j ' /' = M2(H^ '
(.y,) Plaque encastrée : »•, = -^^^^^ ^| - 2 - + -j ; f^^.^^^-.
Ces expressions des deux flèches f^, /j sont conformes, comme nous avons annoncé à la fin du n" 22 de la note du§ 45. à celles que Poisson a obtenues par une analyse moins simple, et n'embrassant pas le cas d'élasticités inégales dans le sens des faces de la plaque et dans le sens de son épaisseur.
11 en résulte, lorsqu'il y a Isotropie, avec égalité des coefficients 1 et a de Lamé, lou avec t = 1), ce que nous croyons avoir toujours lieu pour les vrais solides, que
ou qu'une plaque isotrope uniformément chargée prend une flèche un peu plus de quatre fois moindre quand elle est encastrée que quand elle est
758 CÎI.V1>. V. — PLAQUES MINCES. NOTE DU g 75.
simplement po.>ée tout aLilour. Si nous nous reportons aux valeurs des flèches /",/' obtenues, pour une charge concentrée, au n" 11 de la Note du ^45, nous trouvons
en sorte que l'encastrement ne diminue la llèclie que dans la proportion j^
lorsque la charge n'agit qu'au milieu.
Si l'on veut comparer les effets delà concentration au milieu et de l'uniforme dissémination de la charge totale de la plaque, charge qui est iia-p
dans le cas de la dissémination, on n'a qu'à faire p = ■ — -^ dans les expressions (y^j) {(j) de f\, f\, ce qui donne:
512Ü7iG£-' '• 10'i4 7:G3
et à les rapprocher de celles [x') ( avec— = 0 j et [d") de /' et /' du n" 1 1 de la JNute du g 45; il en résultera
d'où il suit que la dissémination de la charge réduit aux ^ la lléche quand
la plaque est posée et au v quand elle est encastrée.
11 est curieux de déterminer où sera le point d'inilexion des coupes méridiennes de la plaque encastrée. H suffit, pour cela, de différentier deux fois
l'expression (o.) de nv, et de faire -7-7 = t); il en résulte, pour l'abscisse du point d'inflexion quand la charge est uniformément répartie ;
La plaque posée offre aussi dans ses coupes, pour cette même supposition de charge répartie, un point d'inflexion. ;Üii en obtient l'abscisse r en égalant
o W à zéro le ^r-;T fii"*^' il^ l'expression {n.) de /Co, ce qui donne
v=a\ ^ j:t. oiisi-i = ^) r ^«V/— = 0,l)r.la.
V t)(a, — t) 1 o V lu
On voit que h; [loint d'inilexion (-7-;^ ^=^ (M est m\ peu pluspiès du centr de la i)laque que le point (M = 0), qui est au bord r = li.
n.AQCtS CIliCLLAIlihS. CO.NUIilO.NS DE ÜLSlsrA.NCh; l'tRMA.NK.ME. 7")9
Dans la pla(]iie encastrée, le point M^ = 0 on / l,- Z(h =^ U de nionient nul répondra, d'après (A^), à la valeur de r, qui satisfera à
6 r Ici
d'où, d'après l'expression (o.) de Wo
en sorte que le point de nullité du moment lléchissant est, dans les deux cas, plus loin du centre que celui de nullité de la courbure de la coupe méridienne.
51. Plaques circiddires. — Plus (/randes dilatations. — Condition de résistance permanente à la charcje sujiportée. — La plus grande des dilatations éprouvées par la matière de la plaque doit être égalée à la limite de celles que cette matière peut subir sans que la contexture risque de s'altérer de manière à produire soilinmièdiatement, soit à la longue, une rupture.
La première expression (s) du n"4 donne, pour la dilatation dans le sens ./•,
à une hauteur ^au-dcosus du feuillet moyen de la plaque, î)" — ^'p~i^ î'" étant
la dilatation dans ce plan, ou pour ; =: 0. Donc, lorsqu'il ne se produit, comme nous le supposons, aucune tension et par conséquent aucune dilatation dans le plan du feuillet moyen, on a
\ 3/ r " -yi
En appelant t)„, sa plus grande valeur à la distance r du centre de la plaque, connue ± =. est la plus grande valeur tle v, on a, pour la dilatation qu'il faut modérer :
(.T;) D^^j = Max'" numérique de ± £ -ft-J' •
Voici les résultats pour les deux cas considérés :
1" Plaque unifonnément cliaryée^ ùniplement posée tout autour. — D'après l'équation [n.], on a :
Le maximum numérique du binôme entre parenthèses, qui est linéaire en r-, aura lieu pour l'une des deux valeurs extrêmes de r-, savoir /■- = 0, ou r- =: a-\ et c'est évidemment pour /- =^ Ü. On a donc la plus grande dilatation
, , ^ âai— f opa'- { . 8,, ,. ,,\ Wipa-
740 CHAP. V. — PLAQUES MI^CKS. — ^OTE DU ß 75
2" Plaque iinifunnémenl chargée^ encastrée tout autour. — L'équalion (o-) donne
Des deux viileurs extrêmes r- zz=0,r-=: a^ c'est la seconde qui donne à la parenthèse la plus grande valeur numérique ou au signe près; la plus grande dilatation a donc lieu pour ?- = a-; d"où, pour celte dilatation qui est à renfermer dans une limite censée connue, relative à la matière de la plaque,
En égalant cos deux expressions de t>,„ à la limite des dilatations permanentes non dangereuses que l'on désigne ordinairement par rr (n" 7 de la Note
du ^ 57), les équations de cohésiou pour le cas de non-encastrement et d'encaslrernsnt d'une plaque supportant uniformément une charge p par unité de sa surface, se trouveront posées.
La comparaison des valeurs de ?,„ pour le cas où la plaque est encastrée et pour le cas où elle est simplement posée montre que l'encastrement augmente dans la proportion de M, 7 à 9, ou de 1,5 à 1 la charge uniformément répartie que peut supporter avec sécurité une plaque circulaire f).
52. Plaque rectangulaire horizontale posée tout autour sur un cadre fixe, et supportant, outre son poids propre, une charge verticale pouvant varier d'un point à lautre de sa surface. — Prenons, ave(î Navier, pour origine un de ses angles, plaçons l'axe des .r dans la direction d'un de ses côtés, a, l'axe des y dans la direction de son côté adjacent h.
Comme les forces A, B (n° 2) agissant horizontalement sur la matière de la plaque, U,Y (même n°) agissant aussi horizontalement sur son cylindre contournant, et l~/, t";' {ideiii) faisant frottement sur ses faces horizontales sont, ici, nulles ou supposées négligeables, les équations indéfinies {a ), [a'), joiutes aux deux premières définies (Oj), (o), ne donnent pas autre chose qui;
(■) Novis ne donnerons pas des cqualions ayant le même objet pour les plaques circulaires portant une charge concentrée au milieu, que nous avons considérées, quant aux llexions,
vers la fin de la Noie du*; 45. Le logarillimo qui subsiste dans les expressions de -,, .j" et qui
devient inlini pour r = ü, amène une dillicullé ne pouvant être levci- qu'en supposant la charge répartie dans un iiolit cercle d'un certain rayon, concentrique à la pla(iuc, avec une décroissance graduelle d'inli'nsité i)roclie sa circoulorcnce, et annulation ([u.uui elle est at- i teinte. Ce serait une recherche délicate, analogue à quelques-unes de celles de la Note du 5; 40, et qui n'aui'aii ici (jue peu d'utdilé, car ce qui se passe ainsi auprès du centre n'a pas d'influence sensible sur ce qui a lieu dans tout le reste de la plaque.
PLAQUE RECTANGLE CHARGÉE DE DnTRSES MANIÈRES. 741
OU l'immobilité horizontale des points du feuillet moyeu. Par la même raison, l'accolade du second membre de l'équation indéfinie (^jj du quatrième ordre du n" 9, page 70 i, se réduit à C -h t"^.' — tT.% c'est-à-dire au poids
de la plaque, 1 Cdz. plus, aussi par unité sujuM-ficiflle, la charge appliquée sur sa face supérieure, en n'y ajoutant pas la pression de l'atmosphère qui se trouve détruite par le troisième terme, vu que la face inférieure ne supporte que cette pression là. On peut représenter celte somme par une fonction /" de x, y. La dernière ligne du même second membre est à effacer, vu qu'elle se compose de termes très petits du deuxième ordre qui, comme on a dit, ne sont à prendre en considération que dans un cas exceptionnel, étranger à celui dont il s'agit ici. L'équation (e,) se réduit
donc, vu a, = 'Jf H- f , à
D'après ce que nous avons dit au n" 20, la dernière équation définie (/",) du n° 18 est remplacée par v'„ = 0 sur le contour, et l'on y a, tout du long, zéro pour le premier membre M. de la troisième (m,) du iv IG. Cette équation (Ui) ou U\} donne donc
id,)
^i -^ + (^1 — 2f)-^p-5j^^0, sur les côtés rt, où cos » = 0. sin» = l; a, -7r-^H-(a, — 20-^ = 0, sur les cotés &, ûùcoso=1, sin ü = Ü.
ex- cJtß r 1 1
Or, sur les côtés a portant sur le cadre, qui sont parallèles aux .r, -r—^ est
^ ex-
évidemment nul; et, de même, -r^ l'est évidemment sur les cotés /^ Les conditioHS définies, ou au contour, se réduisent donc à
(V ( "'o > -ï^;:ï- ' "0-^ 1 ==Opour;c = 0, ou.c = fl, ou w = 0, ou (/ = /'.
\ ex oy j • ■
On satisfera évidemment à ces conditions en prenant pour w,,, si m et n sont des nombres entiers, une somme de produits
n\ ' ■ »'~x . n-ii
\Ii) sm sm -i-^
affectés de coefficients quelconques, susceptibles détre déterminés, comme on va voir, par un procédé connu, de manière que la somme satisfasse à l'équation indéfinie {c,). Xavier prend donc, A étant un des coefficients dont chacun répond à un système déterminé de valeurs des nombres m,n,
742 r.HAP. V. PLAQUES MINCES. — NOTE PU ^ 75.
JJl r= X 7! = OC
??!-r . nr.ij
Sr^ , . m-x . vT.i,
Si l'on substitue à u\, le sinifile produit (/;) dans le premier membre de l'équation dilTérentielle {c), ce membre devient
/m- 7i-\- . niTzx . n-ii \(r h-J a 0
Donc, pour que la valeur (^rj de Wa puisse satisfaire à l'équation indéfinie (cj, il faut et il suffit que les coefficients A soient tels qu'on ait
'm- ii-\- . )n-x . nr.ji
Pour déterminer ces coefficients on peut se servir du procédé qui revient à appliquer la formule connue deLagrang^:
(«4) / (.t) (entre .r = 0 et .ï = rt)=- 7(1, '''=' sui — / (a.) 1 sm — »
procédé qui consiste à multiplier cette équation {li,J par sm — ^ ay. et a
• , , /^ , , •. sin// TT v/
uitegrer de // = 0 a ?/ = //; de cette manière, — ^ — - s y trouvera remplacé par
... r'' . nr.ii . n'nii , . ... , , . ,
(yj I sni -p sin— T^r///, qiu est=: 0 si les nombres entiers /( et /(' sont inégaux.
= g s'ils sont égaux, ou si l'on a pris /(' égal à l'un des nombres n en particulier.
Ainsi, il ne subsiste plus qu'un seul terme du second kS, celui qui était affecté de ce nombre particulier, du reste quelconque, n; et l'équation se réduit à
Pour réduire à son tour la série S subsistante, à un seul terme, multiplions de même par siu //>•, intej^rons de .r ^ 0 à x ■-= n et faisons
eiisuite m' ^r une valeur particulière m des nombres entiers désignés par
TLAQUE RKCTANGLE. EFFORTS SFP, SOX CAPRE H APPIT. / \,)
cette lottre ; il restera
2 '1 y a- h-J 2a,3'J.,=o « Jî/ = o /^ " •''
Le second membre est une constonte comme le premier ; et comme il n'y restera rien des coordonnées .r, y après les intégrations effectuées, on peut, pour éviter les confusions, les y rem[»lacerpardes variables auxiliaires a, 6. En tirant de là la valeur du coefficient A relatif au terme de SS qui contiendra ces deux valeurs particulières de ni ef n, engagées dans les deux séries dont il multiplie le produit, on obtient, pour la valeur du petit déplacempnt vertical et unique »'„ du point ./-, ij du feuillet moyen 5:= 0,
en faisant, pour abiéger
(nj A, =— r f/a f/o sin sui ,
ab Jo Jo (I h
en sorte que A, est le produit de ce que nous avons appelé A, par
1 , . m- no ^ a- b-
Comme cette expression (mj satisfait en même temps aux conditions particulières de la question et à l'équation différentielle, elle est, comme l'observe Navier, l'intégrale complète de cette équation, présentée sous la forme qui convient spécialement à la question parfaitement déterminée (g 21 ci-dessus) dont il s'agit: toute autre expression, ajoule-t-il, rentrera nécessairement dans celle qu'on vient d'écrire.
o5. — Navier commence par chercher, au moyen de cette formule, les efforts verticaux supportés par les quatre côtés x t= 0, x = a, y = 0, y ^ b du cadre.
Calculons d'abord, en général, les efforts tranchants qui s'exercent sur l'unité de longueur de sections faites à travers la plaque par des plans verticaux perpendiculaires aux x ou aux y. En les appelant respectivement
