PLAQUE RFXTANGULAIRK. EFFORTS TRANCHANTS

DIFFICUI.TK RESOLUE.

f.=lSS*.™

irù

ui- na- b-

nxii „ ' C O V '"

cosm-

sin

n-Kij

F , et F, ,= des expressions semblables avecy' — • ?/'> ^^ ^os /(- au Heu de

ij p-!/ ^ b a

— , r , X, u, cos »iJT •

Les efforts Iranchants totaux à travers les coupes verticales faites daus la plaque parles quatre côtés de A'B'C'D' sobliendrouteu luullipliant F^,, F„j, par (hj, et F^,, ^a-w P^^" '^-^ P"'*' mtcgrant de y' à b — y', de x' à a — x'. Or

J^l'-lf , . n-.ii b ,, n-y' C" - '' . )it~x a . w-v' (lii sin -, —— il — cos n-) cos— r-f 1 (l.rsm = — (1 - cos»in)cos

,/ ■' b n-^ b Jx' a um^ a

On aura donc pour les offorls tranchants totaux

b i- cos IHK

m-nx nizii

ces cos^^;

a travers A (/, j F , ^/i/ .= — V V A, -^

r.,rv, r'' ""''■■ 7 lOO. mbcosmitll-cosm-n) imar,' rnni' a travers B'D', I 1- ,f/i/^— WVA, — -'cos cos— r^.

a^' ^ b^' à travers A'R' f les deux mêmes expressions sauf qu'il y aura A, j -àtraversC'D' ; 1 — cos htt, ros??îî(t — cosw:t).

Si nous voulons avoir l'effort vertical total qu'exerce la matière du prisme rectangle intérieur A'B'C'D', à cause des forces extérieures qui le sollicitent, sur les parties de plaque qui l'entourent, il faudra, en additionnant ensemble ces quatre expressions d'efforts tranchants, affecter du signe négatif la seconde et la quatrième; car n'oublions pas qu'elles représentent des actions exercées sur A'B'C'D' par la matière au delà de B'D' et pai' la matière au delà de CD', c'est-à-dire des actions qui sont égales et contraires à celles qu'exerce A'B'C'D' et que nous voulons faire entrer dans notre somme totale d'efforts.

En additionnant déjà les deux premières expressions (sj, la seconde étant prise en signe contraire, on obtiendra une expression semblable, excepté qu'au lieu des numérateurs 1 — cos mi: et cosm-(l — cos m7r) sous les

signes ^^, il y en aura un :

(1 — cosm;:) (1 — cos//(7ï).

Et l'ontrouvera (1 — cos m-) ( l — cos n-) pour ce numérateur en composant de même ensemble les deux dernières. Ces numérateurs sont égaux à zéro pour toutes les valeurs paires de m, n, et à 4 pour leurs valeurs impaires.

11 ïni fiiiil donc conserver dans la série, somme algébi'iqne des quain que les m, n impairs. En les appelant, avec Navier,

et en faisant attention, après avoir opéré l'addition, qn'on a

m h n a ah /m- n-\

(I n h »i 7IUI ' (I- b-J ' nons anrons :

(/.) Effort total à travers le contour A'BT/D' = — r H^ — ^ cos î!Ji cos — ^•

Maintenant, si nons faisons x' = 0, y' = 0, nous avons l'effort exercé par le rectangle entier A B C D de la plaque sur les petits rebords qui le dépassent et que porte son cadre d'appui, ou, ce qui revient au même, l'effort supporté par ce cadre. Nous obtenons ainsi :

K) Cet effort total = ^gg^^,;-.

Or, on a, d'après les calculs du n" 52, qui ont fait déduire l'équation (/^) de celle [h,).

l{^,!l)= S S UJû '/-sm^j^^./6sm-^/(a.6)Jsm — s,n-^^

formule qui se déduit d'ailleurs immédiatement de celle très connue (/J de

Lagrange à une seule variable.

La parentliése du second membre est (wj, ou ce que nous avons appelé

A,. Et si l'on intégre les deux membres de (rj après les avoir multipliés

,7 n • • /'" I • '" TT ,r — a , ,,

par cir dti, en laisant attention que dx sin ■ ^= (cos m tt — 1)

•^ *^' ^ Jo CL m-K ^ '

exclut les termes dans lesquels m ou n est pair, on trouve, pour la cliarge

verticale totale de la plaque, m' et n' désignant toujours les seuls nombres

impairs,

''' „. ^(ih ri ri ^1

.j;:"../;""A-.») = *^SS;;^-

quantité précisément égale à l'expression [n,) de l'effort total qu'elle exerce sur son cadre, comme cela devait être; ce qui offre une vérification de tous ces calculs.

L'égalité, trouvée avec signe ronlraire, de la somme des efforts sur les côtés B I), CD, comme sur ceux B' I)', C D', à la somme des efforts sur les côtés AB, AC, ou A' B', A'C, ce (jui eût donné zéro pour l'effort total, a beaucoup embarrassé Navier (n" 8, relatif à un cas partictdier de son mémoire de 18'20). C'est que la théorie de l'élasticité, inaugurée par lui l'année suivante, et à laquelle Caurhy a bientôt ajouté ce (pii est relatif aux pressions ou tensions, n'était pas encore créée. Nous venons, comme on a

PLAQUE RECTANOLE. CHAHriE LNIFORME.ME.M REI'AnilE. I -H

pu voir, de faire disparailre celle sorte de paradoxe ou coiiimençaiil par considérer lin rectangle intérieur, ce qui rend plus claire, pour le reclaiiole entier, la distinction à faire entre les efforts exercés par la plaque sur ses rebords pour s'en détacher, et les eflbrls contraires que lui font subir les rebords pour se détacher d'elle : cela J'ait bien apercevoir ((ue si on prend ceux-là à travers A B, A C, et ceux-ci à travers CI), BD, la somme totale est nécessairement nulle; elle ne l'est pas si les efforts sont tous exercés par le rectangle A HCl) de la plaque sans que deux d'entre eux soient subis par lui.

r)4. Applications particidières de ces solutions. — Prenons comme première application, avec Xavier, la supposition

f[.v,!j) = mie constante p

qui sera, par unité superficielle, le poids propre de la plaque plus une surcharge uniforme. On aura pour {n^) :

iVà) A, =:-Ç c/or. sm r/!^?in— r- = ^(1— C0S»(7r) 1 — COS/(r);

■'*' '■ ab J(] a Ji) h mn-- ■

expression qui sera zéro pour les valeurs paires soit de m, soit de n, et

{z^ A, =: — — f-:' lorsque m et n sont impairs

et qu'on les appelle m\ n'. Il ne peut donc subsister, dans la série, que les termes répondant à celle-ci. En conséquence, [m,^ deviendra

„, , sni sin— p^

24p ri c ^ ^' '' /*\

m' =1 II' = i

La flèche de courbure ou la valeur maximum de cette expression se trouve au milieu de la plaque. Klle est, en l'appelant /'.•

VI = ce II

- ■ »«' = 1 /-■ = ! '"'«■ ( — r + Ti

Si nous nommons f\ le premier terme de la série, répondant à m' =: 1,

(*) Habituellement, dans ces sortes de calculs, on appelle '■2in-{-\, '2« -I- 1 les nombres impairs, et les S se prennent de m, « = 0, à m, ii = x ; mais cela eût offert, ici, une inutile complication, qui aurait existé aussi, mais en donnant plus de symétrie dans los calculs, si l'on avait mis l'origine au centre de la plaque de côtés '2«, ib ; ce qui eût produit

'■Ztz* a, î

^ 2m-fl '2h+1

Cos — TT.r cos — -p — mj

n' = 1, nous avons

Vi \)ah .u'-b'"

Le quatrième terme, répondant à m' = 5, n' := 3 ne sera que le \ =^ de celui-là ; et déjà le second et le troisième, répondant à m' = 5,

n' = 1, et à m! = \, n' = 5 n'en seront que le =^ quand a — - h. Cette se-

rie converge donc très rapidement, et on peut, comme dit Navier, se borner

au premier terme (r-) dans les applications.

Son expression montre que, si la plaque est carrée, la flèche croît, pour une même charge p par unité superficielle, comme la quatrième puissance du côté a, et, pour même charge totale pw^, comme sa seconde puissance.

Alors, si l'on met pour A^ sa valeur {z-,) dans l'expression générale (î/J de l'effort total exercé sur le cadre, on a, pour cet effort,

W' = ce « ' = oo

Tï* k3 i5 in'-n'-

qui, sans repasser par la formule générale de développement (/\), se réduit, comme cela devait être, à la charge pab de la plaque, vu que la formule connue :

c-i=,+Ui-.+U....=Ç

doime

Se ^ — ü!

C'est une vérification de plus.

7t^. Second exemple pris par Navier dans son même mémoire inédit r/el820. Cas oii le poids P par unilè superficielle nagit que sur un rectangle intérieur compris entre quatre droites x = x' , x = x" , y = y', y = y", — Alors, comme le reste de la plaque ne supporte rien, on a pour («J de la p. 743 :

. , , , .4p f'" . »nz7. ru" . «7:6

(a,) A, =-V sui (ly. sin -y- r/6 =

ail Jy a J ,,■ h

inr.A' iinr.r \ / nr.ii nnif

CCS cûs cos —r- • CCS —r-

à substituer dans (m,,) pour avoir (/-„.

Si l'on suppose que le rectangle (.r" — x') {y" — y'), siège de l'application de la charge, est de dimensions très petites, comme on a :

mr,x" imzx' m^ix" — x') . nmx' . imz(x" — x')

cos = cos cos — ^ — '- — sin sin — ^ >

OÙ l'on peut remplacer les seconds facteurs, à cela près Ao (|uanlilés très

PLAQUE RECTANGLK. — CHAllGE SI U IWE PAHTIE. CHARGE CONCEMRÉE. 740

11 • •. 1 I . mn\x" — .t')

petites du second et du troisième ordre, par l et pir ■ . Un

obtient ainsi :

A, = — ^r sin • sin -f^ • — j- (x" — x) {y' — ij}'

mn-- a h ah

qui, en appelant il la charge totale, ou en faisant n;=p(.c" — ^c') (// " — //')» prend la valeur

, , . -in . iiir..v' . »-u'

(e~) A,=^-sin sin — p-»

^ " ' ah a h

qui, substituée dans (mj, donne

. m-x' . n-ii'

30 X sm sin , -

bll on « 0 . iii-x . it-ii

,,., 011 o O " u . in-..

pour le petit déplacement vertical subi par le point quelconque {x, if) d'une plaque rectangulaire de dimensions horizontales a, h, de petite épaisseur !2î, appuyée tout autour, dont on néglige la pesanteur et qui est pressée par un poids isolé n appliqué sur un point ayant les coordonnées X ^x', ij = y' quelconques.

Si ce point d'application du poids n est au milieu, ou si

il y a lieu encore de ne conserver que les termes de la double série où m et n sont impairs, puisque les autres termes sont nuls. En les appelant toujours m', n', on a

, , (in ^ ^^ (-- 1) 2 ( [)~T~ . m'Tzx . n'-y IqA jcy = — — — r \ V ^ '-^-rz — „ , j m Sin —r^ •

Au même point milieu, où le poids n est supposé agir, »'g est alors maximum, et mesure ce qu'on appelle la flèche (*). Si on la désigne par /',

(') A ce sujet, Navier avance sur la formule générale {f~) deux assertions peu sûres et pouvant être erronées dans un piand nombre de cas. L'une est que, quel que soit le point d'application (x', y'] du poids IT, le maximum de

l'ordonnée îuq aura lieu au milieu de la plaque, c'est-à-dire pour x ^z -, ij= y Cela peut

être vrai, quant à la valeur absolue ou indépendante du signe, pour un quelconque des termes

de la série double, mais ce n'est pas nécessairement vrai pour leur ensemble ; car sm — - sm —

sera, suivant le système des valeurs de /«, et«, tantôt 7éro,laiilùt + 1. tantôt — I, qui. multipliés par les diverses valeurs de la fraction que ce coeflicient affecte, donneront une somme totale pouvant, suivant les grandeurs de .r' et de //', avoir son maximum tantôt dans un endroit, tantôt dans un autre.

L'autre assertion est que, d'après la forme de la même expression (/"g), lorsqu'on fait varier la position du poids n, on fait varier les valeurs absolues des ordonnées tr„. mais non pas leurs rapports. Gela n'est exact que pour chaque terme, ou chaque système particulier des valeurs de »i, n, mais ac l'est pas nécessairement pour l'ensemble de ces termes.

750 CIIAI». V. PLAQUES :\I1>CP:S. — KOTK DU ^ 7').

on a

La sôrio est rapidement décroissante, quoique un peu moins que celle (è.) de /" ou du cas de poids uniformément réparti sur toute l'étendue de la plaque. En se bornant au premier terme répondant à m' = 4, «' =: i, et appelant f\ ce qui en résulte, on a :

Cette expression, comparée à celle (cj de /",, pour une même cliai'ye to-

laie H = mb de la plaque, donne f\ = — f\, ou montre que les llèches,

lorsque cette charge est isolée, et lorsqu'elle est uniformément répartie, sont entre elles comme -n^ = 9,8696 est à i, ou environ comme 5 à 2. Ce rapport est indépendant de la grandeur de la j)laque et du rapport de ses côtés.

56. Observations sur cVautres ientatives faites par Navier. — Dans ce même beau mémoire déposé à la bibliothèque de l'École des Ponts et Chaussées, où Navier n'était en 18'iO que professeur suppléant, il considère aussi une plaque d'une étendue infinie appuyée sur deux droites horizontales immobiles se rencontrant à angle droit, et chargée d'une manière quelconque, notamment par un poids isolé ; mais il ne s'arrête point à ces sortes de solutions, qui sont, dit-il, sans intérêt pour la pratique.

Nous n'analyserons pas non plus, en la discutant comme il y aurait lieu, la tentative qu'il a faite, et où des inadvertances ont été remarquées, de résoudre le problème de la flexion d'une plaque rectangulaire dont les quatre angles sont assujettis à rester dans un même plan horizontal, les autres points pouvant prendre de petits déplacements, tant verticaux qu'horizontaux sous l'action de forces comprimantes horizontales T agissant uniformément par unité de longueur sur les (juatre côtés et normalement à leurs directions; ci; (jui offre le cas de mettre, dans le second membre de l'équation du quatrième ordre (ßj) du n" 9, un terme

provenant de la dernière ligne de ce second membre, où l'on fait

•Ci- nu ' .nj

57. llésistance à la rupture des plaques rectangulaires. — C/est un Appemlice sur les conditions de cette résistance qui sert de conclusion pratique au mémoire ciléde Navit'r.de 1820. Ce que nous avons dit au n"l I et qui est fondé sur les expressions (A,) ou [s) du n" 5 en ?", g", ^ et les trois dérivées secondes de w^ dont les deux premières représentent les |)eliles courbures de deux coupes verticales du feuillet moyen fléchi, nous dispense de reproduire ses raisonne-

PLAQUE lîECTAM^LK. HÉSIST. A LA Hl flIllE. THÉOHKMK 1>K .\L\I!II)TrK. 751

menls, présentés avant l'invention faite par lui do la théorie de l'élasticité.

Bornons-nous, avec lui, à des cas de charge symétrique par rapport aux médianes, cas où nous avons vu (n- 55], que les coefficients m, n, sont exclusivement impairs.

Si, en les appelant ?7i', n\ nous tirons, de l'expression génértile (?n.) de w„,

par deux différentiations, -, — r-, nous aurons une expression où les deux sicxcy

nus seront rem[)lacés par deux cosinus dont le produit s'annulera sdit par

x=-. soit i)ar // ^=-. La denvee ^ — r- est donc nulle aux points des

deux médianes de la plaque, quelles que soient les charges verticales qu'elle supporte. Et comme ces charges verticales ne produisent aucun

g^,^=:-7— ^' + -T-^, le glissement g y est nul ; en sorte que, d'après le même

n'' !2U. la plus grande dilatation subie, à laquelle il convient d'imposer une limite pour prévenir une énervation de la contexture, ou une nijtUirc à lu longue, sera, pour les points de l'une ou l'autre de ces mêmes médianes,

^ '' c)x^ c IJ-

ou les quotients de la demi-épaisseur s de la plaque par les i-ayons de courbure des courbes suivant lesquelles les {dans x = ;^, y z= - coupent son

feuillet moyen fléchi. Or, dans les deux cas considérés n'"* 54 et 55, formules («3), {(j.), de la plaque ab sollicitée 1" par une charge p agissant également partout, 2" par un poids n portant au point milieu, on a, m', n' étant, pages 747 et 749, des nombres exclusivement impairs :

il,)

. m'-x . n'-.ij

i./ ,^'"'o^ .^^"'o\ -''1' cc/ '"' "' y

sin sin- ,

. m'-.i . n'-ii m—i «■— isui sin-

'ùx^' ' dif- ) ab7;%s^iJiJ\a-' b-J^ 'I - [ 'I (>n^^'^\- '

OÙ l'on n'aurait qu'à remplacer par ±;l l'un ou l'autre des deux sinus affectés de.r et y, pour avoir les expressions relatives aux points des médianes.

Au point milieu où elles se croisent, et où .r= ^^ !/=^3' on a

dx- ' otj- J îT^aiE- O lO y«-«' b'-in'J / )n'- n'''\

ex'- ' ^y^ J Ti'-'àiZ-ab '^ ^ \ a- ' /'-/ f m'- 7i'-\-

IDI CHAP. V. — PLAQUES MLNC.ES. — KOTE DU g Jô.

Ces séries sont rapidement convergentes, et peuvent être réduites au premier terme, m' = n':= i, ce qui donne, pour la plus grande dilatation éprouvée, que nous appellerons d^^^, et en supposant a<^b :

l 1 --7Ï— r=-^ TT-, T^rçi^ah^^C

On en conclut que, pour une même limile (^^^^ des dilatations qui ne mettent pas en péril la stabilité de la contexture de la matière, on a le rapport

X)(lb 7T- ^ ,„„,

ou qu'on peut charger une plaque rectangulaire, posée tout autour, quel que soit le rapport de ses deux dimensions a, h, environ deu,v fois et demie plus, lorsque la charge est uniformément répandue sur toute la surface que lorsqu'elle est concentrée au milieu.

Navier, malgré une inadvertance qui lui fait trouver 4 pour ce rapport, a ensuite remarqué judicieusement que lorsqu'on fait a = h dans les deux expressions [n.^, elles deviennent, pour une même charge pa& ou n, indépendantes de l'élendue a du cadre de support. Ainsi le poids, soit concentré, soit réparti, capable de rompre la plaque, dépend de son épaisseur et du rapport de ses dimensions horizontales, mais est le même quelle que soit leur grandeur absolue; ce théorème avait été démontré d'une tout autre manière par Mariotte (*).

(') Navier cite : OEuvreu de MavioUe, f. II, p. 168. ,1'ai trouvé ce passag:c, à ses o'uvres complètes, nouvelle édition (La Haye, 1740, p. 4(37, 4(')8) dans le Trailr du Mrnvenieiil des Eaux (qui avait été publié à Paris en 168G), second discnurs intitulé Dr la force dru tuyaux de conduite. Ces deux pages viennent après le passage célèbre où Mariotte expose sa théorie de la résistance des prismes à la rupture par flexion, et immédiatement avant le paragraphe intitulé : I\è(jlr pour les solidrf; qui sont souples. La figure est à la planche XXI et porie le n° 113. Le môme poids, dit-il, distribué dans toute l'étendue d'un carré plat de bois sec ou de verre posé sui- un cadre, et qui le rompra, rompra tout autre carré de même épaisseur, de quelque largeur ([u'il soit. Il en l'onde la démonstration sur ce théorème de Galilée, auquel une théorie exacte n'a rien ciiangé, ipie les poids unil'ormémenl distribués, capables de rom])re deux tringles ou règles de même matière, largeur et épaisseur, posées à leurs extrémités, sont m raison invrr.fc de leurs longueurs. D'où il suit que si l'on a deux plaques carrées dont l'une ait un côté double de celui de l'autre, et si l'on y taille, vers le milieu, des bandes d'égale largeur, la bande du plus grand rompra sous un poids moitié moindre que ne léra celle du plus petit; mais si, par compensation, la bande du plus grand a une largeur doui)le, elles rompront toutes deux sous la môme charge totale. "Il en sera de même, ajoute-l-il, si, au lieu d'une seule bonde dans chaque plaque, il y en a deux qui se croisent à angles droits, et si, dans les deux sens, on en ajoute d'autres, de part et d'autre de celle-là, etc. D'où le théorème énoncé, ou ce qu'il lallait démontrer. Quoique l'assimilation d'une plaque à deux systèmes croisés de règles jointives manque d'exactitude, on comprend que la conclusion puisse être juste.